LV001:LV-Uebersicht/Mitschrift von Studierenden/1 - Einleitung

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Mitschrift zur Einführung in die Physik I - Kapitel 1 - Einleitung

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

Ziel der Physik ist es Zusammenhänge und Gesetzmäßigkeiten zwischen den Naturphänomenen zu entdecken, zu beschreiben und zu verstehen. "Verstehen" bedeuted hier sämtliche Systeme der Natur nach physikalischen Gesetzmäßigkeiten bestmöglich erklären zu können. Der Begriff des Verstehens greift also nicht so tief wie der alltägliche Gebrauch des Wortes "verstehen", bei dem nach dem Wesen der Dinge gefragt wird. Das ist Teil der Philosophie und gehört nur bedingt in die Physik.


System und Modell

Da die Realität in ihrer Komplexität nicht vollständig vom Menschen erfasst werden kann, muss man gewisse Begriffe und Hilfsmittel benützen, um die Wirklichkeit darstellen zu können. Der Begriff des Systems bezeichnet einen abgegrenzten Bereich, der definitionsgemäß eine Umgebung hat. Wenn dieses System zeitunabhängig ist, sich also nicht zeitlich verändert und quasi "eingefroren" ist, so bezeichnet man das als Zustand. Ein Modell ist ein idealisiertes System. Die mathematische Beschreibung eines Modells ergibt eine Theorie. Theorie und Experiment ergänzen sich gegenseitig: Das Experiment liefert Fakten zur Modellbildung und überprüft auch neue Aussagen, die von der Theorie geliefert wurden.

Theorie Experiment
  • trägt zum Verständnis der Phänomene bei
  • dient zur Vorhersage zukünftiger Entwicklungen. Nach derzeitigem Stand gibt es keinen strengen Determinismus, wegen:
    • QM: man kann auf mikroskopischer Ebene nur Wahrscheinlichkeitsaussagen treffen
    • Nichtlineare Systeme: zeigen chaotisches Verhalten
  • Festlegung der Gültigkeitsgrenzen
  • dient als Grundlage der Modellbildung
  • Überprüfung der Theorie
  • Feststellung der Gültigkeitsgrenzen

Wichtige Modelle

Teilchenmodell Wellenmodell

Teilchenmodell kommen zur Anwendung bei:

  • Elementarteilchen (Protonen, ...)
  • Planetenbewegung
  • Fall im Schwerefeld

Das Teilchenmodell bezieht sich auf einen Massenpunkt.
Ein Massenpunkt ist ein Körper bzw. System,
wo es auf die innere Struktur (bei zu geringen Einfluss) nicht ankommt.

dient zur Beschreibung verschiedener Phänomene wie:

  • Oberflächenwellen (Wasserwellen)
  • Akustik (Schall)
  • Lichtwellen (Elektrodynamik inklusive Optik)
  • Wahrscheinlichkeitswellen (QM)


Im Falle der Quantenmechanik ist es oft notwendig zur vollständigen Beschreibung für bestimmte Phänomene sowohl das Wellen - als auch das Teilchenmodell heranzuziehen. Das wichtigste Beispiel hierfür ist die Beschreibung des Lichts oder von Elementarteilchen, die sowohl Eigenschaften von Teilchen, als auch von Wellen annehmen können. Man spicht vom sogenannten Welle-Teilchen-Dualismus.


Entwicklung des physikalischen Weltbildes

  • Ägypter konnten Sonnenfinsternisse voraussagen (Priesterkarste)
  • Griechen:
    • starker Hang zum logischen und mathematischen Denken
    • Entdeckung des Magnetismus
    • Entdeckung der elektrischen Aktivität von Bernstein
    • Demokrit (455-370 v. Chr.) postulierte das Atom
    • Archimedes (287-212 v. Chr.) formulierte das Hebelgesetz und das Archimedische Prinzip (Auftrieb)
  • Im Mittelalter wurde die physikalische Forschung durch die Kirche gebremst
  • Ab dem 15 Jhdt. wurde die Forschung wieder angetrieben
  • Galileo Galilei (1564-1642) stellte Hypothesen durch Beobachtungen auf und hat sie im nachhinein bewiesen
  • Johannes Kepler (1571-1690) erstellte die Gesetzmäßigkeiten der Planetenbewegungen
  • Willebrord van Roijen Snell (1580-1626) formulierte das Snellius'sche Brechungsgesetz
  • Sir Isaak Newton (1642-1727) erstellte das Newton'sche Gravitationsgesetz sowie die drei Newton'schen Axiome
  • Ole Römer (1644-1710) wies die Endlichkeit der Lichtgeschwindigkeit nach
  • Brown (1773-1858, Biologe) entdeckte die Brown'sche Molekularbewegung
  • Hans Christian Oersted (1777-1851) entdeckte den Zusammenhang zwischen Elektrizität und Magnetismus
  • Michael Faraday (1791-1867) formulierte das Induktionsgesetz und wies die Eigenschaft des Faraday'schen Käfigs nach
  • Josef Loschmidt (1821-1895) berechnete die Loschmidt'sche Zahl (Avogadro-Konstante), welche die Anzahl von Molekülen in einem vorgegebenen Volumen wiedergibt
  • James Clerk Maxwell (1831-1879) erstellte die vier Maxwell'schen Gleichungen des Elektromagnetismus
  • Ludwig Boltzmann (1844-1906) war einer der Begründer der neuen Thermodynamik sowie der statistischen Mechanik
  • Albert Abraham Michelson (1852-1931) entwickelte das Michelson-Interferometer, mit welchen er die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in allen Richtungen nachweisen konnte
  • Max Planck (1858-1947) war einer der Mitbegründer der neuen Thermodynamik und ein Begründer der Quantenmechanik
  • Albert Einstein (1879-1955) verfasste die Relativitätstheorie und trug auch zur Quantenphysik einiges bei(photoelektrischer Effekt)
  • Erwin Schrödinger (1887-1961) formulierte die Schrödingergleichung
  • Werner Heisenberg (1901-1976) verfasste die Heisenberg'sche Unschärferelation


Bedeutung in anderen Wissensgebieten

Die Physik, mit ihrem Ziel die Welt auf Regelmäßigkeiten und Gesetze zurückzuführen, hat viel zu den anderen wissenschaftlichen Zweigen beigesteuert. Hier eine kleine Auflistung der Methoden, Erkenntnisse und Erfindungen, die auf die Physik zurückgehen oder stark von ihr beeinflusst wurden.

Chemie Biologie & Medizin
  • chemische Bindung
  • Molekülstruktur
  • Periodensystem
  • Energiehaushalt der Zellen
  • Transportvorgänge in den Membranen
  • Radioaktive Strahlung & (Wirkung auf) Zellgewebe
Astronomie Technik
  • Astrophysik und Physik sehr stark verwoben
  • Erklärung von Sternen, Galaxien, etc.
  • Beobachtungsmethoden
  • Dampfmaschine
  • Elektromotor
  • Halbleitertechnik
  • Laser, Messtechnik
  • Werkstoffe (Keramik, Supraleiter)
  • Informationstechnologie (IT)
Meteorologie Philosophie & Ethik
  • Phasenübergänge
  • Thermodynamik
  • Aerodynamik
  • Aerosole
  • Strahlung & Wechselwirkung
  • Erkenntnistheorie (inwieweit kann der Mensch die Realität erkennen),
    Beobachtung beeinflusst Messergebnis
  • Verantwortung; jede Entdeckung und Entwicklung birgt Chancen und Risiken.
    Die Aufgabe des Wissenschaftlers ist es, den Entscheidungsträgern seriös und beratend beizustehen
    und die Risiken korrekt abzuschätzen.


Der Messvorgang

Bei einer Messung beobachtet ein Beobachter B ein zu beobachtendes System S. Diese beiden Objekte bilden wiederum ein System S', in welchem S Information an B liefert und B einen gewissen Einfluss auf S ausübt.

  • Falls S makroskopisch: Der Einfluss von B ist meist sehr gering im Vergleich mit den anderen Wechselwirkungen, die untersucht werden. Man kann daher die Messung als objektive (unabhängig vom Subjekt) Systemeigenschaft bezeichnen. Man spricht dann von einer objektiver Wirklichkeit, was auch ab und zu als Realismus bezeichnet wird.
  • Falls S mikroskopisch: Ein wesentlicher Einfluss von B auf S ist unvermeidbar. Um dennoch brauchbare Ergebnisse zu erhalten, nützt man eben die Tatsache aus, dass die Messung einen Einfluss ausübt. Durch eine erste Messung wird das System in einen Eigenzustand präpariert, aus welchem dann durch eine zweite Messung Aussagen abgeleitet werden können.


Beschreibung eines Systems

Will man nun ein System beschreiben, so ist eine physikalische Größe erforderlich, sowie die zugehörige Definition, die jedoch willkürlich formuliert ist.

Physikalische Größe zugehörige Definition
  • Kraft
  • Sekunde
  • Mol
  • Ursache einer Bewegungsänderung
  • 9192631770 Schwingungen des Cäsiums-Atom
  • entspricht 6,022 * 1023 Teilchen eines Stoffes


Eine Messung ergibt sich aus dem Vergleich zweier gleichartiger Größen, wobei eine davon die sogenannte Referenzgröße sein muss.

\text{Groesse} = \text{Maßzahl} \cdot \text{Einheit}\,\!

Unter einer physikalischen Relation versteht man eine Beziehung zweier bestimmten Größen.

  • \vec{F} = m \cdot \vec{a}\,\!
  •  \vec{l} = \vec{v} \cdot t\,\!

Da es bei vielen unterschiedlichen Bezeichnungen von Größen und Einheiten leicht zu Fehlern kommen kann, ist es zweckmäßig ein internationale System von Größen und Einheiten (SI-System) zu definieren.

Absolute Basisgröße

Zu jeder Basisgröße gehört eine Basiseinheit und umgekehrt. Die Basiseinheit wird durch bestimmtes Messverfahren und ein bestimmtes "Normal" definiert.

Beispiel:

Basisgröße Basiseinheit definiertes "Normal"
Masse [m]=kg\,\! Als Referenz wird das Urkilogramm genommen, ein Platin-Iridium-Zylinder mit einem definierten Volumen.

(Ursprünglich: Referenzgröße war Gewicht von 1 Liter Wasser; seid der Definition des Kilogramms über das Urkilogramm,
weist ein Liter Wasser nur mehr ein Gewicht von 0,999975kg auf;)

Zeit [t]=s\,\! 1s \hat{=} Dauer von 9.192.631.770 Schwingungen bei einem bestimmten Mikrowellenübergang von Caesium-Atomen.
Temperatur [T]=K\,\! 1 Kelvin ist \frac{1}{273,16} Teil des Tripelpunktes von Wasser.

(Ursprünglich: Referenzgröße war der Gefrier- und Siedepunkt von Wasser. Diese an einem Thermometer messbare Differenz
wurde auf einer Skala mit 100 Werten aufgetragen. Daraus ergab sich die Einheit Celsius.)

Stoffmenge [n]=mol\,\! 1 mol eines Stoffes beinhaltet genau 6,022 * 1023 Teilchen dieses Stoffes.
Lichtstärke [{I}_{v}]=cd\,\! 1 cd beschreibt die Lichtstärke einer Strahlungsquelle in eine bestimmte Richtung, wobei die Strahlungsquelle

monochromatisches Licht (= Licht einer bestimmten Wellenlänge) bei einer Frequenz von 540THz mit einer
Strahlstärke von \frac{1}{683}\frac{W}{sr} aussendet.


Abgeleitete Basisgröße

Eine Größe gilt als abgeleitet, wenn sie aufgrund einer Definition(srelation) mit einer absoluten Basisgröße (über eine oder mehrere) in Verbindung gebracht wird.
Beispiele für abgeleitete Grundgrößen:

Längendefinition
Die Länge wird über die Zeit definiert: l := c_0 \cdot t\,\!,
wobei c_0 \equiv 299792458 \approx 3 \cdot 10^8 \frac{m}{s}\,\! die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum (eine Universalkonstante) bezeichnet.
Das mag irritieren, da man aus der Schule ja die Länge als absolute Basisgröße kennengelernt hat. Aber die obige Definition hat praktische Gründe. Durch die Festlegung der Lichtgeschwindigkeit wird der Messfehler von c_0\,\! auf die Länge "umdefiniert". Ansonsten würde c_0\,\!, eine wichtige und häufige Konstante, fehlerbehaftet sein. So aber hat die Länge den Fehler (Fehler entstehen sowieso bei jedem Experiment).

,

Definition der Elektrischen Stromstärke
Es wird die Tatsache genutzt, dass stromführende Leiter eine Kraft aufeinander ausüben. Man hat hier zwei parallele Leiter im Abstand  d\,\! und der Länge  l\,\! benutzt.
I := \sqrt{\frac{2 \pi d \cdot F}{\mu_0 \cdot l}}\,\! mit der magnet. Feldkonstante \mu_0 = 4 \pi \cdot 10^{-7} \frac{Vs}{Am}\,\!.

Diese abgeleiteten Basisgrößen bilden zusammen mit den absoluten Basisgrößen die sieben SI-Basisgrößen.
(SI kommt aus dem Französischen und bedeudet: "Système international d’unités" - dt.: Internationales Einheitensystem)

Abgeleitete Größen

Andere physikalische Größen werden aus diesen oben genannten SI-Basisgrößen abgeleitet. Sie zählen zu den SI-Einheiten.

Beispiele:

  • Geschwindigkeit: \vec{v} = \frac{\vec{l}}{t}\,\!
  • Kraft: \vec{F} = m \cdot \vec{a}\,\! mit der Einheit \left[ \vec{F} \right] = \left[ kg \cdot \frac{m}{s^2}\right] = N\,\!
  • Druck: P=\frac{|\vec{F}|}{A}\,\! mit der Einheit \left[ \vec{P} \right] = \left[ \frac{kg}{m \cdot s^2}\right] = Pa\,\!
  • Energie: E=\frac{m \cdot \vec{{v}^{2}}}{2}\,\! mit der Einheit \left[ E \right] = \left[ kg \cdot \frac{m^2}{s^2}\right] = J\,\!


Inkohärente Einheiten

Als solche werden Einheiten bezeichnet, die ein Vielfaches der Basiseinheiten darstellen. Beispielsweise alle Zehnerpotenzvorsätze (Kilo, Mega, Giga oder Milli, Mikro, Nano, etc.) oder auch 1 min = 60s oder ein Lichtjahr lj = 9,46 \cdot 10^{15} m

Bemerkung: Universalkonstanten sind dimensionierte Größen (haben eine Dimension)

Beispiel wie eine kohärente Einheit inkohärent wird:
Joule'sches Experiment: Joule fand heraus, dass sich über das Verrichten mechanischer Arbeit ΔW einem Fluid eine Wärmemenge ΔQ zuführen lässt und zwar immer mit derselben Proportionalitätskonstante: \Delta Q = K_w \cdot \Delta W mit K_w = 2,39 \cdot 10^{-4} \frac{kcal}{J}\,\!.
Joule schloss daraus, dass Q und W "wesensgleich" sind und definierte die Konstante als 1: K_w := 1 \Rightarrow 1 kcal = \frac{1}{2,39 \cdot 10^{-4}} J\,\!. Die Einheit kcal ist somit eine inkohärente Einheit, sie ist ein Vielfaches einer SI-Einheit.

Bemerkungen:

  • Ein ähnliches Spiel lässt sich mit der Längendefinition machen, indem man die Lichtgeschwindigkeit mit einer dimensionslosen 1 gleichsetzt und nach der Zeit umformt. Man erhält dann das Meter als inkohärente Einheit der Sekunde.
  • Je mehr Basiseinheiten als absolut gelten, desto mehr Universalkonstanten müssen gemessen werden.
  • Je mehr Basiseinheiten abgeleitet werden, desto mehr Universaleinheiten verlieren ihre Messfehler durch Definition.


Messgenauigkeit

Statistische Fehler

Ein Histogramm

Im Laufe eines Experiments oder einer Messreihe werden Daten aufgenommen, die jedoch aufgrund einiger Faktoren fehlerbehaftet sind. Sind die Fehler z.B. durch den Aufbau des Experiments bedingt (z.B. starke Abweichungen aufgrund falscher Kalibrierung der Instrumente, kein Strom angesteckt, etc.) so nennt man diese Fehler systematisch. Doch diese interessieren uns nicht so sehr. Interessanter und aufwendiger zu kalkulieren sind die statistischen Fehler, das sind Abweichungen, die durch unzählige kleine zufallsgesteuerte Einwirkungen auftreten (Vibrationen, Luftströmung, Temperaturverteilung, etc.). Und um diese kümmern wir uns jetzt.

Wenn Messungen durchgeführt werden, dann teilt man die wahrscheinlichen Messergebnisse der Messgröße  X \,\! in kleine Intervalle \!\ \Delta x ein, ordnet ihnen Wertebereiche {X}_{j}\;  mit\;  j=1,2,...n-1,n\,\! zu und zählt wie oft ein Messwert in einem Intervall auftaucht. So ergibt sich ein Häufigkeitsdiagramm oder auch Histogramm genannt.

Natürlich wird nicht immer dasselbe Intervall getroffen, sondern es ergibt sich eine bestimmte Verteilung. Um diese Verteilung charakterisieren zu können, sucht man sich einen repräsentativen Wert \overline{x}, der ungefähr die gefundenen Messwerte widerspiegelt. Man sucht praktisch einen Wert, der die Summe der Abstandsquadrate minimiert

Q(\overline{x})=\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 = \text{Min}\,\!

(Man wählt Abstandsquadrate, weil die "einfachen" Abstände sich statistisch eliminieren, also 0 rauskommt, d.h. man geht von einer gleichmäßigen Verteilung aus.) Wenn man nun nach diesem gesuchten Wert ableitet und diese gleich 0 setzt, so kommt man darauf, dass dieser Wert

\overline{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i\,\! lautet. Man bezeichnet diesen Wert als den arithmetischen Mittelwert\overline{x}\,\!. Macht man unendlich viele Messungen, so erhält man den idealen, den wahren Wert x_w\,\!
x_w=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^\infty x_i\,\!

Darüber hinaus will man noch wissen, wie breit die Messwerte im Durchschnitt vom arithm. Mittelwert (bzw. vom wahren Wert) gestreut sind. Deshalb führt man die Varianz Var\,\! ein:

Var=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - x_w)^2\,\!

Dabei ist x_i - x_w\,\! der absolute Fehler der Einzelmessung und die Varianz entspricht dem arithm. Mittelwert der absoluten Fehlerquadrate.
Analog ist es mit dem arithmetischen Mittel der Messwerte, wobei x_i-\overline{x} die Abweichung der Einzelmesswerte vom arith. Mittel beschreibt:

\sigma^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2\,\!

Man wählt hier n-1 \,\! statt  n \,\! um die Abweichung nicht zu unterschätzen, somit ist diese Definition eine bessere Schätzung für den Erwartungswert.
\sigma^2\,\! ist das arithmetische Mittel der Abweichungsquadrate.
\sigma\,\! bezeichnet man als Standardabweichung und \frac{\sigma}{\overline{x}}\,\! ist die relative Standardabweichung (der prozentuale Fehler).


Gauß'sche Glockenkurve

Wenn viele unabhängige Einflüsse auftreten, formt das Histogramm der  {X}_{j}\,\! eine symmetrische Glockenkurve. Diese sogenannte Gauß'sche Glockenkurve stellt eine Normalverteilung dar und wird durch die Funktion f(x)=C \cdot exp(-\frac{(x-\overline{x})^2}{2 \sigma^2})\,\! beschrieben. Das  C \,\! dient der Normierung, sodass also die Fläche unter der Kurve 1 ergibt:  \int_{-\infty}^{\infty} f(x) = 1\,\!. Die Funktion f bezeichnet man als Wahrscheinlichkeitsdichte. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Messwert zwischen [x, x+\Delta x]\,\! liegt, beträgt P(x \leq x_i \leq x + \Delta x)=f(x) \cdot \Delta x\,\!.
Im Fall der Gauß-Verteilung ergibt sich  C \,\! zu \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\,\!.

Nun folgt eine kleine Interpretation zur Standardabweichung \sigma\,\!. Durch Nachrechnen kann man zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit

\begin{align}
& P(\overline{x}-\sigma \leq x_i \leq \overline{x}+\sigma) = 68% \\
& P(\overline{x}- 2\sigma \leq x_i \leq \overline{x}+2\sigma) = 95% \\
& P(\overline{x}- 3\sigma \leq x_i \leq \overline{x}+3\sigma) = 99,7%
\end{align}
\,\!
beträgt. Es wird angenommen, dass die Standardabweichung sorgfältig durch eine lange Messreihe errechnet wurde. Man sieht, dass bei den errechneten 3 \sigma\,\! so ziemlich alle Messwert in diesem Bereich liegen. Daher kann man Werte, die außerhalb dieses Bereiches liegen, als "Ausreißer" betrachten und aus der Statistik nehmen. Aber Vorsicht!!! Da die Erwartungshaltung oder eine anderweitige Manipulation eine große Wirkung entfalten kann, ist es im Zweifel besser, Werte drinnen zu lassen.

Fehlerfortpflanzung

Fehlerfortpflanzung im 2-dim Fall

Fehler können nicht nur auftreten, sondern auch fortpflanzen. Das kommt vor, wenn man eine Funktion R=R(x,y,z,...)\,\! bildet, die von Messwerten abhängt. Abweichungen in den Messwerten übertragen sich auf die Funktion. Frage: Wie stark ändert sich die Funktion, wenn sich ein Messwert ändert? Im einfachsten Fall lautet die Änderung einer Funktion f bei Änderung seines Arguments: f(x_O+\Delta x)=f(x_O)+f'(x_O) \Delta x\,\!. Bei Funktionen mehrerer Variablen benutzt man partielle Ableitungen und die Abschätzung des absoluten Größtfehlers. Das ist der Worst-case und meint, dass jede Änderung etwas positiv zum Fehler beiträgt. Demnach ist

 \sigma_R \leq \left| \frac{\partial R}{\partial x} \right| \vert \sigma_x \vert +\left| \frac{\partial R}{\partial y} \right| \vert \sigma_y \vert+ ...\,\!

Spezialfall:


\begin{align}
R = A x^a y^b z^c ... & \Rightarrow \sigma_R \leq \vert A a x^{a-1} y^b z^c ...\vert \vert\sigma_x\vert + \vert A b x^a y^{b-1} z^c ...\vert \vert\sigma_y\vert + ... \\
& \Rightarrow \frac{\sigma_R}{\vert R \vert} \leq \vert a \vert \left| \frac{\sigma_x}{x}\right| + \vert b\vert \left| \frac{\sigma_y}{y}\right| + ...
\end{align}
\,\!

Den letzten Ausdruck, den man durch die Division der Funktion R erlangt hat, nennt man den relativen Größtfehler.

Nun ist das aber eine sehr pessimistische Schätzung. Man kann's auch positiver angehen. Dieser Ansatz funktioniert nach dem Prinzip der Gauß'schen Fehlerfortpflanzung. Man nimmt an, dass sich die Fehler einzelner Größen teilweise kompensieren. Das wird in den folgenden Ausdruck miteinbezogen:

 \sigma_R=\sqrt{\left( \frac{\partial R}{\partial x}\right)^2 \sigma_x^2 + \left( \frac{\partial R}{\partial y} \right)^2 \sigma_y^2 + ...}\,\! Dies nennt man den absoluten mittleren Fehler von R.

Und zu guter letzt: wie verhält es sich mit den Schwankungen des Mittelwerts? Wenn man mehrere Messreihen startet, so ergeben sich immer andere Mittelwerte, z.B. wenn man 3 Messreihen mit je 10 Messungen hat, so ergeben sich jeweils drei verschiedene Mittelwerte, weil eben die Messwerte fehlerbehaftet sind. Und wie stark ist die Schwankung im Durchschnitt? Unsere Vermutung ist, dass die Mittelwerte schwächer schwanken, als die einzelnen Messwerte, weil ein Messwert die Gewichtung und daher den Mittelwert nur geringfügig beeinflusst.
Berechnen wir also die Standardabweichung des Mittelwerts. Hier wird der Mittelwert als Funktion seiner einzelnen Messwerte betrachtet:

\overline{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \Rightarrow \sigma_R = \sqrt{\frac{1}{n^2} \sigma_{x_1}^2 + \frac{1}{n^2} \sigma_{x_2}^2 + ... }\,\!

Das \sigma_{x_n}\,\! gehört zur selben Messreihe wie \sigma_{x_{n+1}}, deshalb \sigma_{x_n}=\sigma_{x_{n+1}}\,\!, woraus weiters folgt

 \dots  = \sqrt{\frac{1}{n^2} \cdot (n \sigma_x^2)} = \frac{1}{\sqrt{n}} \sigma_x \,\!


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Erstautor: David Hämmerle

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