LV009:LV-Uebersicht/WS06 07/Aufgabe1

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Inhaltsverzeichnis

Die Eulersche Zahl

Aufgabe

Was ist die Eulersche Zahl e? Erläutern Sie verschiedene Möglichkeiten, diese Zahl zu definieren! Wie kann sie berechnen werden? Wozu dient sie?

Gestalten Sie Ihren Text so, dass Ihre SemesterkollegInnen davon profitieren können! Benutzen Sie ggf. die Ihnen zur Verfügung stehende mathematische Literatur! Web-Tipps:

1.Was ist die Euler´sche Zahl e?

Die Euler´sche Zahl e ist wie die Zahl Pi eine Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen die sich nicht periodisch wiederholen.

e= 2,7182818284...

Der Mathematiker Leonhard Euler (1707-1783) führte die Zahl e als Basis des natürlichen Logarithmus ein. Die e-Funktion e^x bleibt beim Differenzieren und Integrieren immer gleich!


Bild:exp x.jpg

Bild:exp log.jpg

Die Euler´sche Zahl e ist die einzige Zahl >1 für die die Fläche von 1 bis zur Euler´schen Zahl e unter der Kurve der Funktion 1/x gleich 1 ist.

Bild:1durchx.jpg


2.Wozu dient die Euler´sche Zahl e?

Die Eulersche Zahl e ist eine der wichtigsten Zahlen der Mathematik, was sich vor allem durch ihren Anwendungsbereich zeigen lässt. Das liegt überwiegend an ihrer Bedeutung für Wachstums- und Zerfallsprozesse. Weiters sind die Eigenschaften der Exponentialfunktion im Bereich der komplexen Zahlen nicht zu unterschätzen. Wir haben zum Beispiel in der Vorlesung besprochen welche Rolle die Eulersche Zahl in der Beschreibung von Schwingungen hat.

Wachstums- und Zerfallsprozesse:

Möchte man den radioaktiven Zerfall beschreiben, so lässt sich das durch die Formel

N(t) = N0 * e − λ * t

ausdrücken. Wobei N0 den Anfangswert zur Zeit t = 0 angibt. Der Wert λ heißt Zerfallkonstante und gibt an wie schnell das Nuklid zerfällt und hängt lediglich von der Art des Nuklids ab und nicht etwa von Druck, Temperatur und elektrischen oder magnetischen Feldern.


Ein weiteres Beispiel veranschaulicht den Fall wenn die Zerfallskonstante λ positiv ist: Gegeben sind zwei Werte von Milchsäurebakterien in nicht pasteurisierte Kuhmilch, welche sich annähernd exponentiell vermehren. Hierbei ist die Wachstumsgeschwindigkeit von der Temperatur abhängig und wir nehmen für das Beispiel an das diese konstant ist. Die Anzahl der Bakterien in 1 mm³ am Anfang N(0) = 7 und nach 5 Stunden N(5) = 130. Somit lässt sich λ berechnen:

130 = 7eλ5
\frac {130} {7}=e^{\lambda 5}
\ln \frac {130} {7}=\lambda 5
\frac {\ln \frac {130} {7}} {5}=\lambda
λ = 0,5843

Das Wachstumsgesetz für Milchsäurebakterien wäre damit:

N(t) = 7e − 0,5843t

Die komplexe Exponential Funktion:

Da das kapitel Wachstum und zerfall eher in den AHS-Stoff einzuordnen ist, möchte ich mich ausführlicher der Betrachtung der e-Funktion im Komlpexen widmen. Setzen wir in die Taylorreihe für die e-Funktion für x,ix ein so erhalten wir:

e^{i x} = 1 + i x - \frac{x^2}{2!} - \frac{i x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{i x^5}{5!} - \frac{x^6}{6!} - \frac{i x^7}{7!}...

Trennen wir nun dem Real- und Imaginärteil von einander so ergibt sich:

e^{i x} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!}... + i ( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}...)

Interessanterweise lässt sich für den Realteil die Taylorreihe für cos(x) und für den Imaginärteil jene für sin(x) erkennen. Wir können somit e(ix) als

eix = cosx + isinx

schreiben. Sie wird als die Eulersche Formel bezeichnet.


Was bedeutet das für die Anwendung der komplexen Exponential Funktion?

Mit Hilfe der Eulerschen Formel lässt sich nun eine Reihe von Schwingungsvorgängen beschreiben. Exemplarisch dient ein Auszug aus einem Wikipedia Artikel über gedämpfte Schwingungen:

Gedämpfte Schwingung
Darstellung des zeitlichen Verlaufs der Größe y(t)
bei einer freien gedämpften Schwingung.

Tatsächliche physikalische Systeme sind immer gedämpft, da sie, z. B. durch Reibung, immer Energie an die Umgebung abgeben. Überlässt man ein solches System sich selbst (freie Schwingung), so führt dies letztendlich zum „Stillstand“, wie aus dem Thermodynamik|zweiten Hauptsatz der Thermodynamik hervorgeht. Perpetuum Mobile|Perpetua Mobilia sind also (siehe Energieerhaltungssatz) nicht möglich.

Stellt man das Momentengleichgewicht einer freien gedämpften Schwingung auf, so findet man folgende allgemeine Bewegungsgleichung:


\mathit{J} \ddot \varphi + \mathit{k} \dot \varphi + \mathit{D} \varphi = 0
J: Massenträgheitsmoment
k: Dämpfung | Dämpfungskonstante
D: rückstellendes Drehmoment

Mit Hilfe des Lösungsansatzes:


\varphi (t) = \varphi_0 e^{i \alpha t}

erhält man die allgemeine Lösung der Differentialgleichung:


\varphi (t) = \varphi_0 e^{- \frac{\mathit{k}}{2\mathit{J}}t} e^{\pm\sqrt{\frac{\mathit{D}}{\mathit{J}} - \frac{k^2}{4 \mathit{J}^2}}t}

Überträgt man diese Lösung mit Hilfe der Eulerschen Formel von der komplexen in die reelle Ebene so ergibt sich folgende Schwingfunktion:


y(t)=y_0\,e^{-\delta t}\sin(2\pi f\, t+\varphi_0),

Die in der reellwertigen Lösung enthaltenen Funktionen stellen zwei elementare Funktionen dar, die im Folgenden genauer erläutert werden sollen.

Wäre also die Dämpfungskonstante gleich Null, so würde die Amplitude niemals abnehmen. Die Schwingung würde sich auf ewig mit dem gleichen Ausschlag fortsetzen. Hier sieht man auch, dass die Dämpfungskonstante nicht zu hoch gewählt werden darf. Die Exponentenfunktion geht sonst sofort gegen null und es findet keine Schwingung im eigentlichen Sinne (Oszillation) statt, sondern das System kriecht in die Ruhelage zurück (Kriechgang|Kriechfall). Die Grenze zwischen den beiden Fällen bildet der aperiodischer Grenzfall|aperiodische Grenzfall.

Als Abklingdauer \mathbf{\tau} wird die Zeit bezeichnet, in der die Amplitude auf den \mathbf{e}-ten Teil (\approx{0{,}367}) abgefallen ist. Wie deutlich aus der Gleichung der Amplitudenfunktion zu sehen, muss dafür τ gleich dem reziproken Wert des Exponenten der Funktion sein. Es ergibt sich:


\tau=\frac{2\mathit{J}}{\mathit{k}}

Die Schwingfunktion

Die Lösung der allgemeinen Differentialgleichung gibt die Schwingung eines Systems an. Es gilt dafür:


e^{\pm\sqrt{\frac{\mathit{D}}{\mathit{J}} - \frac{k^2}{4 \mathit{J}^2}}t}

Den Exponenten dieser Funktion nennt man Kreisfrequenz \mathbf{\omega}. Für eine (technisch fast unmögliche) ungedämpfte Schwingung mit der Dämpfungskonstante k = 0 herrscht nur die Eigenkreisfrequenz \mathbf{\omega_0} vor. Es gilt:


\mathbf{\omega_0} = \sqrt{\frac{\mathit{D}}{\mathit{J}}}

Für die Funktion eines gedämpften Systems gilt:

\mathbf{\omega_D} = \sqrt{\frac{\mathit{D}}{\mathit{J}} - \frac{\mathit{k}^2}{4\mathit{J}^2}}

3.Wie wird die Eulersche Zahl berechnet?

Es gibt verschiedene Methoden zur Berechnung der eulerschen Zahl. Folgend werden ihrer drei aufgezählt und hoffentlich ausreichend erklärt.

1 Methode: über die Ableitung an der Stelle 0

Kleine Vorraussetzung bzw. Feststellung: Die Ableitung der e-Funktion ist an der Stelle 0 gleich 1 oder man stellt sich zuvor die Frage: welche Basis der Funktion bx hat an der Stelle x = 0 die Steigung 1. Nun nochmal: DIE e-Funktion besitzt die Steigung 1 an der Stelle x = 0. Die Tangentengleichung durch diesen Punkt lautet (mit e0 = 1) folglich
y = 1 + x
Für kleine x Werte wird der Funktionswert der e-Funktion nicht wesentlich vom Funktionswert der Tangente abweichen. Man kann deshalb die Behauptung aufstellen, dass
ex = x + 1 für kleine x
Dies gilt für kleine x sowie auch im speziellen auch für x = 1 / n (für größere n).
e1 / n = 1 + 1 / n
Durch "umformen" erhalten wir nun eine Formel für die Eulersche Zahl
e = (1 + 1 / n)n
Würde nun der Grenzwert für n gegen Unendlich gebildet, erhaltet man einen exakten Wert für e. Im folgenden wird nun näherungsweise berechnet mit n > 0.

Berechnete Werte

n e = (1 * 1 / n)n
1 2.
2 2.25
5 2.48832
10 2.59374
100 2.70481
200 2.71152
500 2.71557
1000 2.71692


2. Methode: durch die Taylorreihe

Wie hoffentlich einige wissen gibt's die Möglichkeit jede Funktion (fast jede) durch eine Taylorreihe, heißt durch Polynome zu beschreiben. Die Polynomfunktion nähert sich der Ausgangsfunktion je besser je mehr Polynome zur Annäherung herangezogen werden. Die Taloyrreihe der e-Funktion sollte man eigentlich auch auswendig können wenn man um Mitternacht aus dem Schlaf gerissen wird (hab ich mal gehört). Für alle Fälle das jemand um diese frühe Stunde noch nicht im Bett sein sollte:

Bild:EulerTaylor.gif

Außerdem weiß man das x1 = x, dies ebenso für e1 = e gilt. Setzt man nur inex für x = 1 und dies ebenso in die Taylorreihe ein erhält man:

Bild:euler2.gif

Berechnete Werte

n e = 1 + 1 + 1 / 2 + 1 / 3! + ... + 1 / n!
1 2.
2 2.5
3 2.66667
4 2.70833
5 2.71667
10 2.71828
100 2.71828
1000 2.71828 ... ändert sich nicht mehr viel

Man sieht dass diese Methode schon um einiges schneller den Wert der Eulerschen Zahl e berechnet, soll heißen Methode 2 ist ein besseres Verfahren zur Berechnung von e. Sag ich jetzt einfach mal. Ebenfalls zu erkennen ist dass sich die beiden Methoden ähnlich sind da beide mit dem Term 1 + x beginnen, was wiederum nicht verwunderlich ist da ja die Taylorreihe durch die Ableitungen der Funktion an der Stelle 0 gebildet wird und in Methode 1 eben die 1te Ableitung an der Stelle 0 als Augang der Berechnung vorkommt.

3. Methode: "Geheimnisvolle Methode"

Zufällig bin ich auf eine Formel gestoßen die ebenfalls die Zahl e ausdrücken soll. Mal sehen wohin uns die folgende Formel führt:
e = n * (n!) − 1 / n

Woher die Formel rührt hab ich noch nicht herausgefunden. "Vielleicht wurde sie durch Zufall von einem umsich wütendem Mathematiker entdeckt vielleicht weiß aber auch irgendjemand im großem weiten Universum namens Prof.E. die Lösung". Auf alle Fälle kann e durch diese Formel auch näherungsweise angegeben werden.

Berechnete Werte

n e = n * (n!) − 1 / n
1 1
10 2.20813
100 2.63209
1000 2.70642
104 2.71678


Diese Methode ist offensichtlich noch aufwendiger und ineffizienter als die erste. Verständlicherweise brauchen selbst Computeralgebrasysteme eine Zeitlang um (10^10)! zu berechnen (von 21:58 bis unendlich) also hab ich nur bis zu 10 der 4ten. Trotzdem ist es eine Art e zu berechnen.

4.Die Exponentialfunktion

Die Ableitung der Exponentialfunktion

Ein wesentliches Merkmal der Eulerschen Zahl ist, dass die Exponentialfunktion mit der Eulerschen Zahl als Basis, also das, was wir als die Exponentialfunktion im engeren Sinne

f(x) = ex,

bezeichnen, gleich ihrer Ableitung ist. Somit ist die Exponentialfunktion beliebig oft differenzierbar.

Dies lässt sich folgendermaßen zeigen:


Die Ableitung einer Funktion lässt sich mithilfe des Differentialquotienten bestimmen:
y^{\prime}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}
betrachtet man dies nun für die Exponentialfunktion, so erhält man:
y^{\prime}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{e^{x+\Delta x}-e^x}{\Delta x}
durch Heraushebung von ex:
y^{\prime}=e^x \lim_{\Delta x \to 0}\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}
Führen wir nun die Grenzwertberechnung aus, so erhalten wir:
y^{\prime}=e^x*1=e^x=y


Hiermit wäre gezeigt, dass die Exponentialfunktion gleich ihrer ersten Ableitung und somit gleich aller weiteren Ableitungen ist.

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