LV001:LV-Uebersicht/Videos/Rotierende Koerper

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Inhaltsverzeichnis

Video zur Rotation um freie Achsen

Inhalt

  • Theoretische Grundlagen - Drehimpuls, Winkelgeschwindigkeit, Trägheitstensor, Hauptträgheitsmomente, symmetrische Kreisel, Rotation um freie Achsen
  • Video - Unterschiedliche Körper werden auf einem Draht aufgehängt und in Rotation versetzt, bis sie um die Hauptträgheitsachse rotieren, bezüglich der das Trägheitsmoment maximal ist

Dynamik starrer Körper

Einige grundlegende Bemerkungen

Derhimpuls und Trägheitstensor

Der Drehimpulsvektor \vec{L}  \,\! eines Massenelementes \Delta m  \,\! (eines starren, rotierenden Körpers) bezüglich einer Rotationsachse durch den Schwerpunkt (S \,\!) wird über den Ortsvektor bezüglich der Rotationsachse \vec{r}  \,\! und den Geschwindigkeitsvektor \vec{v}  \,\! des Massenelements folgendermaßen definiert

\vec{L} = \vec{r} \times (\Delta m \vec{v}) . \,\!
Rotation eines starren Körpers

Mit der für Kreisbewegungen allgemein gültigen Tatsache, dass Geschwindigkeitsvektor, Winkelgeschwindigkeitsvektor und Ortsvektor orthogonal stehen \dot{\vec{r}}=\vec{\omega} \times \vec{r}  \,\! (Erklärung siehe Rotierende Kette), lässt sich durch Integration über das Volumen des Körpers die Beziehung, welche den Zusammenhang von Drehimpuls \vec{L}  \,\! des starren Körpers und Winkelgeschwindigkeit  \vec{w}\,\! beschreibt, formulieren.

\vec{L} = \int\limits_{V} \! dm \, \left[ (\vec{r}^2 \vec{\omega}) - (\vec{r} \cdot \vec{\omega})\vec{r}\right]   \,\!

Betrachtet man die einzelnen Komponenten dieses Ausdruckes, zeigt sich, dass man die i \,\!-te Komponente des Drehimpulses durch eine Linearkombination von Trägheitsmomenten ( I_{ij} \,\!) und der j \,\!-ten Komponente der Winkelgeschwindigkeit aufschreiben kann.

 \vec{L} = \sum\limits_{i=1}^3 L_i \vec{e}_i \,\!  (allgemeine Darstellung eines Vektors bezüglich einer Basis  \vec{e}_i \,\! )
L_i = \sum\limits_{j=1}^3 I_{ij} w_j \,\! (komponentenweise Berechnung des Drehimpulses eines Körpers)

Die Größen I_{ij} \,\! sind die Komponenten des Trägheitstensors ( \mathbf{I} \,\! ), dessen Diagonalelemente I_{ii} = I_{xx}, I_{yy}, I_{zz} \,\! die Trägheitsmomente des Körpers bei Rotation um die Koordinatenachsen angeben.

 \left( \begin{array}{c} L_x \\ L_y \\ L_z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z \end{array} \right)  \,\!

Hauptträgheitsmomente

Mit Hilfe einer Hauptachsentransformation (Wikipedia Eintrag dazu) lässt sich der Trägheitstensor auf Diagonalgestalt bringen und die Hauptträgheitsmomente I_a, I_b, I_c \,\! ablesen.

 \left( \begin{array}{c} L_x \\ L_y \\ L_z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} I_{a} & 0 & 0 \\ 0 & I_{b} & 0 \\ 0 & 0 & I_{c} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z \end{array} \right)  \,\!

Im Allgemeinen stimmen die Hauptträgheitsmomente (I_a, I_b, I_c \,\! ) nicht mit I_{xx}, I_{yy}, I_{zz} \,\! überein (ein Gegenbeispiel wäre der sphärische Kreisel).

  • Sind zwei Hauptträgheitsmomente gleich, spricht man von einem symmetrischen Kreisel.
  • Alle rotationsymmetrischen Körper (Kugel, Ellipsoid, Zylinder ...) sind symmetrische Kreisel.
  • Ein symmetrischer Kreisel ist aber nicht notwendigerweise von seiner Gestalt rotationssymmetrisch (Quader, Würfel).


Rotation um freie Achsen

Es lassen sich nun einige wichtige Aussagen über die Rotation starrer Körper machen

  • Wenn Körper nicht durch Zwangskräfte an eine raumfeste Achse gebunden sind (Rotation um freie Achse), dann sind nur Drehungen um die Hauptträgheitsachen stabil, bezüglich der das Trägheitsmoment maximal oder minimal ist (und die den Schwerpunkt enhalten).
  • Am stabilsten ist die Rotation um die Achse, bezüglich der das Trägheitsmoment maximal ist.
  • Körper, welche stabil um eine Achse rotieren, bezüglich der das Trägheitsmoment minimal ist, können durch hinreichend große Störungen dazu gebracht werden, sich um die Achse zu drehen, bezüglich der das Trägheitsmoment maximal ist.


Versuchsbeschreibung


Geräteliste

  • Stativ
  • Draht
  • Elektormotor
  • unterschiedliche Körper: Kette, Ei, Platte, ...

 

Versuchsaufbau und Durchführung

  1. Auf einem Stativ wird ein Elektromotor aufgehängt, an dessen Drehachse ein Draht befestigt ist.
  2. An dem Draht werden verschiedene Objekte befestigt.
  3. Der Elektromotor versetzt den Draht und somit auch die unterschiedlichen Körper in Rotation.

Video betrachten

Probleme bei der Videobetrachtung

Ergebnis

Zu Beginn drehen sich alle Körper um eine Hauptträgheitsache, bezüglich der das Trägheitsmoment minimal ist. Ab einer gewissen Rotationsgeschwindigkeit, sind die Störungen groß genug und die Rotation geht in eine Drehung um eine Hauptträgheitsachse über, bezüglich der das Trägheitsmoment maximal ist.

Links und weitere Materialien

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