LV001:LV-Uebersicht/Mitschrift von Studierenden/3 - Schwingungen und Wellen/3.1 - Schwingungen

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Mitschrift zur Einführung in die Physik I - Kapitel 3 - Schwingungen und Wellen - 3.1 - Schwingungen

Inhaltsverzeichnis

Schwingungen und Wellen

Schwingungen

Als Schwingung wird ein sich zeitlich periodisch wiederholender Vorgang aufgefasst.

Harmonischer Oszillator

Ein harmonischer Oszillator

Ein beweglich gelagerter Körper (z.B. eine Masse aufgehängt an einer Feder) sei im Gleichgewichtszustand. Bringt man nun diese Masse aus dem Gleichgewicht bspw. durch Dehnen oder Stauchen der Feder so erfährt die Masse eine rücktreibende Kraft, die sogenannte Rückstellkraft, welche proportional zur Auslenkung ist (\vert \vec{F}\vert \propto x\,\!) und versucht den Körper wieder in den Gleichgewichtszustand zu bringen. Wird der Körper losgelassen so treibt die Rückstellkraft ihn wieder zurück zur Gleichgewichtslage. Doch durch die Kraft erfährt die Masse eine Beschleunigung und hat im Gleichgewichtspunkt eine Geschwindigkeit. Die Masse bewegt sich also weiter und "schießt übers Ziel hinaus", schlägt auf der anderen Seite aus, wird dabei von der Rückstellkraft gebremst, kehrt um und die Masse bewegt sich zurück. Die Masse beschreibt also eine kontinuierliche Hin- und Herbewegung, eine sogenannte harmonische Schwingung. Das System als Ganzes nennt man einen harmon. Oszillator.

Die Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators lautet:

m \ddot x = -k x bzw. m \ddot x + k x=0\,\!

Das ist die Schwingungsgleichug, wobei k\,\! die Rückstellkonstante -eine Proportionaliätskonstante- ist, denn die Kraft ist ja proportional zur Auslenkung. Und wie sieht jene Gleichung aus, welche die Auslenkung in Abhängigkeit von der Zeit angibt? Die Schwingungsgleichung ist ja eine lineare homogene Differentialgleichung 2. Ordnung, weshalb wir den Lösungsansatz über eine (komplexe) Exponentialfunktion versuchen: x(t)=a\cdot e^{i \omega t}\,\!. Warum komplex? Wegen der einfachen Handhabung, denn mit den Euler'schen Darstellung lässt sich sehr leicht rechnen und die komplexen Zahlen lassen eine sehr allgemeine Lösung zu. Falls man wirklich eine komplexe Lösung erhält, so kann man einfach den Realteil \mathrm{Re}(x)=\cos (\omega t)\,\! als Lösung hernehmen. Einsetzen des Ansatzes in die Bewegungsgleichung ergibt:


\begin{align}
& \dot x = a i \omega e^{i\omega t} \\
& \ddot x = a i \omega e^{i \omega t} \cdot (i\omega) = -a \omega^2 e^{i \omega t} \\
\Rightarrow & -m a \omega^2 e^{i \omega t} + k a e^{i \omega t}=0 \\
\end{align}
\,\!
Kreisbewegung und Schwingung im Komplexen

Nach dem Kürzen von a \cdot e^{i \omega t}\,\! (die Exponentialfunktion wird ja nie gleich Null und Amplituden der Größe Null sind uninteressant) und kurzem Umformen erhält man \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\,\!. Dabei ist x die zeitabhängige Auslenkung, a die maximale Auslenkung (die Amplitude) und \omega\,\! die Kreisfrequenz. Und da wir eine komplexe Lösung erhalten haben, beschränken wir uns auf den Realteil, der durch mathematische Argumentation gesichert ebenfalls eine Lösung der Gleichung darstellt. Man kann sich das so vergegenwärtigen. Die komplexe Lösung x(t)=a e^{i \omega t}\,\! beschreibt einen Vektor in der komplexen Ebene (einen Zeiger). Der Winkel des Zeiger ist zeitabhängig: \phi (t) = \omega t\,\!. Man kann \omega\,\! auch als die Winkelgeschwindigkeit des Zeigers in der komplexen Ebene auffassen. Das heißt also, der Zeiger dreht sich mit zunehmender Zeit in einem Kreis mit dem Radius a. Wenn wir nun lediglich den Realteil des Zeigers betrachten, so sieht man, dass dieser eine Cosinusschwingung vollführt. Ebenso könnte man den Imaginärteil \mathrm{Im}(x)=\sin (\omega t)\,\!, der ebenfalls eine Lösung darstellt, betrachten und von einer Lösung zur anderen durch Phasenverschiebung gelangen, d.h. die Winkelargumente der Lösungen unterscheiden sich um eine Konstante, z.B. ist \sin (\phi)=\cos(\phi+\frac{\pi}{2})\,\!.

Die Schwingungsdauer oder Periodendauer T gibt an, wie viel Zeit verstreichen muss, wenn der Zeiger wieder zum Ausgangspunkt zurückkehren will. Sei T die Schwingungsdauer so gilt laut ihrer Definition: \cos(\omega(t+T))=\cos(\omega t)\,\!. Ist der Zeiger wieder beim Ausgangspunkt. so hat dieser eine volle Umdrehung vollzogen, demnach ist weiters \omega (t+T) = \omega t + 2\pi\,\! und somit

T = \frac{2\pi}{\omega}\,\!.

Die Schwingungsfrequenz ist \nu = \frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}\,\!, was einsichtig ist, denn schließlich ergibt die Schwingungsfrequenz (Anzahl der Schwingungen pro Sekunde) multipliziert mit der Schwingungsdauer (Dauer für eine Schwingung) logischerweise eine Schwingung: \nu \cdot T=1\,\!.

Zusammenfassend: Über einen komplexen Ansatz hat man schließlich reelle Lösungen gefunden, denn gibt es eine komplexe Lösung, so versichert uns die Mathematik, dass auch der Realteil (bzw. Imaginärteil) eine Lösung liefert. Der komplexe Ansatz wurde deshalb gewählt, weil sich mit ihm gut rechnen lässt und er uns eine schöne Darstellung der harmonischen Bewegung als gleichförmige Kreisbewegung in der komplexen Ebene liefert.

Überlagerung von Schwingungen

Überlagerung zweier Schwingungen

Zwei Schwingungen können sich auch überlagen, d.h. die Funktionswerte x(t)\,\! summieren sich und ergeben so eine resultierende Auslenkung. Im Reellen addieren sich die cos- bzw. sin-Werte und im komplexen addieren sich die Zeigervektoren zu einem neuen Vektor. Hierbei kann man zwei Fälle unterscheiden:

  • Zwei Schwingungen gleicher Frequenz: Die Überlagerung zweier derartiger Schwingungen resultiert einfach in einer neuen harmonischen Schwingung.
  • Zwei Schwingungen mit ähnlicher Frequenz: Gegeben seien zwei Schwingungen x_1(t) = a \cdot \cos(\omega_1 t)\,\! und x_2(t) = a \cdot \cos(\omega_2 t)\,\!. Die Überlagerung ist (nach Anwenden der Additionstheoreme) dann x(t)=x_1(t)+x_2(t)=2 a \cos\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2} \cdot t\right)\cdot \cos\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2} \cdot t \right)\,\!. Da \omega_1\,\! und \omega_2\,\! nahe beieinander liegen, gibt der Faktor \cos\left(\frac{\omega_1 -\omega_2}{2}\cdot t\right)\,\! eine sehr langsam zeitabhängige Amplitude an, während \frac{\omega_1+\omega_2}{2}\,\! das arithmetische Mittel der beiden Frequenzen angibt. Das Resultat ist eine sogenannte Schwebung (siehe untere Abbildung). Ein solches Ergebnis kann man z.B. sehen, wenn man ein Oszilloskop zur Hand hat und zwei Stimmgabeln mit unterschiedlicher Frequenz gleichzeitig anschlägt.

Bild:Schwebung.png

Wenn man eine beliebige Anzahl N von Schwingungen mit unterschiedlicher Frequenz überlagert, führt das im Allgemeinen zu nicht-harmonischen Schwingungen. Bei "hinreichend vielen" solchen Überlagerungen entsteht z.B. eine "Rechteck-Schwingung" wie man es von einem digitalen Signal kennt. Das nennt man eine Fourier-Synthese. Die Umkehrrichtung, also die Zerlegung einer solchen Schwingung, wird Fourier-Analyse genannt.

Zweidimensionale Überlagerung von Schwingungen

Man kann genauso gut zwei Schwingungen im Zweidimensionalen überlagern. Gegeben seien zwei Schwingungen, eine in x-Richtung: x=a \cdot \sin(\omega t)\,\! und eine in y-Richtung: y=b \cdot \sin(\omega t + \phi)\,\!. Die beiden Schwingungen stehen senkrecht aufeinander. Das kann bspw. ein Massenpunkt sein, der in x- und in y-Richtung eine Schwingung ausführt. Und wie sieht das Resultat -die Überlagerung- aus? Wenn man aus den beiden Gleichungen den Parameter "Zeit" eliminiert, so erhält man zu guter letzt:

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{2 x y \cos (\phi )}{ab}=\sin^2 (\phi )\,\!.

Die Bewegung, die sich daraus ergibt, kann also durchaus sehr kompliziert sein. Doch es gibt einige Spezialfälle:

  • Sei \phi = 0\,\!: Man erhält die Gleichung: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} - \frac{2 x y}{ab}\cdot 1=0\,\!. Das kann man auch schreiben als

\begin{align}
\left( \frac{x}{a}-\frac{y}{b}\right)^2 & = 0 \\
\Rightarrow \frac{x}{a}-\frac{y}{b} & = 0 \\
\Rightarrow y & = \frac{b}{a} \cdot x
\end{align}
\,\!
Der Massepunkt beschreibt also eine Gerade, die er periodisch auf- und ab wandert.
  • Sei \phi=\frac{\pi}{2}\,\!: Einsetzen ergibt einfach die Ellipsengleichung \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\,\! und wenn sogar die Amplituden gleich sind, d.h. a=b so beschreibt der Massepunkt sogar einen Kreis!

Dazu gab es dann auch eine Demonstration:
Einmal auf die elektrische Variante: Zwei Sinusmodulatoren erzeugten Schwingungen mit gleicher Frequenz und schickten ihr Signal durch ein Oszilloskop. Die Formen von Gerade, Kreis und Ellipse wurden nacheinander sichtbar. Es war ein fließender Übergang zu erkennen, weil aufgrund sehr kleiner Frequenzunterschiede sich der Phasenwinkel \phi\,\! stetig verändert hat. Es gibt noch einige Besonderheiten: Falls \frac{\omega_1}{\omega_2}\,\! rational ist, so entstehen geschloßene Figuren, die sogenannten Lissajous-Figuren. Falls jedoch \frac{\omega_1}{\omega_2}\,\! irrational sein sollte, so deckt die Bahnkurve im Laufe der Zeit das gesamte Rechteck von [\pm a, \pm b]\,\! ab.
Die mechanische Veranschaulichung: Stäbe mit verschiedenen rechteckigen Querschnittsflächen und Seitenverhältnissen wurden gespannt und losgelassen. In Abhängigkeit von den Frequenzen, die die Stäbe in x- und y-Richtung aufweisen, entstand das Frequenzverhältnis und die Stäbe beschrieben entweder Lissajous-Figuren oder deckten das gesamte vorhandene Rechteck ab. Bei runden Stäben gibt es keine ausgezeichnete Richtung (d.h. \omega_1 \approx \omega_2\,\! und daher beschreiben sie eher die Figuren der Gerade, Kreis oder Ellipse.

Gedämpfte Schwingung

Auf die bisher betrachteten Schwingungen wirkte nur die Rückstellkraft. Alle anderen Kräfte, darunter auch die Reibung, wurden ausgeklammert. Nimmt man die Reibung hinzu, so spricht man von gedämpften Schwingungen, ansonsten von ungedämpften. Die Bewegungsgleichung der gedämpften Schwingung lautet nunmehr:

m \ddot x = -k x - r \dot x\,\! bzw. m \ddot x + r \dot x + k x = 0\,\!.

Dabei ist r die Reibungskonstante. Die Reibungskraft wirkt der Bewegung entgegen, daher das negative Vorzeichen. Und die Reibung nimmt mit der Geschwindigkeit der Bewegung zu, z.B. Luft- oder Wasserwiderstand. Man erhofft sich eine reelle Lösung für x(t)\,\!. Der mathematische Ansatz für eine solche lineare homogene Differentialgleichung 2. Ordnung ist ähnlich wie bei der harmonischen Schwingung z(x)=A e^{\lambda x}\,\!. Falls eine komplexe Lösung gefunden wird, so muss auch die konjugiert komplexe Zahl eine Lösung sein und daher ist auch der Realteil als Linearkombination der beiden vorhin genannten komplexen Lösungen eine Lösung, denn \mathrm{Re}(z)=\frac{z+\bar z}{2}\,\!. Man rechtfertigt die Verwendung des Komplexen als schönes, intelligentes Werkzeug der Lösungsfindung.

Nun denn, man schreitet zur Tat: Es sei x(t)=a e^{i \omega t}\,\! und damit auch \dot x = a i \omega e^{i \omega t}\,\! sowie \ddot x= -a \omega^2 e^{i \omega t}\,\!. Durch Einsetzen erhält man: 
\begin{align}
m \cdot (-a \omega^2 e^{i\omega t}) + r \cdot a i \omega e^{i \omega t} + k \cdot a e^{i \omega t} & = 0 \\
\Rightarrow -m \omega^2 + r i \omega + k & = 0 \\
\Rightarrow \omega^2 - \frac{r i \omega}{m} - \frac{k}{m} & = 0
\end{align}
\,\!
Die Amplitude und die Exponentialfunktion hat man im Verlauf rausgekürzt. Wendet man die kleine Lösungsformel auf diese quadratische Gleichung an, so erhält man als Lösung:

\omega_{1,2} = -\frac{ir}{2m} \pm \sqrt{-\frac{r^2}{4 m^2} + \frac{k}{m}}\,\! bzw. \omega_{1,2}= -\frac{ir}{2m} \pm \sqrt{\omega^2_0 - \gamma^2}\,\! mit \omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}, \, \gamma := \frac{r}{2m}\,\!

Liegt keine Reibung vor (r=0), so erhält man die bereits bekannte Lösung \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}. Wenn man die Diskriminante der kleinen Lösungsformel genauer betrachtet, so ist klar, dass man drei Fälle unterscheiden muss: die Diskriminante ist positiv, negativ oder gleich Null.

Die drei möglichen Formen gedämpfter Schwingung
  • \omega_0 > \gamma\,\!:
Dieser Fall wird die schwache Dämpfung genannt. Die Wurzel ist daher reell und von den beiden möglichen Lösungen wählt man oft \omega = \frac{ir}{2m} + \sqrt{\omega^2_0 - \gamma^2}\,\!. Diese Vernachlässigung der negativen Lösung begründet man damit, dass die negative Lösung physikalisch so sinnvoll ist, wie die Aussage, dass ein Quadrat A rein theoretisch auch eine negative Seitenlänge a = -\sqrt{A}\,\! als Lösung aufweisen kann. Weiters bezeichnet man mit \omega_d = \sqrt{\omega^2_0 - \gamma^2}\,\! die Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung. Setzt man nun die (positive) Lösung in den Ansatz ein, so erhält man
x= a \cdot e^{-\gamma t} \cdot \exp\left\{ i \cdot \sqrt{\omega^2_0 - \gamma^2} \cdot t \right\} = a e^{-\gamma \cdot t} \cdot e^{i \omega_d \cdot t}\,\!.
Natürlich muss auch der (physikalisch relevante) Realteil der komplexen Lösung wiederum eine Lösung sein: \mathrm{Re} (x)=a e^{-\gamma t}\cdot \cos (\omega_d t)\,\!. Dabei ist a \cdot e^{-\gamma t}\,\! die Amplitude, welche aber exponentiell mit der Zeit abnimmt. Sie schränkt die periodische Schwingung (ausgedrückt durch den Kosinusterm) ein. Ist die Zeit
\tau = \frac{1}{\gamma}=\frac{2 \cdot m}{r}\,\!
verstrichen, so hat die Amplitude nur noch 1/e-tel ihres ursprünglichen Wertes erreicht. Man nennt dies die Abklingkonstante. (Siehe Figur A)
  • \omega_0 < \gamma\,\!:
Ist die Reibungskonstante derart groß, dass dieser Fall eintritt, so sagt man, es liegt eine starke Dämpfung vor. Die Wurzel wird deshalb imaginär und setzt man die Lösungen (hier sowohl mit negativer als auch die positiver Wurzel) ein, so erhält man eine vollständig reelle Lösung, die als Exponentialfunktion vorliegt. Es gibt also keine periodische Schwingung mehr, sondern die Bewegung "kriecht" förmlich aufgrund der sehr starken Dämpfung zu ihrer Ausgangslange zurück. (Siehe Figur B)
  • \omega_0 = \gamma\,\!:
Tritt dieser aperiodischer Grenzfall ein, so ist die Wurzel gleich Null und es liegt nur eine Lösung vor. Es ergibt sich demnach x=a \cdot e^{-\gamma t}\,\!. Auch diese Lösung ist reell und weist keine Schwingung auf, doch sie strebt schneller der Gleichgewichtslage zu als bei der starken Dämpfung. (Siehe Figur C)

All diese Fälle lassen sich auch am Oszilloskop demonstrieren.

Erzwungene Schwingung

Bisher wurde ein schwingfähiges System durch eine kurze Kraftwirkung aus der Gleichgewichtslage befördert und es vollführte dann eine gedämpfte Schwingung. Es kann auch eine zeitlich periodisch wirkende Kraft das System wirken und das schwingfähige System zu einer Schwingung anregen.

Ein System wird über eine periodische Kraft zum Schwingen gebracht

Beispiel: Sei bspw. ein Massestück zwischen zwei waagrechten Federn aufgehängt. An der Feder an einer Seite soll ein Motor angebracht sein. Wird der Motor angeschaltet, so überträgt er mittels einer gleichförmigen Kreisbewegung eine periodisch wirkende Kraft auf das System Masse-Feder und bringt es so zum Schwingen. Variiert man die Frequenz f_M\,\! des Motors, so ändert sich auch die Frequenz f\,\! der Masse und auch ihre Amplitude. Nähert sich fM an die Resonanzfrequenz fR des Systems Masse-Feder an, so wird die Amplitude der Schwingung sehr groß. Sie kann sogar derart groß werden, dass die Feder reißt - das nennt sich "Resonanzkatastrophe".

Wie sieht die Bewegungsgleichung dieser angeregten bzw. erzwungenen Schwingung aus? Die Rückstellkraft enthält folglich einen Term, der eine periodisch wechselnde Kraft angibt. Die Schwingungsgleichung lautet demnach:

m \ddot x + r \dot x + k x = F \cdot e^{i \omega t}\,\!

Wiederum verwendet man hier einen komplexen Ansatz: der Term F \cdot e^{i \omega t}\,\! steht für eine (komplexe) Schwingung mit der Maximalkraft F als Amplitude und dieser Term ist der Störterm dieser Differentialgleichung (DGL). Die Lösung für eine inhomogene lineare DGL zweiter Ordnung wie diese besteht aus der Summe der Lösung für die homogene DGL plus einer speziellen Lösung für den Störterm. Die Lösung für die homogene DGL ist uns ja bereits bekannt, es ist ja die Lösung für die gedämpfte Schwingung. Wartet man eine genügend lange Zeit ab, so strebt dieser "gedämpfte" Schwingungsterm seiner Gleichgewichtslage zu und kommt sehr nahe an Null heran. Deshalb kann man den Lösungsterm für die homogene DGL vernachlässigen. Übrig bleibt die spezielle Lösung. Diese Situation nennt man stationärer Zustand, die gedämpfte Schwingung ignoriert werden kann und nur noch eine zeitlich konstante Schwingung, nämlich die erzwungene Schwingung, vorliegt. Wie setzt man die spezielle Lösung an? Da die Erregerschwingung (z.B. des Motors) seine Schwingung dem System (z.B. Masse-Feder) "aufzwingt", wird die angeregte Schwingung dieselbe Kreisfrequenz wie die Erregerschwingung besitzen. Der Ansatz lautet also x=a \cdot e^{i \omega t}\,\! mit \omega\,\! als Kreisfrequenz der Erregerschwingung. Damit erhält man weiters \dot x = a i \omega e^{i \omega t}\,\! und \ddot x = -a \omega^2 e^{i \omega t}\,\!. Einsetzen in die Bewegungsgleichung ergibt:


\begin{align}
-m a \omega^2 \cdot e^{i \omega t} + r a i \omega \cdot e^{i \omega t} + k a \cdot e^{i \omega t} & = F \cdot e^{i \omega t} \\
a \cdot (-m \omega^2 + r i \omega + k) & = F \\
\Rightarrow a & = \frac{F}{-m \omega^2 + r i \omega + k}
\end{align}
\,\!

Man sieht, dass als Lösung eine komplexe Amplitude rauskommt. Doch wie wir gleich sehen werden, löst sich diese verwirrende Lösung in Wohlgefallen auf. Es werden im Folgenden wieder die Abkürzungen \omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}\,\! und \gamma=\frac{r}{2m}\,\!. Zunächst ist der Betrag von a gleich \vert a\vert = \frac{F}{m \cdot \sqrt{(\omega^2_0- \omega^2)^2 + (2\gamma \omega)^2}}\,\!. Dazu muss man zunächst a in seinen Real- und Imaginärteil aufspalten und dann den Pythagoras anwenden. Der Winkel kann man über den Tangens bestimmen: \tan \varphi = \frac{\mathrm{Im}(a)}{\mathrm{Re}(a)}= -\frac{2\gamma \omega}{\omega_0^2-\omega^2}\,\!. Setzt man die gefundene Amplitude in den Ansatz ein, so erhält man x = a \cdot e^{i \omega t} = \underbrace{\vert a\vert \cdot e^{i \varphi}}_{= a} \cdot e^{i\omega t} = \vert a\vert \cdot e^{i(\omega t + \varphi)}\,\!. Man sieht also, dass der Betrag der Amplitude gleich der (reellen) Amplitude der Schwingung entspricht und dass der Winkel der komplexen Amplitude gleich der Phasenverschiebung der Schwingung ist.

Strebt \omega \to \omega_0\,\!, so wird \vert a\vert\,\! immer größer und es strebt dann auch \tan \varphi \to \infty\,\!, d.h. die Phasenverschiebung ist \varphi \approx \frac{\pi}{2}\,\!. Den Betrag der Amplitude maximiert man, indem man die Wurzel im Nenner minimiert. Vollzieht man das, so erhält man als Ergebnis

\omega_R=\sqrt{\omega_0^2-2\gamma^2}\,\!

Dies ist die Resonanzfrequenz, bei der die Amplitude ihren maximalen Wert erreicht. Ist die Dämpfung sehr gering (\gamma \to 0) so, entspricht die Resonanzfrequenz der Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung: \omega_R =\omega_0\,\!. Aber daraus folgt, dass \vert a\vert = \infty\,\!, das ist die zu Beginn angesprochene Resonanzkatastrophe. Wie ist das zu interpretieren? Gibt es kaum Dämpfung, so entsteht keine stationäre Gleichung, weil es kein Gleichgewicht gibt zwischen der durch die Kraft zugeführten und der durch die Reibung abgeführte Energie gibt. Die Masse wird die Energie nicht los bzw. "entlädt sie im Unendlichen".

Eine sehr bekannte Demonstration diese Effekts ist eine Amateuraufnahme des Einsturzes einer Brücke in Tacoma, Ohio. Die Brücke ist so schlecht gedämpft, dass ein starker, andauernder Wind, der gerade an der Brücke vorbeibläst, bei Erreichen der Resonanzfrequenz die Brücke zu sehr starken Schwankungen und schließlich zum Einsturz bringt.

Gekoppelte Schwingungen

Hat man zwei Schwingungen, die sich gegenseitig anregen, so spricht man von gekoppelten Schwingungen. Das liegt z.B. vor, wenn man zwei schwingfähige Systeme miteinander verbindet und dann einen von beiden anstößt.

Eine gekoppelte Schwingung

Demonstration:
Seien zwei Körper mit den Massen m_1, m_2\,\! beweglich aufgehängt, durch eine Feder miteinander verbunden und ruhend. Wird die Masse m_1\,\! kräftig angestoßen so beginnt sie zu schwingen. Sie übertragt Energie auf die Masse m2 und regt diese ebenso zum Schwingen an. Die erste Masse überträgt im Laufe der Zeit ihre gesamte Energie auf die zweite Masse, d.h. m_1\,\! ruht dann und m_2\,\! schwingt stark. Nun läuft das Spiel umgekehrt ab und die zweite Masse übertragt ihre Schwingung auf die erste. Die beiden schwingenden Körper regen sich also gegenseitig zum Schwingen an.

Man kann natürlich auch mehrere Körper m_i\,\! miteinander koppeln. So entsteht eine "Welle", eine sich räumlich ausbreitenden Schwingung, die am anderen Ende der Kette gekoppelter Körper wieder reflektiert wird.

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Erstautor: David Hämmerle

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