LV005:LV-Uebersicht/Materialien/Cavendish-Versuch

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Inhaltsverzeichnis

Cavendish-Versuch

Lernziele

  • Kennenlernen des Newtonschen Gravitationsgesetzes
  • Wie kann die Gravitationskonstante quantitativ bestimmt werden?

Grundlagen

  • Das Newtonsche Gravitationsgesetz
Das Gesetz besagt, dass jeder massebehaftete Körper eine anziehende Kraft auf jeden anderen massebehafteten Körper ausübt. Diese Kraft ist proportional zu den Massen der beiden Körper und indirekt proportional zum Quadrat des Abstandes der beiden Massen.


 F = G\cdot\frac{m_1 m_2}{r^2}

G ist die universelle Gravitationskonstante. Ihr Wert beträgt:  G = 6{,}67\cdot 10^{-11}  \mathrm{Nm^{2}kg^{-2}}

Newton selbst gelang es nicht den Wert der Konstanten zu bestimmen. Etwa 100 Jahre später hat Cavendish erstmals quantitative Messungen mit Hilfe der nach ihm benannten Drehwaage durchgeführt.

Versuchsaufbau

Für eine Skizze des Versuchs klicke auf folgenden Link: Cavendish Experiment (Image)

Zwei kleine Massen m1 sind durch einen nahezu masselosen waagrechten Stab verbunden an dessen Mitte ein lotrechter Torsionsfaden befestigt ist. Dieser ist an einer fixen Vorrichtung aufgehängt. Zwei große Massen m2 sind ebenfalls durch einen leichten Stab verbunden und sind so angeordent, dass ihnen je eine der kleinen Massen im Abstand r gegenübersteht.

Am Torsionsfaden ist weiters ein kleiner Spiegel befestigt. Ein Lichtstrahl wird durch diesen Spiegel auf eine Skala reflektiert. Verdrillt sich der Faden, verändert auch der Spiegel seine Position und der Lichtstrahl wird nun in einem anderen Winkel reflektiert und verändert entsprechend seine Position auf der Skala.

Versuchsdurchführung

Zuerst wird die Gleichgewichtsposition des Waagebalkens (= Stab mit kleinen Kugeln) in Abwesenheit der großen Kugeln auf der Skala bestimmt. Die Gleichgewichtslage ist dadurch gekennzeichnet, dass der Torsionsfaden entdrillt ist und kein Drehmoment auf den Stab ausübt.

Dann wird je eine große Kugel der Masse m2 in unmittelbare Nähe (Abstand r) je einer kleinen Kugel der Masse m1 gebracht. Es wirkt jetzt eine anziehende Kraft, die Gravitationskraft, zwischen den beiden sich in unmittelbarer Nähe befindlichen Massen m2 und m1. Der Abstand r muß sehr klein gewählt werden, da sonst keine Effekte meßbar sind. Alle anderen Wechselwirkungen zwischen den nichtbenachbarten Kugeln können daher auch vernachläßigt werden. Der Stab mit den kleinen Massen erfährt also eine Kraft und beginnt zu schwingen (sehr langsame Schwingungen!). Nach einiger Zeit hat sich der Stab in eine neue Gleichgewichtslage begeben. Für die neue Gleichgewichtslage gilt, dass das Drehmoment des Fadens gerade die Gravitationskräfte ausgleicht. Diese Position stellt die Ausgangsposition des Versuchs dar. Die Position des Lichtzeigers auf der Skala wird bestimmt. Betrachte zu besserem Verständnis folgende Skizze: SkizzeII Die großen Kugeln befinden sich in Position 1.

Die Messung beginnt, indem die beiden großen Kugeln in die Nähe der je anderen kleinen Kugel gedreht werden. Auf der Skizze ist dies die Position 2 (gestrichelte Linie). Die Lage der kleinen Kugeln wird nicht verändert. Allerdings befindet sich die Drehwaage jetzt nicht mehr im Gleichgewicht. Auf jede der beiden kleinen Kugeln wirken je zwei Kräfte: die anziehende Kraft der benachbarten großen Kugel und eine Kraft auf Grund des Drehmomentes, das der verdrillte Torsionsfaden ausübt. Die beiden Kräfte hatten sich ja gerade ausgeglichen als sich die großen Kugeln noch in Position 1 befanden. Die wirkenden Kräfte verursachen eine Beschleunigung. Der Waagebalken beginnt sich zu drehen.

Um die Gravitationskonstante zu bestimmen, muß die Beschleunigung, die die beiden kleinen Kugeln erfahren, gemessen werden. Hierzu dient der Lichtzeiger, der über den am Torsionsfaden befestigten Spiegel, auf eine Skala reflektiert wird. Beginnt sich der Waagebalken zu drehen, verändert auch der Spiegel seine Position und der Lichtstrahl wird unter einem anderen Winkel reflektiert. Die Drehung kann also durch die Bewegung des Lichtzeigers auf der Skala beobachtet werden. Der zurückgelegte Weg kann so auf der Skala gemessen werden. Zusätzlich wird auch die für die Strecke benötigte Zeit gemessen. Aus dem zurückgelegten Weg und der Zeit kann die Beschleunigung berechnet werden.

Theoretische Erklärung

Idee des Experiments: Die Gravitationskonstante kann mittels der Messung der Beschleunigung einer kleinen Masse (kleine Kugel) im Gravitationsfeld einer bekannten großen Masse (große Kugel, m2) bestimmt werden.

Aus dem zurückgelegten Weg des Lichtzeigers S läßt sich die zurückgelegte Strecke s der kleinen Kugel folgendermaßen berechnen:

s = \frac{Sl}{4L}                     siehe Skizze: s = \alpha\cdot\frac{l}{2}       S = 2\alpha L \!
Skizze zur Berechnung der Strecke s


Die kleinen Kugeln werden durch zwei Kräfte beschleunigt: die Gravitationskraft und das Drehmoment des Fadens. In der Ausgangsstellung hatten sich die beiden Kräfte ausgeglichen. Die Gesamtbeschleunigung nach dem Umlegen der großen Kugeln ist daher genau doppelt so groß wie die rein gravitationsbedingte Beschleunigung, es gilt: a = 2\cdot a_{grav}


Da die Bewegung der Drehwaage sehr langsam ist, ändert sich das Drehmoment des Torsionsfadens praktisch nicht. Und da s sehr klein ist, bleibt die Gravitationskraft in etwa konstant. Es kann also von konstanten Beschleunigungen ausgegangen werden und die bekannte Formel s = a\frac{t^2}{2} angewendet werden. Die gesuchte Beschleunigung ergibt sich zu:

a_{grav} = \frac{s}{t^2}

Unter Verwendung des 2. Newtonschen Axioms und des Gravitationsgesetzes läßt sich die Gravitationskonstante einfach berechnen:

F = m_1\cdot a_{grav}        F = G\cdot\frac{m_1 m_2}{r^2}             \Longrightarrow           G = a_{grav}\frac{r^2}{m_2}

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