LV005:LV-Uebersicht/Materialien/Fabry-Perot-Interferometer

Aus Wiki der Fakultät für Physik Universität Wien

Wechseln zu: Navigation, Suche

Diese Seite befindet sich im Namensraum der LV: Experimentelle Methoden zur Einführung in die Physik I

Diese Seite ist momentan in Arbeit!

Inhaltsverzeichnis

Das Fabry-Perot-Interferometer

Fabry-Perot-Interferometer eignen sich zur Messung kleiner Längen, wobei als Maßstab die Lichtwellenlänge einer monochromatischen Lichtquelle dient.

Zum Verständnis betrachen wir zunächst die Reflexion eines Lichtstrahls an den Vorder- und Rückseiten einer planparallelen Platte. In der folgenden Abbildung (Abb. 1) sind alle geometrischen Größen definiert.

Abb.1: Reflexion einer ebenen Welle an einer planparallelen Platte.

Ein einfallender Strahl S \!\, wird durch mehrmalige Reflexion in viele reflektierte und druchgehende Teilstrahlen aufgeteilt. Die optischen Wege benachbarter durchgehender Teilstrahlen E_i, E_{i+1}, \ i=1, 2,... \!\, (und analog benachbarter reflektierter Teilstrahlen C_i, C_{i+1} \!\, die uns aber hier nicht interessieren) unterscheiden sich wegen der zweimaligen Durchlaufs der Platte um \Delta=2\bar{n}hcos \bar{\Theta} \!\,. Ihre Phasen unterscheiden sich daher um

 \delta=\frac{4\pi}{\lambda_0}\bar{n}h cos \bar{\Theta} \ \, \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad(1)

wobei  \lambda_0 \!\, die Wellenlänge des einfallenden Lichts ist. Die Feldstärken benachbarter Teilstrahlen E_i, E_{i+1} \!\, nehmen jeweils um einen Faktor \mathcal{R} \!\, ab, der zwischen 0 \!\, und 1 \!\, liegt und die Reflektivität der reflektierenden Flächen bezeichnet. Die Feldstärke aller durchgehenden Teilstrahlen interferieren miteinander, wenn sie mit einer Sammellinse in einem Punkt der Brennebene vereinigt werden. Diese Summe führt auf eine geometrische Reihe (siehe Optik im 2. Semester). Für die Intensität I^{(t)} \!\, des durchgehenden Lichts erhält man damit eine der beiden Airy-Formeln:

 I^{(t)}(\delta)= I^{(t)} \frac{1}{1+F sin^2 \frac{\delta}{2}} \ \ . \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad(2)

Dabei ist I^{(i)} \!\, die einfallende Lichtintensität. Der Parameter  F \!\, wächst mit steigender Reflektivität stark an. Es gilt:

 F\equiv \frac{4 \mathcal{R}}{(1-\mathcal{R})^2} \ \ .\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad  \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad(3)

In Abbildung 2 (Abb. 2)ist das Verhältnis I^{(t)}(\delta)/I^{(i)}\!\, als Funktion von \delta \!\, gezeigt.

Abb.2: Vielstrahlinterferenz: Intensitätsverhältnis I(t)(δ) / I(i) als Funktion der Phasendifferenz δ. m ist ganzzahlig.

Maxima treten auf, wenn  \delta \!\, ein ganzzaliges Vielfaches von  2 \pi \!\, ist, \delta_m=2\pi m \!\,, was einem Gangunterschied  \Delta_m= m\lambda_0 \!\, zwischen benachbarten Parallelstrahlen entspricht, die somit maximal konstruktiv interferieren. Die Maxima werden umso schärfer, je näher die Reflektivität \mathcal{R} \!\, bei  1 \!\, liegt was wegen (3) einem großen Wert von F \!\, entspricht. Physikalisch bedeutet ein großes \mathcal{R} \!\,, daß sehr viele Teilstrahlen mit hoher Intensität zur Interferenz beitragen können (Vielstrahleninterferenz). Das Interferenzmuster des durchgehenden Lichts besteht daher aus scharfen, hellen Streifen auf dunklem Hintergrund.

Bezeichnet  \delta_m \pm \frac{\epsilon}{2} \!\, jende Werte von \delta \!\, zu beiden Seiten des Maximums der Ordnung m \!\,, für die die Intensität auf die Hälfte ihres Maximalweiters abgefallen ist, so gilt gemäß (2):

\frac{1}{1+F sin^2 \frac{\epsilon}{4}}=\frac{1}{2} \ \ .\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad(4)

Für genügend großes  F \!\, ist die Halbwertsbreite  \epsilon \!\, so klein, daß sin(\epsilon /2)\approx \epsilon /4 \!\, gesetzt werden kann. Dann folgt aus (4) für die Halbwertsbreite

 \epsilon= \frac{4}{\sqrt{F}} \ \ . \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (5)

Der Maximalabstand zwischen zwei benachbarten Maxima beträgt 2\pi \!\, . Das Verhälrnis zwischen diesem Abstand und der Halbwertsbreite  \epsilon \!\, wird Finesse \mathcal{F} \!\, genannt.

 \mathcal{F}=\frac{2\pi}{\epsilon}=\frac{\pi \sqrt{F}}{2}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (6)

Sie ist ein zweckmäßiges Maß zur Charakterisierung der Schärfe der Interferenzmuster.

Das Fabry-Perot-Interferometer nutzt die Vielstrahlinterferenz zwischen parallel angeordneten Glas- oder Quarzplatten P_1  \!\, und P_2 \!\, aus (siehe Abbildung 3).

Abb.3: Fabry-Perot-Interferometer (C. Fabry und A. Perot, Ann. Chim. Phys. (7), 16, 115 (1899)).

Die inneren Oberflächen sind verspiegelt, wobei für die Reflektivität dieser Flächen\mathcal{R}>0.9 \!\, angestrebt wird. Das Licht von einer flächenhaften Lichtquelle (Wellenlänge =\lambda _0 \!\,) fällt nahezu senkrecht auf die Platten ein. Wenn die Achse der Linse L \!\, senkrecht auf die Plattenebenen steht, so bestehen die Interferenzmuster aus hellen konzentrischen Ringen in der Brennebene der Linse L \!\, . Die Ordnung eines Interferenzringes ergibt sich gemäß (1) zu

m=\frac{\delta}{2\pi}=\frac{2\bar{n}h cos\bar{\Theta}}{\lambda_0} \ \ .  \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (7)

\bar{n} \approx  1 \!\,ist der Brechungsindex der Luft zwischen den Platten, h \!\,ist der Abstand zwischen den reflektierenden Oberflächen, und \bar{\Theta} \!\, ist der Reflexionswinkel.

Interferenzspektroskopie und Längenmessung

Die Struktur der Natrium-Linie besteht aus einem engen Dublett mit den Wellenlängen \lambda_1= 589.5932nm  \!\, (D_1) \!\, und\lambda_2= 588.9965nm  \!\, (D_2)  \!\, . Diese Wellenlängendifferenz beträgt somit etwa nur 1/1000 \!\, der mittleren Wellenlänge. Für jede dieser beiden Wellenlängen (die näherungsweise als monochromatisch angenommen werden ) liefert das Fabry-Perot-Interferometer ein konzentrisches System von Interferenzringen. Für einen bestimmten Plattenabstandh_a \!\,fallen beide Ringsysteme ununterscheidbar übereinander,so daß sie wie ein einziges Ringsystem aussehen. Das bedeutet, dass bei vorgegebenem Reflexionswinkel \bar{\Theta} \!\,die Gangunterschiede \delta \!\, für \lambda_1 \!\, und \lambda_2 \!\, gleichzeitig ganzzahlige Vielfache von 2\pi \!\, sind, nähmlich 2\pi m_1  \!\, und 2\pi m_2 \!\, , wobeim_1\neq m_2 \!\, ist. Für die Ordnungen gilt gemäß (7)


m_1=\frac{2\bar{n} h_a cos\bar{\Theta}}{\lambda_1} \qquad ; \qquad m_2=\frac{2\bar{n}h_a cos\bar{\Theta}}{\lambda_2} \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad(8)


Wird der Plattenabstand vergrößert, so ändern sich die Radien der beiden konzentrischen Ringsysteme verschieden schnell. Nach dem Wandern von etwa 580 Ordnungen liegen die Ringe eines Systems zwischen jenen des anderen. Nach dem Wandern von insgesamt \Delta m\approx 1160 Ordnungen und Erreichen eines Plattenabstandes h_b\!\, liegt wieder der Ring mit der Ordnung m_1+\Delta m \!\, von \lambda_1\!\, genau über jenem mit der Ordnung m_1+\Delta m+1 \!\, für \lambda_2\!\,. Die beiden Ringsysteme sind wieder nicht unterscheidbar. Jetzt gilt für die Ordnungen


m_1 +\Delta m=\frac{2\bar{n}h_b cos \bar{\Theta}}{\lambda_1} \qquad ; \qquad m_2+\Delta m+1=\frac{2\bar{n}h_b cos \bar{\Theta}}{\lambda_2} \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad (9)


Subtraktion der linken bzw. rechten Gleichungen von (9) und (8) liefert


\Delta m=\frac{2\bar{n} cos \bar{\Theta}(h_b-h_a)}{\lambda_1} \qquad; \qquad\Delta m+1=\frac{2\bar{n} cos \bar{\Theta}(h_b-h_a)}{\lambda_2} \ \,  \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad (10)


und durch Division erhält man


\frac{\Delta m+1}{\Delta m}=\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{\lambda_2+\Delta\lambda}{\lambda_2} = 1+\frac{\Delta\lambda}{\lambda_2} \ \ .\qquad\qquad \qquad (11)


Daraus kann die sehr kleine Wellenlängendifferenz \Delta\lambda \!\, gemäß


\Delta\lambda=\frac{\lambda_2}{\Delta m}


bestimmt werden.


Beispiel

Wellenlängenbestimmung eines He-Ne Lasers.

Abb.4: Fabry-Perot-Etalon


Aufbau und Grundlagen: Eine ausgedehnte Lichtquelle liegt in der Brennbene der beiden Linsen (Abstand Quelle-erste Linse= f_1 ; Abstand zweite Linse-Schirm= f_2). Das einfallende parallele Lichtbundel durchläuft den Etalon unter dem Einfallswinkel \Theta \!\; gegen die Flächennormale. Der Wegunterschied \Delta des Lichts, kann aufgrund der vielfachen Reflexion im Fabry-Perot Interferometer eine Wellenlänge von etwa 10^4 betragen. Dabei ist \Delta=2d cos(\Theta)=\delta_m \lambda \!\;. Positive Interferenz erhalten wir für \delta_m=2\pi m\!\; mit m=1,2,3,...\!\; und dem Brechungsindex der Luft n \approx 1 \!\;.

Was zu beobachten ist: Auf dem Schirm werden Interferenzringe sichtbar die einen Durchmesser von  D_{p} \approx  2*f_2* \Theta_p \!\; haben (p \!\; ist der zum jeweils betrachteten Lichtstrahl zugehörige Index). Betrachen wir zum Beispiel das zentrale Maximum, das als Ring mit dem kleinsten Durchmesser D = D0 sichtbar wird. Durch drehen der Mikrometerschraube, die den Plattenabstand d \!\; verändert, beobachten wir, dass der helle Fleck (Interferenz) als ``Funktion´´ von d \!\; immer wieder ``verschwindet´´. Wir zählen dies 50 mal und merken, dass wir die Mikrometerschraube um 8 Teilstriche verdreht haben.

Resultat: 1 Teilstrich auf der Mikrometerschraube entspricht 0.01 mm \!\; ; Die Übersetzung der Verschiebung der Glasplatten ist 1:5 ; 1 Teilstrich auf der Mikrometerschraube verschiebt die Glasplatte um 2\mu m \!\;. 50 Maxima entsprechen der Verschiebung der Platte um 50*(\frac{\lambda}{2})=8*2 \mu m \!\;. So erhalten wir die Wellenlänge des einfallenden Lichtes \lambda =\frac{8*2*2}{50}=0,64 \mu m=640nm \!\;. Die tatsächliche Wellenlänge für einen He-Ne Laser beträgt 633 nm \!\;.


Weitere Materialien / Links

  • 1. Demtröder, Experimentalphysik 2, Elekrizität und Optik
  • 2. Bergmann -Schafer, Lehrbuch der Experimentalphysik Band 3, Optik
  • 3. Max Born and Emil Wolf, Princibeld of Optics, 7. Auflage, Cambridge University Press, 1999
Persönliche Werkzeuge
ePraktika