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Inhaltsverzeichnis

Video zur Bewegung des Massenmittelpunkts

Inhalt

  • Theoretische Grundlagen - Mechanik eines Systems von Teilchen, Massenmittelpunkt, Geschwindigkeit und Impuls von Massenpunkten, Massenmittelpunktsatz
  • Video - Experimenteller Nachweis des Massenmittelpunktsatz am Air-Track

Mechanik eines Systems von Massenpunkten

Grundbegriffe

In der elementaren Mechanik beschäftigt man sich zunächst mit einzelnen Teilchen (Massenpunkten, Punktteilchen) und betrachtet deren Bahn unter dem Einfluss einer äußeren Kraft; Bsp.: der freie Fall eines Teilchens im Schwerefeld der Erde oder die Bahn eines Elektrons in einem elektrischen Feld.

Betrachtet man ein System von Teilchen, so muss man im Allgemeinen auch die Wechselwirkung zwischen den Teilchen mitberücksichtigen. Wenn zwei Äpfel gleichzeitig von einem Baum fallen, wird die gravitative Wechselwirkung zwischen den beiden Äpfeln ihre Bewegung nicht merklich beeinflussen. Im Folgenden sollen aber Situationen besprochen werden, wo äußere Kräfte auf ein System von Teilchen wirken, die auch untereinander wesentlich wechselwirken (innere Kräfte).

Massenmittelpunkt

Will man ein System von Massenpunkten, die untereinander wechselwirken, in einem äußeren Feld beschreiben, verwendet man die bekannte Tatsache, dass die Kraft ganz allgemein ein Vektor ist. Es gelten also die Rechenregeln für Vektoren, insbesondere können Kräfte vektoriell addiert werden. Die Kraft auf das System von Massenpunkten in einem äußeren Feld kann daher als die Summe der Kräfte auf die einzelnen Punkte beschrieben werden.

Eine elegantere Methode die äußere Kraft auf ein System von Massenpunkten zu charakterisieren ist es, das System wieder als 'Punkt' anzunähern. Schon beim Konzept des Massenpunktes wurde ja die Idealisierung gemacht, dass das Teilchen in einem gewissen Sinn vernachlässigbar klein ist, sodass man seine Masse (bzw. seine Ladung) in einem Punkt konzentriert annehmen kann. Auch ein System von Massenpunkten lässt sich unter ähnlichen Vorraussetzungen durch eine punktförmige Masse an einem bestimmten Ort annähern, nämlich dem Massenmittelpunkt oder Massenschwerpunkt (bzw. Ladungsmittelpunkt) des Systems.

Nachdem das System im Allgemeinen nicht völlig rotationssymmetrisch anzunehmen ist, lässt sich dieser Punkt aber nicht einfach in die Mitte des Systems ansetzen, sondern muss nach Masse (bzw. Ladung) der Teilchen und Abstand zueinander gewichtet werden. Ein Gegenbeispiel wäre ein Kugelsternhaufen mit lauter Sternen gleicher Masse; hier säße der Massenmittelpunkt im Zentrum des sphärischen Clusters.

Gegeben seien N\,\! Massenpunkte m_i\,\!, deren Lage im Koordinatensystem durch die Ortsvektoren \vec{r}_i\,\! beschrieben wird. Der Index i\,\! bezeichnet hier also nicht die einzelnen Komponenten eines gewissen Vektors \vec{r}\,\!, sondern den i\,\!-ten von den N\,\! Ortsvektoren. Als Massenmittelpunkt S \,\! des Systems bezeichnen wir dann den Ort(svektor)

\vec{r}_S = \frac{\sum\limits_{i=1}^N m_i \vec{r}_i}{\sum\limits_{i=1}^N m_i} \,\!

bzw. kann man diese Gleichung noch ein wenig umschreiben, wenn man die Gesamtmasse M \,\! des Systems als die Summe der einzelnen Punktmassen \sum_i m_i = M\,\! definiert.

\vec{r}_S = \frac{1}{M} \sum\limits_{i=1}^N m_i \vec{r}_i \,\! .

Ein Massenpunkt im System mit kleiner Masse und kleinem Abstand zum Massenmittelpunkt trägt also wenig bei, ein Massenpunkt mit großer Masse und großer Entfernung trägt viel bei.

Geschwindigkeit und Impuls des Massenmittelpunktes

Bewegen sich die einzelnen Massen mit Geschwindigkeiten \vec{v}_i = \frac{d\vec{r}_i}{dt} \,\!, so definiert man außerdem eine Schwerpunktsgeschwindigkeit \vec{v}_S \,\!

\vec{v}_S = \frac{1}{M} \sum\limits_{i=1}^N m_i \frac{d\vec{r}_i}{dt} = \frac{1}{M} \sum\limits_{i=1}^N m_i \vec{v}_i \,\!

und den Gesamtimpuls \vec{P} \,\! des Systems als die Summe der Einzelimpulse \vec{p}_i = \sum\limits_{i=1}^N\vec{v}_i m_i \,\!

\vec{P} = \sum\limits_{i=1}^N\ \vec{p}_i = M \vec{v}_S ,\!

Die bekannten Relationen aus der elementaren Mechanik (gelten für jeden einzelnen Massenpunkt aus dem System) gelten nun auch für dessen Massenschwerpunkt und das gesamte System lässt sich durch einige wenige charakteristische Größen ( \vec{r}_S, \vec{v}_S, \vec{P} \,\!) beschreiben.


Der Massenmittelpunkt eines Systems bewegt sich also so, als wäre er ein Körper mit Gesamtmasse  M \,\!, auf den die gesamte äußere Kraft wirkt.


Massenmittelpunktsatz

Wir können also weitere Beziehungen für den Massenschwerpunkt ableiten, wenn wir die bekannte Newton'sche Mechanik auf ihn anwenden. Betrachten wir den Fall, dass keine äußeren Kräfte wirken. Wir wissen, ein Massenpunkt verharrt in Ruhe oder gleichförmiger Bewegung, solange keine (äußere) Kraft auf ihn wirkt (1. Newton'sches Axiom).

Der Massenmittelpunktsatz besagt:

Der Massenmittelpunkt verharrt in Ruhe oder gleichförmiger Bewegung, solange keine äußere Kraft auf ihn wirkt.


Versuchsbeschreibung

Zur Veranschaulichung des Massenmittelpunktsatzes wird ein Experiment am Air-Track betrachtet. Auf der Luftkissenschiene können Schlitten praktisch reibungsfrei gleiten, d.h. bei waagerechter Montierung wirken keine äußeren Kräfte. Drei Schlitten gleicher Masse m \,\! werden auf den Air-Track gebracht und die Schlitten 1 und 3 mit einem Faden verbunden. Zwischen den Schlitten sind Federn gespannt.

Bewegung auf dem Air-Track

Die drei Schlitten verhalten sich in der oben beschriebenen Konfiguration wie ein einzelner Körper mit der Gesamtmasse  M=m_1+m_2+m_3=3m\,\!. Für ihn gilt also das 1. Newton'sche Axiom. Wird der Faden durchtrennt (im Experiment durch einen Brenner realisiert, um die Bewegung der Schlitten nicht zu stören), entspannen sich die Federn und auf das System wirken innere Kräfte.

Experimenteller Nachweise des Massenmittelpunktsatzes

Der Versuch läuft nun folgendermaßen ab: dem Dreiergespann der anfänglich durch den Faden verbundenen Schlitten wird eine Anfangsgeschwindigkeit am einen Ende der Luftkissenschiene gegeben und dort seine Geschwindigkeit gemessen. Ein Zeitauslöser befindet sich in der Mitte von Schlitten 2, dem Massenmittelpunkt des Systems.

Passiert das Gespann der drei Schlitten die erste Zeitschranke, gibt die gemessene Zeit im definierten Intervall die Geschwindigkeit des zweiten Schlittens (und damit des Massenmittelpunkts) an. Nach dieser Zeitmessung wird der Faden durchtrennt und die beiden Federn bewirken eine rückstoßende Kraft. Schlitten 1 bewegt sich in Folge nach hinten, Schlitten 3 saust nach vorne. Interessant ist aber, was der Massenmittelpunkt, nämlich Schlitten 2 macht. Passiert er die zweite Schranke und wird seine Geschwindigkeit gemessen, nachdem die inneren Kräfte auf ihn gewirkt haben. Er besitzt noch immer die selbe Geschwindigkeit wie zu Beginn des Experiments.

  • Das bedeutet: der Massenmittelpunkt bewegt sich gleichförmig, da keine äußeren Kräfte wirken.


Geräteliste

  • 1 Air-Track (Luftkissentisch)
  • 3 Schlitten
  • 2 Federn
  • dünner Faden
  • 4 Lichtschranken
  • 2 Zeitmesser
  • 1 Gasbrenner

Fotos

Durchführung des Experimentes

Die 3 Schlitten vorbereiten:

  • Schlitten gleicher Masse: m_1=m_2=m_3\,
  • mit einem dünnen Faden die Schlitten zusammenbinden (nicht sichtbar)
  • zwischen den Schlitten wird eine Feder montiert

Air-Track und Zeitmessung:

  • die Schlitten am Anfang des Air-Tracks positionieren
  • Air-Track einschalten (Luft!)
  • Zeitmesser auf Null stellen
  • die Distanz zwischen den Lichtschranken ist gleich (x_1=x_2\,)

Durchführung:

  • Die Schlitten werden in Bewegung versetzt.
  • Das Dreiergespann (die drei Schlitten fahren) fährt gemeinsam durch die erste Zeitmessung.
  • Mit einem Gasbrenner wird der Faden, der die drei Schlitten zusammenhält, durchgebrannt.
    • Der vordere und der hintere Schlitten lösen sich und lösen sich vom Schlitten (durch die Federn).
    • Der mittlere Schlitten fährt mit konstanter Geschwindigkeit weiter.
    • Die zweite Zeitmessung wird nur mehr von Schlitten 2 genommen (nur am mittleren Schlitten ist eine Zeitauslösung angebracht).

Video betrachten

Probleme bei der Videobetrachtung

Ergebnis

1.Zeitmesssung:  t_1 = 1.07s \,

2.Zeitmessung:  t_2 = 1.03s \,

Im Rahmen unserer Genauigkeit kann man sagen

x_1=x_2 \, und t_1=t_2 \quad \Rightarrow \quad v_1=v_2 \,
  • der Massenmittelpunkt (Schwerpunkt) bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit.

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