LV005:LV-Uebersicht/Materialien/Drehimpuls

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Diese Seite befindet sich im Namensraum der LV: Experimentelle Methoden zur Einführung in die Physik I

Inhaltsverzeichnis

Drehimpuls

Lernziele

  • Drehimpulserhaltung
  • Kreiselbewegung (Präzession und Nutation)

Grundlagen

Der Drehimpuls eines Massenpunktes ist definiert als Kreuzprodukt von Ortsvektor und Impuls: \vec L = \vec r \times \vec p=\vec r \times m\vec v

Für einen starren Körper, der mit Winkelgeschwindigkeit  \vec \omega um eine Feste Achse rotiert, erhält man für die achsenparallele Komponente des Drehimpulses

 \vec L_{||} = J\cdot \vec \omega

wobei  J = \sum m \cdot r^2 das Trägheitsmoment des Körpers bezüglich der festen Achse ist.

Skizze: Drehimpuls

Dies ist analog zum Impuls  \vec p = m \vec v bei Translationsbewegung. Ausserdem kann man analog zur Kraft \vec F bei Translationsbewegung für die Rotationsbewegung das Drehmoment : \vec N einführen.

N=\vec r \times \vec F

Die Bewegungsgleichung für die Rotationsbewegung lautet:

\vec N=\frac{d \vec L}{dt}

Folgerung:


Falls das äußere Drehmoment verschwindet bleibt der Drehimpuls erhalten. Das bedeutet, dass sich weder sein Betrag noch seine Richtung ändern.


Versuche

Versuchsdurchführung

Drehbare Scheiben

  • Scheiben übereinander durch Torsionsfaden verbunden
    • Versuchsaufbau und Durchführung

Zwei Scheiben sind an einer Achse befestigt. Man dreht nun die obere Scheibe solange, bis sich der Befestigungsfaden mehrmals um die Achse gewickelt hat. Am Anfang des Versuches ist der Gesamtdrehimpuls = 0. Dann lässt man die Scheiben aus, mit dem Effekt, dass sich beide Scheiben zu drehen beginnen. Die Drehrichtung der oberen Scheibe ist durch die Fadenverdrehung gegeben. Die untere bewegt sich genau entgegengesetzt. Es liegt also folgender Sachverhalt vor: Man gibt durch Verdrehen der oberen Scheibe die Möglichkeit zur Rotation, sobald man sie loslässt. Da dann keine äußeren Kräfte mehr wirken gilt der Drehimpulssatz (das äußere Drehmoment ist gleich Null \Rightarrow Drehimpuls ist konstant) Es wird daher die untere Scheibe entgegengesetzt zu rotieren beginnen.

  • Scheiben nebeneinander auf Brett, das an Torsionsfaden hängt
    • Versuchsaufbau und Durchführung

Zwei Scheiben sind diametral auf einer Platte montiert sind. Man verdreht nun beide Scheiben gleichsinnig. Am Anfang des Versuchs ist der Gesamtdrehimpuls = 0. Nun lässt man die Scheiben los. Die Befestigungsplatte wird dadurch entgegengesetzt zu rotieren beginnen, sodass der Gesamtdrehimpuls = 0 bleibt. Sind die Scheiben dagegen gegensinnig verdreht, so ist, nach dem Loslassen, die Summe der Drehimpulse der Scheiben gleich Null. Nach dem Drehimpulssatz darf sich die Befestigungsplatte also nicht bewegen.

Experimente am Luftkreisel

  • Kräftefreier Kreisel
    • Kreisel ohne äußere Kräfte: Nachweis der Drehimpulserhaltung, der Kreisel bleibt orientiert
  • Präzession:
    • Kreisel mit graviativem Drehmoment, drehend im Uhrzeigersinn:
      • Moment erzeugt durch Verschiebung des Gewichts weg vom Drehpunkt \Rightarrow Präzession zu beobachten gegen den Uhrzeigersinn
      • Moment erzeugt durch Verschiebung des Gewichts zum Drehpunkt  \Rightarrow Präzession im Uhrzeigersinn
    • Betrachte qualitativ den Einfluss
      • des Drehmoments (Lage der Gewichte, Winkel)
      • der Kreisfrequenz ω des Kreisels
      • der Drehrichtung des Kreisels
    auf Präzessionsfrequenz und Richtung
    • Beobachte und erkläre: Kreisel folgt Handkonturen oder einem äußeren Stab
  • Nutation:
    Unter der Nutation des Kreisels versteht man eine periodische Schwankung der Figurenachse. Die Nutation wird mit Hilfe eines luftgelagerten (Kugel-)Kreisel demonstriert, da sie dort praktisch ungedämpft bleibt.
    • Anfangsbedingung: Kräftefreier Kugelkreisel, Figurenachse fest \Rightarrow weder Präzession noch Nutation \rightarrow stabile Rotation
    • Anfangsbedingung: Figurenachse bekommt Impulskick
      • Die Figurenachse beschreibt Nutationskegel um raumfeste Drehimpulsachse
      • Die Richtung der Nutationsbewegung hängt ab von der Drehrichtung des Kreisels.
  • Präzession und Nutation:
    • Nach Anwerfen und Loslassen des Kreisel gibt es im allgemeinen eine kombinierte Präzessions/Nutationsbewegung
    • Man beachte, dass sich die Figurenachse nach dem Loslassen ein wenig senkt. Das ist kein Reibungseffekt sondern u.a. energetisch bedingt. Je schneller die Präzession (d.h. je langsamer die Eigendrehung des Kreisels), dest tiefer sinkt der Schwerpunkt des Körpers.

siehe auch Luftkreisel Animation

Theoretische Erklärung

Skizze: Festlegung der drei Kreiselachsen
Skize: Die drei Kreiselachsen
Skizze: Präzession

Eine genaue Erklärung zu den Skizzen ist unter Kreiselachsen nachzulesen.

Präzession

Wir betrachten einen symmetrischen Kreisel, der in A gelagert ist und mit der Winkelgeschwindigkeit \vec \omega um die Drehimpulsachse rotiert, die hier auch die Figurenachse ist (stabile Rotation).

  • Kräftefreier Kreisel:

Kein Drehmoment, d.h. \vec N =0 \Rightarrow \vec L = const . Die Drehimpulsachse und für den symmetrischen Kreisel damit auch die Figurenachse behalten ihre Lage im Raum bei.

  • Äußeres Drehmoment auf Kreisel:

 \vec N \not= 0 \Rightarrow d \vec L =\vec N \cdot dt . Die Änderung des Drehimpulsvektors ist parallel zum Vektor des Drehmoments.

Beispiel

Die Schwerkraft  \vec F = m \cdot \vec g , die im Massenmittelpunkt m des Kreisels angreift, bewirkt bezüglich des Drehpunktes A ein Drehmoment:

 \vec N = m \cdot \vec r \times \vec g

Damit dreht sich  \vec L \rightarrow \vec L_1 , was wiederum aufgrund des geänderten Radiusvektors ein neues Drehmoment  \vec N_1 bewirkt. Der Endpunkt des Drehimpulsvektors  \vec L , vollführt somit eine Kreisbewegung (Präzession) senkrecht zur z-Achse (siehe Skizze: Präzession).

Nutation

Die Nutation beschreibt die Bewegung der Rotationsachse eines Kreisels um die Achse des Drehimpulses. Dies wird dadurch verursacht, dass der Drehimpuls  \vec L im Allgemeinen nicht parallel zu einer Figurenachse, d.h. einer Hauptträgheitsachse des Kreisels, ausgerichtet ist.

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