LV001:LV-Uebersicht/Mitschrift von Studierenden/2 - Mechanik/2.7 - Mechanik deformierbarer Koerper

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Mitschrift zur Einführung in die Physik I - Kapitel 2 - Mechanik - 2.7 - Mechanik deformierbarer Körper

Inhaltsverzeichnis

Mechanik

Mechanik deformierbarer Körper

Bis hierhin haben wir angenommen, dass die betrachteten Körper ideal starre Gebilde sind und sich nicht verformen. Nun aber werden wir etwas realitätsnaher und konzentrieren uns auf die Veränderung der Körperstruktur aufgrund von Kräften und wir beginnen mit den Festkörpern.

Festkörper

Die wirkenden Kräfte greifen lediglich an der Oberfläche des Körpers an und heißen deswegen Oberflächenkräfte. Eine andere, allgemeinere Bezeichung ist Spannung und meint damit die Kraft pro Flächeneinheit. Man klassifiziert tangential zur Oberfläche angreifende Spannungen (Scherspannung \!\ \tau\,\!) und normale bzw. orthogonal angreifende Spannungen (Zugspannung \!\ \sigma\,\! und Druckspannung \!\ p\,\!). Die Einheit aller Spannungen ist dieselbe: [\sigma]=[p]=[\tau]=\left[\frac{F}{A}\right]=\frac{\mathrm N}{\mathrm{m^2}}\,\!

Deformationen

Es gibt eine Mannigfaltigkeit an Deformationen und Verzerrungen und im Folgenden werden wir einige davon nur kurz zeigen und andere etwas genauer ausführen und eventuell Beispiele behandeln.

Bei der Volumsdeformation eines Körpers wird durch die Spannung nur das Volumen verändert, der Körper behält aber seine Form bei. Als Beispiel dient ein Würfel aus einem kompressiblen Material, den man mit einem Gewicht beschwert ein paar hundert Meter ins Meer hinabsinken lässt. Je tiefer der Würfel sinkt, umso stärker wird er durch den anwachsenden Druck zusammengepresst. Da die Kräfte aber von allen Seiten gleichmäßig wirken, behält der Würfel seine Form bei. Das Volumen ändert sich vom anfänglichen V_0\,\! auf V und daher ist \Delta V=V-V_0\,\! und die relative Volumsänderung beträgt \phi = \frac{\Delta V}{V_0}\,\!.

Unter einer Scherung ändert sich nur die Gestalt, aber das Volumen bleibt diesmal konstant. Man stelle sich wieder eine quadratische Fläche vor und diesmal greife eine Kraft \vec{F}\,\! tangential (also entlang einer Kante) am Quadrat an. Das Quadrat wird zu einem Parallelogramm verzerrt, d.h. die Gestalt ändert sich. Da aber die Höhe und die Grundseite die gleichen bleiben, ändert sich der Flächeninhalt nicht. Den Winkel, den die eine Quadratseite und die schiefe Parallelogrammseite einschließen ist der Schwerwinkel \gamma\,\!.

Einseitige Dehnung länglicher Körper

Bei einer einseitigen Dehnung/Stauchung länglicher Körper findet sowohl eine Gestalt- wie auch eine Volumsänderung statt, z.B. wenn an den Enden eines Gummischlauches gezogen wird, so ändert sich die Länge und auch die Querdimension. Die Kraft \vec{F}\,\! an einem Ende bewirkt eine Zugspannung \sigma =\frac{\vert\vec{F}\vert}{A}\,\!. Die Länge ändert sich um \Delta L = L-L_0\,\!. Die relative Längenänderung ist dann \epsilon=\frac{\Delta L}{L_0}\,\!. Für die Querdimension gilt analog: \Delta d = d - d_0\,\! und \epsilon_q= -\frac{\Delta d}{d_0}\,\!. Das Minus wird gesetzt damit die Größe positiv wird. Die Poisson-Zahl setzt beide Parameter miteinander in Beziehung:

\mu=\frac{\epsilon_q}{\epsilon}\,\!:

Man braucht dann nur einen Parameter des elastischen Verhaltens. Aber die deformierten Körper änder auch Dichte und Volumen. Der Zusammenhang zwischen Dehnung, relativer Volumsänderung und Poisson-Zahl ist:

\phi=\epsilon (1 -2\mu)\,\!:

Die Herleitung ist eine freiwillige Übung. Liegt eine Dehnung vor (\epsilon >0 \,\!) und soll sich das Volumen vergrößern (\phi >0 \,\!), so muss \mu < 0.5\,\! sein.

Eine Demonstration zeigt die Verzerrung, die unter Spannungen stattfinden können. Ein Draht wird in eine Vorrichtung eingespannt. Diese Vorrichtung ist beweglich und es ist ein Zeiger, eine Skala und ein Kraftarm zum Einhängen von Gewichten angebracht. Es werden nun Gewichte an den Kraftarm gehängt. Die Kraft überträgt sich und der Draht wird unter der entstehenden Spannung gedehnt, was durch den Zeiger sichtbar wird. Die Drahtdehnung ist proportional zur Spannung. Es werden einige Gewichte mehr dran gehängt und dann später wieder abgenommen. Der Draht zieht sich wieder ein wenig zusammen, aber doch nicht ganz. Anscheinend hat man ab einer bestimmten Spannung eine Grenze überschritten, bei der die Dehnung nicht mehr komplett reversibel ist.

Man kann diesen Prozess in ein \sigma-\epsilon\,\!-Diagramm übertragen. Das \sigma\,\! befindet sich auf der y-Achse und das \epsilon\,\! auf der x-Achse. Am Anfang, wenn die Spannung erhöht wird, liegt eine Proportionalität vor. Wird dieser proport. Bereich verlassen, so findet an der Proportionalitätsgrenze eine leichte Abweichung vom linearen Verhältnis vor. Bei einer weiteren Steigerung der Spannung überschreitet man die Fließgrenze und gelangt in den Fließbereich, wo das gedehnte Objekt unter der Spannung kurzzeitig fließt und sich dann verhärtet (seine Struktur passt sich an). Wird die Spannung noch weiter erhöht erreicht man die Bruchgrenze und das Objekt reißt entzwei.

Im proportionalen Bereich kann die einseitige Dehnung durch \epsilon=\frac{1}{E}\cdot \sigma\,\!, das Hook'sche Gesetz, beschrieben werden. Das E ist das Dehnungsmodul mit [E]=\frac{\mathrm N}{\mathrm{m^2}}\,\!.

Ähnliche Gesetze lassen sich auch in den folgenden Situationen finden. Die allseitige Kompression beschreibt einen Fall, in der eine Druckspannung p von allen Seiten auf den Körper wirkt und ihn zusammenpresst. Die Formel lautet dann \phi= -\frac{1}{K} \cdot p\,\!. K heißt das Kompressionsmodul mit [K]=\frac{\mathrm N}{\mathrm{m^2}}\,\!.
Die Scherung wird durch \gamma = \frac{1}{G} \cdot \tau\,\! beschrieben und G nennt man das Schermodul und wieder ist [G]=\frac{\mathrm N}{\mathrm{m^2}}\,\!.

Zwischen \mu, E, G, K\,\! gibt es zwei Beziehungen:

\frac{E}{2 G}=1+\mu\,\! und \frac{E}{3 K}= 1 -2\mu\,\!:

Bei isotropen Festkörpern sind diese zwei Relationen gültig und so braucht man nur zwei Module zur Charakterisierung eines Verformungsprozesses. Isotrop heißt soviel wie, dass die Körpereigenschaften in allen Raumrichtungen die gleichen sind. Zur Beschreibung anisotroper Festkörper (z.B. Kristallen) werden mehrere Koeffizienten benötigt (u.a. auch Tensoren). Trikline Kristalle benötigen 21 Koeffizienten, für kubische Kristalle reichen schon 3 Koeffizienten, für amorphe Festkörper genügen 2 und Flüssigkeiten brauchen nur einen Koeffizienten. Wir beschränken uns im Folgenden auf amorphe, isotrope Festkörper.

Schema einer Brücke unter Spannung

Betrachten wir mal eine Brücke unter Spannung. In der Abbildung sieht man ein stark vereinfachtes Schema einer Brücke mit der Länge L, der Breite b und der Dicke d. Als kleine Hilfestellung denkt man sich mitten durch die Brücke eine neutrale Faser, die sich unter der wirkenden Kraft und die bewirkte Spannung nicht ändert. Wenn jemand über die Brücke geht und damit eine Spannung wirkt, so wird der Bereich oberhalb der neutralen Faser gestaucht und unterhalb der Faser wird der Bereich gedehnt. Die Strecke, um die sich die Brücke biegt, kann trotzdem alleine mit dem Dehnungsmodul beschrieben werden:

s=\frac{L^3}{4 b d^3}\cdot \frac{\vert\vec{F}\vert}{E}\,\!.
Torsion eines Zylinders

Unter einer Torsion versteht man eine Verdrillung eines Körpers. Das geschieht z.B. wenn man einen zylinderförmigen Körper mit dem Radius R gegeben hat, der unten an seiner Grundfläche festgehalten wird und oben greifen zwei Kräfte \vec{F}\,\! und -\vec{F}\,\! tangential so an, dass ein Drehmoment entsteht. Das Drehmoment beträgt \vert\vec{N}\vert=\frac{\pi G R^4}{2 L} \cdot \varphi\,\!. G wird deshalb auch manchmal Torsionsmodul genannt. Man sieht \vert\vec{N}\vert \propto \varphi\,\! mit \varphi\,\! als Drehwinkel.

Demonstration:
Ein Stab sei senkrecht in einer Vorrichtung eingespannt, an der ein kleiner Spiegel angebracht ist. Die Vorrichtung lässt eine kleine Drehung zu, wenn man an zwei befestigten Fäden zieht. Ein Laser leuchtet auf den Spiegel und wird auf eine Leinwand projiziert. Wenn man nun über die Fäden ein Drehmoment wirken lässt, so dreht sich der Stab und der an ihm befestigte Spiegel. Das erkennt man daran, dass sich der Laserpunkt auf der Leinwand entsprechend der Auslenkung bewegt.

Härte von Festkörpern

Die Härte bzw. die Festigkeit wird über zwei Verfahren gemessen:

  • Das Brinell-Verfahren: Man misst wie weit eine wirkende Kraft in den Körper eindringen kann. Dazu benutzt man einen Körper, von dem man weiß, dass er sich nur sehr schwer deformieren lässt wie z.B. eine gehärtete Stahlkugel. Nun misst man den Durchmesser D der Delle, die die Stahlkugel unter einer Kraft F in den Körper drückt und bestimmt so die Härte des Materials.
  • Das Ritz-Verfahren: Man bildet eine empirische Skala von 1 bis 10, wobei 1 die Härte von Talk ist und 10 die Härte von Diamant. Nun wird die Härte bestimmt bzw. eingeordnet, indem man testet, welches Material ein anderes Material ritzen kann. So kann bspw. nur Diamant eine Ritze in einen anderen Diamanten schneiden, aber schon Stahl kann von Diamant geritzt werden.

Reibung von Festkörpern

Reibung hindert die Bewegung eines Körpers, indem es die kinetische Energie der Translation in thermische Energie der Teilchen umwandelt. Diese Reibung entsteht dadurch, dass die Oberflächen der Körper nicht vollkommen eben sind, sondern aus unförmigen Zacken besteht und sich die Materialien deshalb oft ineinander verkeilen. Die Reibungskraft \vec{F}_R\,\! wirkt entgegen der Bewegungsrichtung. Der Körper drückt unter der Schwerkraft mit einer Normalkraft \vec{F}_N\,\! auf das unter ihm befindliche Material. Folgendes ist logisch:

  • \vec{F}_R \propto \vec{p}\,\! (p ist der Anpressdruck)
  • \vec{F}_R \propto A\,\! (A ist die Kontaktfläche)
  • Daraus folgt: \vec{F}_R \propto \vec{F}_N\,\!

Dazu ein kleines Experiment:
Man zeigt, dass die Reibung nur von der Normalkraft abhängt. Ein quaderförmiger Holzblock der Masse m liegt auf dem Labortisch. Über Gewichte und eine Umlenkrolle wirkt man eine Kraft auf den Holzblock. Da die Haftreibung (die Reibung des Blockes in Ruhe; "Verzahnung" der Oberflächen der Materialen stärker) größer ist als die Gleitreibung (Reibung in Bewegung; "Verzahnung" geringer), so muss die Haftreibung durch einen kurzen Schlag auf den Tisch ausgehebelt werden. Ist die Zugkraft \vec{G}\,\! nun groß genug, so wird die Gleitreibung überwunden und der Block beschleunigt. Stapelt man zwei gleiche Holzblöcke übereinander, so braucht man ein 2 \vec{G}\,\! um die Reibung zu überwinden. Nimmt man wieder nur einen Holzblock, stellt ihn diesmal aber senkrecht auf, so wird wieder das gleiche \vec{G}\,\! benötigt (Anpressdruck größer, aber Fläche kleiner, Normalkraft gleich).

Wir finden also für die Haftreibung F_H=\mu_H \cdot F_N\,\!, für die Gleitreibung F_G=\mu_G \cdot F_N\,\! und für die Rollreibung N_R=\mu_R \cdot F_N\,\!. Das μ ist der zugehörige Reibungskoeffizient (dimensionslos). Bei der Rollreibung handelt es sich auch um eine Rotationsbewegung und da wird deshalb mit der Kraft auch das Drehmoment verringert ([\mu_R]=\mathrm m\,\!).

Fluide

Wir wenden uns nun den Flüssigkeiten und Gasen zu, auch Fluide genannt.

Ruhende Flüssigkeiten und Gase

Die Mechanik der ruhenden Fluide wird auch Hydrostatik genannt. Flüssigkeiten werden durch ihre Eigenschaft definiert, dass sie inkompressibel sind, d.h. ihre Dichte ändert sich unter einer Druckeinwirkung nicht. Die Dichte von einem Gas jedoch hängt vom auf ihm wirkenden Druck ab.

Man betrachtet nun die Situation von Fluiden unter statischem Druck, d.h. eine Kraftwirkung auf ein Flächenstück eines Fluids (z.B. Luftdruck, Wasserdruck). Hier kommen keine Scherkräfte vor. Falls doch, so bewegt sich die Flüssigkeit so lange, bis die Scherkräfte eliminiert sind. Deshalb wirken nur Kräfte orthogonal zur Flüssigkeitsoberfläche. Diese Kraft bewirkt einen Druck p=\frac{\vert\vec{F}\vert}{A}\,\! mit der Einheit Pascal: [p]=\mathrm{\frac{N}{m^2}}=\mathrm{Pa}\,\!. Die Druckverteilung ist homogen und isotrop. Füllt man z.B. eine Messingkugel, die mit einem Presskolben verbunden ist und sehr kleine Löcher hat, mit Wasser und wirkt über den Presskolben eine Kraft auf das in der Kugel enthaltene Wasser, so spritzt gleichmäßig aus allen Löchern Wasser aus.

Flüssigkeitssäule und Druck im Schwerefeld

Wie wirkt sich die Schwerkraft auf Flüssigkeiten aus? Wir betrachten dazu eine Flüssigkeitssäule, die mit einer beliebigen Flüssigkeit gefüllt ist. Wir legen den Ausgangspunkt bzw. das Nullniveau auf Höhe, wo sich die Flüssigkeit mit dem umgebenden Gas berührt. Im Nullniveau herrscht der Druck p_0\,\!, der vom umgebenden Gas auf die Flüssigkeit ausgeübt wird. Der Tiefenparameter t zeigt nach unten. In einer Tiefe t herrsche der Druck p. Der Druckzuwachs, wenn man kleines Stück tiefer geht, ist gleich dem zusätzlichen Gewicht der dünnen Volumsscheibe, die auf die Querschnittsfläche wirkt: dp=\frac{G}{A}=\frac{\overbrace{\rho \cdot dV}^{m} \cdot g}{A}=\rho g dt\,\!. Wir integrieren nun dieses Druckänderung vom Ausgangspunkt zu einem gewissen Druck in der Tiefe t: \int_{p_0}^p dp' = \int_0^t \rho g dt'\,\!. Da die Dichte konstant ist erhält man:

p-p_0=\rho g (t-t_0) \Rightarrow p=p_0+\rho g t\,\!
Paradoxon? Gleicher Druck bei unterschiedlicher Gefäßform

Wie man am Ergebnis sieht, hängt der Druck nur von der Tiefe der Flüssigkeit ab, nicht jedoch von der Gestalt der Gefäße, was uns direkt zum hydrostatischen Paradoxon führt. Man nehme bspw. zwei Gefäße wie man sie in der Abbildung vorfindet. Sie haben den gleichen Füllstand und die gleich Grundfläche. Und Normalerweise würde man erwarten, dass der Druck im linken Gefäß kleiner ist als im rechten. Würde man den Druck messen, so würde aber in beiden Gefäßen bei gleichen Tiefen der gleiche Druck rauskommen. Wie kommt das? Man kann sich das so vorstellen: Im linken Gefäß herrscht an einer Stelle direkt unter der hohen Flüssigkeitssäule ein Druck gemäß der vorhin gefundenen Formel. Rechts und links von dieser Flüssigkeitssäule aber sind die Wassersäulen niedriger und damit auch der dort herrschende Druck. Es herrscht also kein Druckgleichgewicht. Die mittlere Wassersäule drückt also auf die Nebenbereiche. Diese Nebenbereiche drücken aber wiederum auf die Gefäßwände. Und diese wiederum drücken durch ihre Festigkeit wieder auf diese niedrigen Wasserbereiche zurück und erhöhen somit den Druck auf die Nebenbereiche, und zwar um soviel bis ein Druckgleichgewicht eintritt. Dann ist aber der Druck in den Nebenbereichen genauso groß wie in der mittleren, hohen Wassersäule.

Demonstration: Die kommunizierenden Gefäße

Die kommunizierenden Gefäße

Gegeben sind drei unterschiedliche geformte Gefäße, die am Boden durch eine querliegendes Rohr miteinander verbunden sind (siehe Abbildung). Füllt man nun Wasser hinein, so ergibt sich in allen drei Gefäßen die gleiche Füllhöhe.

Das U-Rohr-Manometer

Eine Anwendung der oben gefundenen Formel findet sich im U-Rohr-Manometer. Im U-förmig gebogenen Rohr ist ein wenig Flüssigkeit gefüllt und an den beiden Enden herrschen die beiden Drücke p_1, p_2\,\!. Über den Höhenunterschied \Delta t\,\! kann man sich die Druckdifferenz p_2-p_1=\rho g \Delta t\,\! berechnen. Das gilt, weil in gleicher Höhe der gleiche Druck herrschen muss. Oder etwas anders formuliert: der Druck p_1\,\! und die Flüssigkeitssäule längs der Höhendifferenz müssen den Druck p2 kompensieren.

Wie verhalten sich denn nun die Gase unter der Schwerkraft. Die Methodik ist eine ähnliche wie bei den Flüssigkeiten. Man wählt ein Nullniveau mit dem Druck p_0\,\!. Doch nun wählt man den Höhenparameter so, dass er nach oben zeigt. Man argumentiert nun wieder mit der Druckänderung bei kleinem Höhenanstieg. Doch diesmal ist die Dichte von der Höhe abhängig (\frac{p}{\rho}=\text{const}\,\!)und deshalb ergibt sich durch die Integration die Beziehung:

p=p_0 \cdot \exp\left(-\frac{\rho_0}{p_0} g h\right)\,\!

Experiment:

Geschwindigkeits- und Druckverteilung

Es wird versucht, diese Druckverteilung (zunehmende Höhe bewirkt exponentiell abnehmenden Druck) durch die Simulation eines Gases zu erklären. In einem abgeschloßenen Standzylinder befinden sich ein Haufen leichter und schwerer Kugeln. Der Boden des Zylinders besteht aus einer Membran, die in Schwingung versetzt werden kann. Wird nun diese Membran in Schwingung versetzt, so überträgt sich die Energie auf die Kugeln. Die schweren Kugeln und ein Teil der leichten Kugeln wird gerade mal so viel Energie erhalten, dass sie sich ein wenig abheben, während die anderen leichten Teilchen bei gleicher Energie eine höhere Geschwindigkeit aufweisen und deshalb höher aufsteigen können (mehr kinet. Energie, mehr potentielle Energie). Wie man sieht, werden nur ganz wenige Teilchen ganz nach oben gelangen. Diese Geschwindigkeitsverteilung bewirkt also auch eine Druckverteilung, weil die meisten Teilchen unten bleiben und so mehr Druck ausüben, währen die oberen wenigen Teilchen kaum einen Druck erzeugen.

Auftrieb und Gewichtskraft

Ein bekanntes Phänomen, das in ruhenden Fluiden leicht zu beobachten und zu beschreiben ist, ist der Auftrieb, der nach dem Archimedisches Prinzip funktioniert. Wenn sich ein Objekt in einem Fluid befindet, so erfährt es eine nach oben gerichtete Kraft, den Auftrieb, die der Schwerkraft entgegen wirkt und genauso groß ist wie das Gewicht des "verdrängten" Fluides. Das lässt sich so erklären: Wir stellen uns vor, dass das Objekt sich noch nicht im Fluid befindet, sondern dass die Silhouette des Objektes mit dem Fluid gefüllt ist. Da das Fluid sich in Ruhe befindet, muss sich das Fluid im Gleichgewicht befinden, das heißt es erfährt eine der Schwerkraft entgegengerichtete, betragsmäßige gleiche Gegenkraft \vec{F}_G= -\vec{G}\,\!. Diese Gegenkraft wird durch die Kräfte des umgebenden Fluids auf die Silhouette bewirkt. Nun können wir uns auch die Silhouette mit einem anderen Material gefüllt denken, doch da die Situation ansonsten die gleiche ist, müssen auch auf die Silhouette immer noch dieselben Kräfte angreifen und damit ist auch der Auftrieb der gleiche. Und weil der Auftrieb ja ident ist mit der auf die Fluidmasse wirkenden Schwerkraft (=Gewicht!), so muss auch auf das Objekt im Fluid (=Silhouette mit anderem Material "gefüllt") eine Auftriebskraft, die dem Gewicht des verdrängten Fluids entspricht, wirken.

Oberflächeneigenschaften von ruhenden Flüssigkeiten
Oberflächenspannung

Wenn wir einmal eine ruhende Flüssigkeit und ihren molekularen Aufbau betrachten, so stellen wir fest, dass auf Atome im Inneren der Flüssigkeit keine Gesamtkraft ungleich Null wirkt, denn die umgebenden Atome, mit denen es wechselwirkt, sind gleichmäßig verteilt und die Kräfte heben sich deshalb auf. Wir können und vorstellen, wie die (signifikanten) Kräfte der umgebenden Atome innerhalb eines "Wirkradius'" um ein gegebenes Atom gleichmäßig verteilt sind und sich gegenseitig aufheben. Wenn nun ein Atom nahe genug an der Flüssigkeitsoberfläche ist, so kann ein Teil des "Wirkkreises" leer sein, d.h. dort sind keine Atome, die Kräfte wirken könnten. Das heißt, es fehlen ein paar Kräfte, die das Atom nach oben zerren und es entsteht eine resultierende Kraft nach unten (kein Kräftegleichgewicht mehr). Will man nun ein solches Atom an die Oberfläche bringen und die Oberfläche vergrößern, so muss gegen diese Resultierende eine Arbeit verrichtet werden. Diese Arbeit ist umso größer, je mehr Atome man an die Oberfläche bringen will (je größer die Oberflächenerweiterung ist) und je stärker die Atome nach unten gezogen werden (das wird ausgedrückt durch den Begriff der Oberflächenspannung \sigma\,\!).

\Delta W = \sigma \Delta A\,\!

Die Einheit der Oberflächenspannung lautet dann klarerweise [\sigma]=\frac{\mathrm J}{\mathrm{m^2}}\,\!. Gegeben sei nun ein rechteckiger Drahtbügel mit der einen Seitenlänge L und der anderen Seitenlänge s. Eine einzige Seite des Drahtbügels sei verschiebbar und innerhalb des Drahtbügels befinde sich eine Seifenlamelle (eine sehr dünne Schicht bestehend aus Seifenflüssigkeit). Wir vergrößern die Oberfläche, indem wir mit einer Kraft \vec{F}\,\! die bewegliche Seite um \Delta s\,\! verschieben. Die verrichtete Arbeit beträgt \Delta W=\vert\vec{F}\vert \Delta s\,\! und diese ist gemäß der Beziehung über die Oberflächenspannung identisch mit \Delta W = \Delta A~\sigma = 2 L \Delta s \cdot \sigma\,\!. Der Faktor 2 rührt daher, dass die Lamelle eine Ober- und Unterseite hat und beide gleichzeitig vergrößert werden. Durch Gleichsetzen und Umformen kann man aber die Beziehung

\sigma = \frac{F}{2L}\,\!

herstellen. Wir sehen, die Oberflächenspannung hat auch die Dimension "Kraft pro Länge".

Demonstration:
Es wird gezeigt, dass eine Flüssigkeit tatsächlich eine Oberflächenspannung besitzt. Wir haben einen ähnlichen rechteckigen Drahtbügel wie zuvor, nur diesmal wird die bewegliche Seite ersetzt durch einen dünnen Stab, der den Bügel entlangrollen kann. Der Bügel wird etwas schräg gehalten, sodass der Stab am unteren Ende des Bügels sitzt. Der Bügel wird nun vollständig in Seifenlauge getaucht und wieder herausgehoben. Man sieht, dass sich die aufgespannte Seifenlamelle aufgrund der Oberflächenspannung zusammenzieht und der Stab hinaufrollt. Durch das Verändern der Oberfläche mittels Oberflächenspannung wird also eine Arbeit verrichtet.

Kapillarität
Kapillarität

Der bekannte Effekt, dass die Flüssigkeit in einem dünnen Röhrchen ansteigt, sobald man dieses Röhrchen in eine Flüssigkeit taucht, nennt man den Kapillareffekt. Das funktioniert so: das Röhrchen ist bereits vor dem Eintauchen mit einer sehr dünnen Flüssigkeitsschicht benetzt (z.B. wegen dem Wasserdampf in der Luft). Taucht das Röhrchen ein, so hat die Flüssigkeit aufgrund der Oberflächenspannung die Tendenz sich zusammenzuziehen, wodurch die Flüssigkeit ein wenig angehoben wird. Und wie groß ist dieser Flüssigkeitsanstieg? Man kann ihn mittels des Energieerhaltungssatzes ermitteln. Wir nehmen an, die Flüssigkeit sei bereits um ein Stück h angehoben (siehe Abbildung). Nun will sich der Flüssigkeitsfilm noch weiter zusammenziehen und kann daher die Energie \Delta E= \sigma \cdot \Delta A= \sigma \cdot 2r\pi \Delta h\,\! gewinnen. Gleichzeitig wird diese Energie aber benötigt, um beim Zusammenziehen der Flüssigkeit die Fluidmasse hochzuziehen. Die benötigte Arbeit ist \Delta W = mg \Delta h = r^2 \pi h \rho g \Delta h\,\!. Die Arbeit wird solange verrichtet, wie Energie vorhanden ist, um die Oberfläche so gering wie möglich zu machen:

2\pi r \Delta h \sigma =r^2 \pi h \rho \cdot g \Delta h \Rightarrow h = \frac{2 \sigma}{\rho g r}\,\!

Dieser Gleichgewichtszustand bedeutet, dass ab einer bestimmten kritischen Masse (die ja abhängig ist von der Flüssigkeitshöhe h) eine weitere kleine Erhöhung zu einem Zustand führt, indem die Hebearbeit größer ist als die vorhandene Energie und die Flüssigkeitsmenge daher auf der Höhe h stecken bleibt.

Strömende Fluide

Die Erforschung von strömenden Fluiden bezeichnet man als Hydrodynamik. Zur Beschreibung eines Strömungszustandes muss man jedem Punkt der Strömung mindestens drei Größen zuordnen können. Das erreicht man durch die Beschreibung von Feldern. Man benötigt

  • ein (vektorielles) Geschwindigkeitsfeld \vec{v}\,\!
  • ein (skalares) Druckfeld p\,\!
  • ein (skalares) Dichtefeld \rho\,\!

Ein oft vorkommender Begriff ist die Stromlinie. Sie bezeichnet die "aktuellen" Wegrichtung eines Massenelements des Fluids. Die Geschwindigkeit des Massenelements liegt tangential an die Stromlinie. Ein Stromfaden kann man sich als "voluminöse Stromlinie" vorstellen, indem man einen Schlauch mit einem (sehr kleinen) Radius entlang der Stromlinie zieht. Die Bahnkurve eines Fluidelements beschreibt den Weg, den ein Fluidteilchen durch die Flüssigkeit nimmt. Das muss nicht mit der Stromlinie übereinstimmen (sie stimmen nur im stationären Strömungsfall überein). Eine Stromlinie ist im Allgemeinen von der Zeit abhängig und kann sich verändern, während die Bahnkurve eines Teilchens sich im Laufe der Zeit ergibt und auch vom Verlauf der Stromlinien beeinflusst wird. Man kann sich vorstellen, wie sich das Teilchen entlang einer gewissen Bahnkurve bewegt, während sich die Stromlinien sich stetig ändern (können).

Man unterscheidet gewisse Strömungsformen:

  • stationär - nicht stationär: stationär heißt, dass die Stromlinien zeitlich konstant sind.
  • wirbelfrei - existente Wirbelströmungen: ein "Wirbel" kommt vor, wenn ein mitfließendes Teilchen durch die Strömung in Rotation versetzt wird.
  • laminar - turbulent: laminar ist nicht ident mit wirbelfrei, denn auch laminare Strömungen können Wirbel enthalten. Laminar heißt lediglich, dass sich die Stromfäden nicht "mischen".

Demonstration:

Eine laminare und eine turbulente Strömung

Es wird der Unterschied zwischen einer stationären sowie laminaren und einer nicht-stationären sowie turbulenten Strömung demonstriert. In einer Apparatur bestehend aus einer dünnen Schicht Wasser zwischen zwei durchsichtigen Glasplatten wird eine Kreisscheibe gehängt. Nun lässt man von oben rillenweise gefärbtes Wasser herabfließen und man sieht wie die Stromlinien (die gefärbten Linien) nach kurzer Zeit nicht mehr ändern und zeitlich konstant bleiben und sich nicht vermischen (d.h. es liegt auch Laminarität vor). In einer ählichen Vorrichtung wird eine Kreisscheibe zwischen die mit Flüssigkeit gefüllten Glasscheiben geschoben. Nun legt man eine horizontale Strömung an und macht sie durch eingestreute Glaskugeln, die von Licht angestrahlt werden, sichtbar. Man erkennt, dass sich die Stromlinien vermischen und dass sie ihre Position zeitlich verändern.

Ob sich eine Strömung laminar oder turbulent verhält, hängt unter anderem auch von der Geschwindigkeit \vec{v}\,\! der Strömung ab (und ebenso von der Dichte \rho\,\! und ihrer Zähigkeit \eta\,\!).

Ein strömendes Fluid lässt sich noch unterteilen in

  • inkompressibel - kompressibel: Inkompressibilität gilt manchmal auch für Gase, wenn der Druckunterschied bis zu einem gewissen \vec{v}\,\! sehr gering ist.
  • reibungsfrei - zäh

Der Volumsfluss (Volumsmenge pro Zeiteinheit) einer Fluidströmung durch eine beliebige Fläche A lautet \Phi_V=\iint_A \vec{v}~d\vec{f}\,\!. Dieser ist in einer "inkompressiblen" Flüssigkeit immer konstant (Kontinuitätsgleichung). Und wieviel Masse fließt in derselben Zeit durch die Fläche? Es wird einfach bei jedem infinitesimal kleinen Flächenelement d\vec{f}\,\! die vorherrschende Dichte (die "im Allgemeinen" nicht konstant sein muss) miteinbezogen und man erhält damit den Massefluss

\Phi_M=\iint_A \rho \vec{v}~d\vec{f}\,\!.

Wenn man die Fluidstromdichte \vec{j}=\rho \cdot \vec{v} definiert kann man auch Schreiben \Phi_M=\iint_A \vec{j}~d\vec{f}\,\!. Nun ist aber durch die Masseerhaltung die Gleichung \Phi_M= -\frac{dM}{dt}\,\! gegeben. Das heißt, dass z.B. bei einem Schlauch, aus dem Wasser herausfließt, die Masse, die durch die Schlauchöffnung pro Zeiteinheit tritt (der Massefluss) gleich der zeitlichen Massenänderung ist, die der Schlauch in seinem Inneren verliert (und nachgepumpt werden muss). Nach dem Satz von Gauß wissen wir zusätzlich:

\Phi_M=\iint_A \rho \vec{v}~d\vec{f} = -\iiint_V \mathrm{div}(\rho \vec{v})~dV\,\!

Nun können wir schreiben:

\iiint_V \mathrm{div}(\rho \vec{v})~dV = -\frac{d}{dt} \iiint_V \rho~dV = -\iiint_V \frac{d\rho}{dt}~dV\,\!

Nach ein paar weiteren kleine Umformungen gelangt man schlussendlich zu:

\mathrm{div}(\rho\vec{v})+\frac{d\rho}{dt}=0\,\!

Einen Spezialfall eines strömenden Fluides ist eine Strömung, die sowohl stationär, inkompressibel und reibungsfrei ist. Die Inkompressibilität gewährleistet, dass jedes Fluidelement ein konstantes Volumen dV hat und die Reibungsfreiheit garantiert die Erhaltung der mechanischen Gesamtenergie. Ein Fluidelement hat das Volumen dV=A \cdot ds\,\! mit A als Querschnittsfläche der Strömung und ds einem infinitesimalen Wegstück des fluidführenden Materials (Schlauch, Rohr, etc.). Nun wird das Fluid ja mit einer gewissen Kraft F vorwärtsgeschoben und die Arbeit, die dabei verrichtet wird ist

W=F \cdot ds = p\cdot A\cdot ds = p \cdot dV\,\!.

Wegen der Energieerhaltung muss gelten:

p \cdot dV + \underbrace{\frac{\rho \cdot dV v^2}{2}}_{\text{kinet. Energie}}+\underbrace{\frac{\rho \cdot dV g \cdot h}{2}}_{\text{pot. Energie}}=\text{const.}\,\!.

In etwas gekürzter Fassung hat man die sogenannte Bernoulli-Gleichung (die nur für diesen Spezialfall anwendbar ist):

p + \frac{\rho v^2}{2}+\frac{\rho g h}{2}=\text{const.}\,\!.

Bei konstanter Höhe h kann man sogar schreiben p+\frac{\rho v^2}{2}=\text{const}\,\!.

Das hydrodynamische Paradoxon

Aus dieser gekürzten Bernoulli-Gleichung kann man das hydrodynamische Paradoxon ablesen: bei einer Erhöhung der Geschwindigkeit verringert sich der Druck der Flüssigkeit. Dies ist z.B. der Fall, wenn sich das Rohr, durch welches das Fluid fließt, sich verengt. Es gibt zwei Varianten um sich diese paradoxe Situation etwas klarer zu machen. Wenn eben z.B. ein (inkompressibles) Fluid durch ein dünneres Rohr gepresst wird, so muss dessen Geschwindigkeit zunehmen, da bei einer kleineren Rohrquerschnittsfläche eine höhere Fließgeschwindigkeit benötigt wird um den gleichen Volumsfluss zu erhalten (Kontinuität, siehe oben). Aber wie wird das Fluid beschleunigt? Durch einen Druckunterschied: die Flüssigkeit wird in die engere Röhre "hineingepresst". Deshalb muss der Druck bei höherer Geschwindigkeit geringer sein. Umgekehrt verhält es sich, wenn sich die Röhre verbreitert und das Fluid abgebremst werden muss. Wieder ist ein Druckunterschied Man kann den Druck p aber auch als Teil der Energie eines Fluidelements ansehen (siehe oben, Herleitung der Bernoulli-Gleichung). Wenn nun die kinetische Energie des Fluids zunimmt, so muss der Druck abnehmen. Dazu nun zwei Experimente:

Experiment:
Eine waagrechte, fest montierte Kreisscheibe ist mit einem Rohr, das als Luftzufuhr dient, versehen. An dieser Kreisscheibe hängt eine weitere Kreisscheibe, die jedoch über eine passende Hängevorrichtung beweglich gehalten wird. Zwischen den beiden Scheiben ist etwas Zwischenraum. Nun wird Luft über das Rohr in den Zwischenraum geblasen. Überraschenderweise wird die untere Scheibe nicht weggedrückt, sondern sogar angezogen! Warum? Die Luft bewegt sich mit einer gewissen Geschwindigkeit und hat damit einen niedrigeren Druck als die ruhende Umgebungsluft, welche dann die untere Scheibe hinaufdrückt. Der Zwischenraum wird geschloßen, die Luftzufuhr kurz unterbrochen, die Scheibe fällt wieder herunter und das Spiel beginnt von Neuem, d.h. die Scheibe flattert (sehr rasch).

Experiment:
Aus einer nach oben gerichteten Düse wird Luft kegelförmig hinausgeblasen, d.h. in der Mitte des Kegels ist die Luftgeschwindigkeit am höchsten und nimmt zum Rand hin ab. Legt man nun einen Ping-Pong-Ball über die Mitte des Luftstroms, so bleibt der Ball in relativ stabiler Lage über dieser Mitte. Weicht er kurz ab, so wird er durch den Druckunterschied (Geschwindigkeit außen niedriger, Druck höher --> Ball wird zur Mitte gedrückt) wieder in die Mitte verlagert. Das klappt sogar, wenn man die Düse etwas schräg hält.

Experiment

Anströmung von Körpern
Messung des Drucks und Geschwindigkeit mittels Anströmung eines Körpers

Ein laminar strömendes Fluid mit homogener Geschwindigkeitsverteilung strömt auf einen Testkörper zu. Zu einem gewissen Zeitpunkt hat das Fluid den Druck p_0\,\! und die Geschwindigkeit v_0\,\!. Am Staupunkt S herrscht der Druck p und die Geschwindigkeit der Strömung ist dort gleich Null. Aus der Bernoulli-Gleichung können wir schließen

p+\frac{\rho v^2}{2}=\text{const} \Rightarrow p_0 + \frac{\rho v^2_0}{2}=p\,\!.

Man bezeichnet p-p_0=\frac{\rho v_0^2}{2}\,\! als den Staudruck und man kann daraus die Geschwindigkeit v_0=\sqrt{\frac{2 \cdot (p-p_0)}{\rho}}\,\! berechnen. Die Messapparatur, mit deren Hilfe das gemessen wird, heißt Prandtl-Rohr.

Zirkulation und Wirbel
Zirkulation zweier Strömungen

Die Zirkulation ist definiert als z=\oint \vec{v}~d\vec{s}\,\!. Sie ist ein Parameter für die Rotation innerhalb einer beliebigen geschloßenen Kurve. Ist z \neq 0, so liegt ein Wirbel vor (siehe obere Hälfte der Abbildung). Die geschloßene Kurve kann beliebig gewählt werden. In der unteren Bildhälfte sehen wir eine andere, (stationär, laminar, homogenes Geschwindigkeitsfeld) Strömung und eine andere Kurve. Hier ist z=0\,\!, denn das Linienintegral der senkrechten Seiten ist gleich 0 und die Linienintegrale der beiden waagrechten, gegenüberliegenden Seiten hebt sich auf. Das heißt, die Strömung hat keine Zirkulation und ist damit wirbelfrei. Man kann zeigen, dass wenn \frac{d}{dt} \oint \vec{v}~d\vec{s}=0\,\!, so bleibt die Zirkulation erhalten (Thomson'scher Satz).

Experiment

  • Rauchring - Video zu Experiment zur Erhaltung der Zirkulation


Strömung zäher Fluide
Zähes Fluid wird in Bewegung versetzt

Eine Strömung gilt als zäh, falls sich eine Fluidschicht bewegt und sich dieser Impuls auf die anderen Fluidschichten überträgt, d.h. es findet ein Impulstransport vermittels einer Kraft, nämlich der Reibung, statt. Zum Beispiel sieht man in der Abbildung, wie die oberste Schicht eines Fluids, das sich zwischen zwei Platten befindet, in Bewegung versetzt wird, indem die obere Platte durch eine Kraft \vec{F}\,\! verschoben wird, und die anderen Schichten durch die Reibung "mitreißt" (Impulsübetragung). Wir beschränken uns im Folgenden auf laminare Strömungen.

Demonstration:
Eine waagrechte Kreisscheibe ist mit einem Elektromotor verbunden. Unter dieser Scheibe befindet sich eine zweite, bewegliche montierte, waagrechte Kreisscheibe. Dazwischen ist ein Zwischenraum angefüllt mit (noch ruhender) Luft. Nun wird die obere Platte in Rotation versetzt. Der Impuls wird auf die Luft übertragen und diese trägt ihn weiter auf die untere Scheibe, welche langsam, aber doch zu rotieren beginnt.

Wie groß ist nun die aufgewandte Kraft? Sie hängt wohl von der Kontaktfläche A, dem Geschwindigkeitsverlauf \frac{dv}{dz}\,\! (je steiler, desto mehr Kraft wird benötigt) und von der Zähigkeit/Viskosität \eta\,\! ab:

F=\eta \cdot A \cdot \frac{dv}{dz}\,\!

Im Falle eines linearen Geschwindigkeitsprofils (siehe Abbildung) ist der Geschwindigkeitsverlauf \frac{dv}{dz}=\frac{v_0}{h}\,\!. Die Einheit der Viskosität lautet [\eta]=\frac{\mathrm{N \cdot \not{m} \cdot s}}{\mathrm{m^2 \cdot \not{m}}}=\mathrm{Pa \cdot s}\,\!.

Eine Erweiterung ist die kinetische Viskosität \nu := \frac{\eta}{\rho}.

Einige experimentelle Werte (in Millipascalsekunden) der Zähigkeit:

  • Wasser: 1.002
  • Benzol: 0.65
  • Glycerin: 1480
  • Luft (bei 1 bar): 0.017
  • Wasserstoff (1 bar): 0.0086

Bei der laminaren Strömung in einem zylindrischen Rohr der Länge L und dem Radius R entwickelt sich meist ein parabolisches Geschwindigkeitsprofil, d.h. in der Mitte ist die Geschwindigkeit am größten und nimmt zum Rand hin ab (am Rand ist sie nahe Null). Der Volumsdurchsatz durch dieses Rohrstück ist nach dem Gesetz von Hagen-Paisseuille gleich Q=\frac{\pi R^4}{8 \eta L} \cdot \Delta p\,\!. Halbiert man den Radius, so verringert sich der Durchsatz um das 16-fache! Das hat besonders Konsequenzen bei Lebewesen (z.B. Aorta).

Wird eine Kugel laminar umströmt, so muss man aufgrund der Reibung eine gleichgroße Gegenkraft aufwenden um die Kugel in Ruhe zu halten. Diese Kraft ist nach dem Stoke'schen Gesetz gleich F_R=6\pi \cdot \eta \cdot R \cdot v_0\,\!.

Ähnlichkeit

Um Strömungen zu vergleichen, zieht man drei Merkmale einer Strömung heran und formt daraus eine dimensionslose Größe. Man nimmt:

  • die charakteristische Lineardimension l\,\!
  • die typische Anströmgeschwindigkeit v\,\!
  • die kinematische Zähigkeit \nu\,\!

und formt daraus die (dimensionslose, nachprüfen!) Reynolds-Zahl \mathrm{Re}=\frac{l \cdot v}{\nu}=\frac{l \cdot\rho\cdot v}{\eta}=\frac{\text{Traegheitsgroesse}}{\text{Reibungsgroesse}}\,\!. Haben zwei Strömungen die gleiche Strömungszahl, so sind sie zueinander ähnlich. So kann man auch im Windkanal kleine Modelle testen und sie dann durch Beibehalten der Reynoldszahl "hinaufskalieren". Wenn die Trägheitskräfte größer sind als die Reibungskräfte (Re > 1) so muss man mit Turbulenzen rechnen. Ist dagegen die Reibung stärker als die Trägheit eines Fluidelements (Re < 1) so ist die Strömung eher laminar. Doch Vorsicht! Das ist nur eine Daumenregel. Man muss von Fall zu Fall unterscheiden, denn z.B. kann in einem zylindrischem Rohr eine laminare Strömungszahl bis zu \mathrm{Re} \approx 2300\,\! vorkommen!

Kräfte auf angeströmte Körper

Auf ein angeströmtes Hinderniss wirkt eine Kraft F_\omega=A\cdot \frac{\rho \cdot v_0^2}{2}\cdot c_\omega\,\!. Hierbei ist A die angeströmte Querschnittsfläche, \Delta p =\frac{\rho \cdot v_0^2}{2}\,\! der Druckunterschied und c_\omega\,\! der Widerstandsbeiwert. Dieser Wert ist eine dimensionslose, experimentell erfasste Größe, die die Form des Objektes miteinbezieht, denn die Form beeinflusst, ob sich die Stromlinien an den Körper anschmiegen können oder nicht, und damit auch, ob störende Turbulenzen entstehen oder ein schönes laminares Profil. Hier eine kleine Auflistung:

Kreisscheibe Kugel Stromlinienprofil
cω 1.2 0.4 0.06

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Erstautor: David Hämmerle

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