Numerische und analytische Untersuchungen zum erweiterten Sitnikov-Problem
Bernd Völkl
1.10.2006 - 28.9.2007
Abstract
Kurzzusammenfassung
Im ersten Kapitel wurden die Gleichungen wiedergegeben, anhand derer das klassische
Sitnikov-Problem beschrieben werden kann. In diesem Fall wird die Masse des dritten
Körpers, der entlang der z-Achse oszilliert, vernachlässigt. Anschließend wurden die
Bewegungsgleichungen des Sitnikov-Problems, ausgehend von den Grundlagen der Newtonschen
Mechanik, für den Fall dreier gleich schwerer Massen hergeleitet. Nach Ausnutzung der
speziellen Symmetrien des vorliegenden Problems und einer Transformation von kartesischen
auf zylindrische Koordinaten konnten die Gleichungen weiter vereinfacht werden, wobei
sich der Drehimpuls, der zeitlich erhalten bleibt, als sehr nützlich erwiesen hat. Ein
Ausdruck für die konstante Gesamtenergie des Systems konnte ebenfalls aufgestellt werden.
Im zweiten Kapitel wurden die nichtlinearen Bewegungsgleichungen numerisch integriert und
mit der Erstellung von Poincaré surfaces of section wurde der Phasenraum systematisch für
verschiedene Werte der Gesamtenergie untersucht. Auf diese Weise konnte festgestellt
werden, dass die 1:2 Resonanz einen sehr dominanten Einfluss auf das System hat und für
höhere Energiewerte fast nur mehr chaotische Orbits vorkommen, siehe Dvorak & Sun (1997).
Anschließend an diesen Überblick über die möglichen Bewegungen wurden Beispiele für
typische Lösungen gezeigt.
Nach diesen numerischen Untersuchungen des Sitnkov-Problems wurden nun verschiedene
analytische Ansätze näher betrachtet. Hält man den dritten Körper im Baryzentrum des
Systems in Ruhe, so können sich die beiden Primärkörper auf Keplerellipsen bewegen. Da
die radiale Bewegungsgleichung jetzt nur mehr von der r-Koordinate abhängig ist, kann sie
ohne numerische Hilfe gelöst werden. Diese Lösung, für die sogar die Zeit eines Umlaufs
bestimmt werden kann, wurde in weiterer Folge für störungstheoretische Ansätze als die
ungestörte Lösung verwendet, bei der keine Periheldrehung auftritt. Lässt man nur sehr
geringe Amplituden des dritten Körpers zu, so geht das Sitnikov-Problem für infinitesimale
Auslenkungen des dritten Körpers in die Form eines harmonischen Oszillators über.
Im vierten Kapitel wurde ein analytischer Ausdruck für die Periheldrehung hergeleitet,
wobei drei gleich große Massen angenommen wurden. Diese Gleichung konnte auf zwei völlig
unterschiedlichen Wegen gewonnen werden. Einerseits kann die relativistische Methode von
Eddington (1925) auf das nicht-relativistische Sitnikov-Problem angewendet werden,
andererseits kann aber auch nach einem vorangehenden störungstheoretischen Ansatz über
eine Periode der Primärkörper integriert werden, siehe Hagel (2007).
Im fünften Kapitel war es dann möglich diese Formel in allgemeinerer Form zu erhalten,
wobei die Anfangsbedingungen für r und z (bei verschwindenden Anfangsgeschwindigkeiten)
sowie das Massenverhältnis zwischen dem dritten Körper und einem Primärkörper in die
Gleichung eingehen. Diese Gleichung für die Periheldrehung wurde dann im letzten Kapitel
ausführlich untersucht und mit den Ergebnissen der numerischen Integration verglichen,
wobei die Resultate für die untersuchten Anfangswerte ausgezeichnet übereinstimmen.