## The Sitnikov Problem

The Sitnikov Problem is one of the most simple cases of the elliptic restricted three body system. A massless body oscillates along a line (z) perpendicular to a plane (x,y) in which two equally massive bodies, called primary masses, perform Keplerian orbits around their common barycentre with a given eccentricity e. The crossing point of the line of motion of the third mass with the plane is equal to the center of gravity of the entire system. In spite of its simple geometrical structure, the system is nonlinear and explicitly time dependent. It is globally non integrable and therefore represents an interesting application for advanced perturbative methods. In the present work a high order perturbation approach to the problem was performed, by using symbolic algorithms written in Mathematica. Floquet theory was used to derive solutions of the linearized equation up to 17-th order in e. In this way precise analytical expressions for the stability of the system were obtained. Then, applying the Courant \& Snyder transformation to the nonlinear equation, algebraic solutions of 7-th order in z and e were derived using the method of Poincaré-Lindstedt. The enormous amount of necessary computations were performed by extensive use of symbolic programming. We developed automated and highly modularized algorithms in order to master the problem of ordering an increasing number of algebraic terms originating from high order perturbation theory.

## Eine Animation des Sitnikov-Problems

Der unten stehende Link führt zu einer Animation des Sitnikov-Problems. Die Animation wurde in Form eines Java-Applets realisiert, es ist somit erforderlich, dass Java auf Ihrem Rechner installiert ist.

Mittels einer einfachen Methode zur numerischen Lösung von Differentialgleichungen (Heun-Verfahren) wird die Bewegungsgleichung des klassischen Sitnikov-Problems in Echtzeit gelöst. Voraussetzung hierzu ist das Lösen der Keplergleichung für jeden Zeitschritt der Integration. Es gibt sehr viele verschiedene Möglichkeiten zur Lösung der transzendenten Keplergleichung, im vorliegenden Fall wurde das Newton-Raphson-Verfahren, eine Methode mit quadratischer Konvergenz, angewendet.

Die Primärkörper sind als Sterne dargestellt und bewegen sich auf Keplerellipsen in der x-y-Ebene. Der dritte Körper, der sich als Planet entlang der z-Achse bewegt, wird hier am Bildschirm zur besseren Erkennbarkeit in der gleichen Größe wie die Primärkörper gezeigt. In Wirklichkeit müsste er, weil formal masselos, viel kleiner sein.

Vom Benutzer zugängliche Parameter:

- Animation: Zur Einstellung der Geschwindigkeit der Animation
(Achtung: Hier nur ganzzahlige Werte eingeben!)

- Exzentrizität (e): Die Exzentrizität der Bahnellipsen der Primärkörper.

- Auslenkung (z0): Anfängliche Auslenkung des Probekörpers

- Geschw. (v0): Anfängliche Geschwindigkeit des Probekörpers

Das Java-Applet braucht je nach Internetverbindung und Rechnergeschwindigkeit einige Zeit um zu laden.