LV009:LV-Uebersicht/WS06 07/Aufgabe2

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Inhaltsverzeichnis

Schwingungen

Aufgabe

Diskutieren Sie Schwingungen mit zur Auslenkung proportionaler Rückstellkraft unter dem zusätzlichen Einfluss einer (zur Geschwindigkeit proportionalen) Dämpfungskraft und einer (periodischen) äußeren Kraft anhand ihrer Differentialgleichung und deren Lösungen! Erläutern Sie die Phänomene, die diese Lösungen beschreiben!

Gestalten Sie Ihren Text so, dass Ihre SemesterkollegInnen davon profitieren können! Benutzen Sie ggf. die Ihnen zur Verfügung stehende physikalische und mathematische Literatur! Web-Tipps:

Schwingungen

Was ist eine Schwingung?

Schwingungen, auch als Oszillationen bezeichnet, beschreiben den Verlauf einer Zustandsänderung, wenn ein entsprechendes System aus dem Gleichgewicht gebracht und durch eine rücktreibende Kraft (die sogenannte Rückstellkraft) wieder in Richtung des Ausgangszustandes gezwungen wird. Eine derartige Zustandsänderung kann periodisch verlaufen. Das bedeutet, dass das System den ursprünglichen Ausgangszustand nach einem festen Zeitintervall wiederholt durchläuft.

Das Schwingen eines Systems basiert also auf der Umwandlung zweier Energieformen. Dabei kann es sich um mechanische, elektrische, thermische oder auch hydraulische Zustandsgrößen handeln.

Beispiele:

  1. Mechanische Zustandsgrößen:
    • Die Elongation (Auslenkung bzw. Schwingweg)
    • Die Schwinggeschwindigkeit
    • Die Schwingbeschleunigung
  2. Elektrische Zustandsgrößen:
    • Der Strom
    • Die Spannung
    • Die Leistung
  3. Hydraulische Zustandsgrößen:
    • Der Druck
    • Die Geschwindigkeit
    • Die Fallhöhe (Förderhöhe)

Welche Arten von Schwingungen gibt es?

Man unterscheidet mehrere Arten von Schwingungen. Die drei wichtigsten heißen:

  • Harmonische Schwingungen
  • Gedämpfte Schwingungen
  • Erzwungene Schwingungen


In der Praxis sind alle physikalischen Systeme gedämpft. Die Dämpfung wird beispielsweise durch Reibung erzeugt, sodass ständig Energie an die Umgebung abgegeben wird. Mit anderen Worten: Eine nicht ständig angeregte Schwingung wird letztendlich immer zum Stillstand kommen. Dies wird auch durch den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik beschrieben. Somit sind sogenannte „Perpetua Mobilia“ auch nicht möglich.

Die erzwungene Schwingung

Eine Schwingungen, welche durch eine zur Auslenkung proportionalen Rückstellkraft, einer Dämpfungskraft und einer (periodischen) äußeren Kraft beschrieben wird, nennt man erzwungene Schwingung. Jede Schwingung kann durch eine Differentialgleichung beschrieben werden, siehe dazu mehr im Artikel vom SS2007. Im folgenden sollen daher die Differentialgleichung der erzwungene Schwingung dargestellt und jeder ihrer Term bezeichnet werden. Besonders interessant ist die Betrachtung der Lösungen der Gleichung und deren Bedeutungen.

Differentialgleichung der erzwungenen Schwingung

m \ddot{x} + D\dot{x} + kx = A \sin {\omega t}


m \ddot{x} ... Kraft der Auslenkung
D\dot{x} ... Dämpfung der Schwingung
kx~... Rückstellkraft
A \sin ~{\omega t} ... Periodische äußere Kraft
m~... Masse
D~... Dämpfungskonstante
k~... Federkonstante
\ddot{x} ... Beschleunigung
\dot{x} ... Geschwindigkeit
A~... Amplitude
\omega~... Erregerfrequenz
t~... Zeit
\omega_0^2 = \cfrac{k}{m} ... Kreisfrequenz


Voraussetzungen:

  • Aus der Differentialgleichung können Werte für D berechnet werden: Für D<2m\omega_0~erhalten wir ein periodische Schwingung, für D\ge 2m\omega_0 erhalten wir den sogenannten "Kriechfall" - Die Schwingung kommt zum erliegen.
  • Die Ferderkonstante k muss für ein schwingfähiges System größer Null sein. Sollte k\le 0sein, ergibt sich keine Rückstellkraft und somit keine Schwingung.
  • Die Amplitude A (Betrag der maximalen Auslenkung) muss größer Null sein, da bei A = 0 keine Schwingung statt findet.


Lösung der Differentialgleichung

  • Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung sieht wie folgt aus:


x[t] = e^\cfrac{-D -\sqrt{D^2-4km}t}{2m} C[1] + e^\cfrac{-D +\sqrt{D^2-4km}t}{2m} C[2] +


+  \cfrac{(4 (A D m^2 \omega \cos{\omega t} - A k m^2 \sin{\omega t} + A m^3 \omega^2 \sin{\omega t}))}{((-D^2 + 2 k m + D \sqrt{D^2 - 4 k m} - 2 m^2 \omega^2)(D^2 - 2 k m + D \sqrt{D^2 - 4 k m} + 2 m^2 \omega^2))}


x[t]~... Weg in Abhängigkeit der Zeit
  • Der Befehl zur Lösung mit Mathematica: DSolve[m x[t] + d x'[t] + k x[t] == A Sin[omega t], x[t], t]


  • Diese Lösung ist sehr allgemein und komplex daher verwenden wir einen spezielleren Lösungsansatz aus der Literatur. Für diesen Ansatz gelten die oben erwähnten Voraussetzungen.


Lösungsansatz: x(t)~=~A(\omega) \cos (\omega t+ \varphi_0 (\omega)) = A \cos \varphi 
A(\omega)~...Amplitude in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz; diese ist konstant, weil die Erregerfrequenz konstant ist.
\delta = \cfrac{D}{2m} ... Dämpfungskonstante
\varphi_0(\omega) ... Phasenverschiebung zwischen Schwingung und Erregerschwingung, die Frequenz der Schwingung ist gleich der Frequenz der Erregerfrequenz.


Wenn man diesen Lösungsansatz in die Differentialgleichung einsetzt und anschließend ausrechnet, so erhält man die Phasenverschiebung \varphi_0:

\varphi_0 = arctan \cfrac{2 \delta \omega}{\omega^2 - \omega_0^2} 


Durch Weiterrechnen und Einsetzen von \varphi_0 ergibt sich eine Formel für die Amplitude (welche in Abhängigkeit von ω steht).

A(\omega) = \cfrac{F_0}{m}~ \cfrac{1}{\sqrt{( \omega^2 - \omega_0^2)^2 + 4 \delta^2 \omega^2}} 

Dabei ist F0 die erregende Kraft zum Zeitpunkt 0.


Der Lösungsansatz x(t) lässt sich somit schreiben als:

x(t) =  \cfrac{F_0}{m}~ \cfrac{1}{\sqrt{( \omega^2 - \omega_0^2)^2 + 4 \delta^2 \omega^2}} ~ \cos( \omega t + arctan \cfrac{2 \delta \omega}{\omega^2 - \omega_0} )


Dies ist das Weg-Zeit-Gesetz für den stationären Schwingungszustand. Eine stationäre Schwingung ist eine zeitlich unveränderliche Schwingung, nach dem Einschwingvorgang.

Diskussion der Lösung

Die Amplitude

Zunächst eine kurze Beschreibung der Resonanz: Resonanz beschreibt das maximale Zusammenwirken von Erregerschwingung und erzwungener Schwingung. Sie wirkt sich auf die Amplitude der erzwungenen Schwingung aus, die bei Resonanz maximal wird (Maximale konstruktive Interferenz).


Die Amplitude kann als Funktion der Erregerfrequenz gesehen werden, wir betrachten die Amplitude unter verschiedenen Erregerfrequenzen. Dazu folgende Überlegung:

Wie wird die Amplitude maximal? Sieht man sich die Formel für die Amplitude an:


A(\omega) = \cfrac{F_0}{m}~ \cfrac{1}{\sqrt{( \omega^2 - \omega_0^2)^2 + 4 \delta^2 \omega^2}}


erkennt man, dass die Amplitude maximal wird, wenn der Nenner möglichst klein wird. Mittels einer Extremwertberechnung kann die Wurzel minimal werden.

Dazu wird die erste Ableitung gebildet und Null gesetzt. Durch Umformen und Ausrechnen erhalten wir für die Resonanzfrequenz ωr 2 Lösungen, von denen einer ein Minimum sein muss (dabei muss | ω0 | < | ω | < 1 sein):

1. \omega_{r1}~=0


Diese Lösung ist jedoch wenig sinnvoll (bei Frequenz Null schwingt nichts mehr), denn durch Einsetzen dieser Lösung erhält man die Amplitude der Erregerfunktion (Welche keine maximale Resonazamplitude ist).

2. \omega_{r2}~=~\sqrt{\omega_0^2-2\delta^2}


Damit ergibt sich für die Amplitude:

  • Bei Resonanzfrequenz:
A(\omega) = \cfrac{F_0}{m}~ \cfrac{1}{ \omega_0 2 \delta \sqrt{1 - \cfrac{ \delta^2}{ \omega_0^2}}}
  • Bei \omega_r~=~0
A(0) = \cfrac{F_0}{D}


Das Verhältnis der Amplitude bei ω0 und Resonanzfrequenz nennt man Resonanzüberhöhung.

 \cfrac{A(\omega_r)}{A(0)} = \cfrac{\omega_0}{2 \delta \sqrt{1-(\cfrac{\delta}{\omega_0})^2}}

Bei der Grenzwertbildung erhalten wir die Resonanzkatastrophe.

\lim_{\delta \rightarrow 0} \cfrac{A(\omega_r)}{A(0)} = \infty


Die Phase

Die Phase bezeichnet den aktuellen Schwingungszustand einer Schwingung. Mit Phasenverschiebung wird die Differenz der Phasen zweier Schwingungen benannt.

Auch die Phase kann als Funktion der Erregerfrequenz gesehen werden.

\varphi_0 = arctan \cfrac{2\delta\omega}{\omega^2-\omega_0^2}

Aus der Formel für die Phasenverschiebung sieht man sehr schön, dass die Phase von der Erregerfrequenz abhängig ist.


Leistungsbetrachtung

Die Gesamtenergie des schwingenden Systems setzt sich zusammen aus potenzieller Energie und kinetischer Energie. Durch Umformen der Differntialgleichung erhält man:

\cfrac{d}{dt}[\cfrac{m \dot x^2}{2} +\cfrac{k}{2}x^2] = - D \dot x^2 + F(t)

Wobei:

Die Kinetische Energie:  \cfrac{m \dot x^2}{2} (vergleiche  \cfrac{mv^2}{2} in der Mechanik)

Die Potentielle Energie:  \cfrac{kx^2}{2} ( mit k = -\cfrac{F}{x} => -\cfrac{Fx}{2} als Potenzielle Energie)

Potenzielle und kinematische Energie ergeben zusammen die Arbeit, deren zeitliche Ableitung die Leistung ist (\cfrac
{d}{dt}[W_k + W_p]). Die Leistung ist die zeitliche Änderung der Arbeit, womit sich ergibt:

\cfrac{dW}{dt} = -D\dot x^2 + \dot x F(x)


beziehungsweise für das Zeitmittel der zeitlichen Änderung der mittleren Gesamtenergie:

\cfrac{d\overline{W}}{dt} = -D\overline{\dot x^2} + \overline{\dot x F(x)}=0


-D\overline{\dot x^2} ... durch Reibung verbrauchte mittlere Leistung  \overline{P(\omega)}

\overline{\dot x F(x)} ... dem System zugeführte mittlere Leistung  \overline{P(\omega)}


Das bedeutet, dass die Energie der erregenden Kraft die durch Reibung verloren gegangene Energie im System vollständig ersetzt und die gesamte Arbeit konstant bleibt (Ableitung der Arbeit ist gleich Null). Die dem System zugeführte Leistung  \overline{P(\omega)} (vergleiche oben \overline{\dot x F(x)} kann ebenfalls als Punkt der Erregerfrequenz gesehen werden. Durch einsetzen von \overline{\dot x^2} und die Amplitude A erhält man:

\overline{P(\omega)} = \cfrac{D}{2} (\cfrac{F_0}{m})^2 \cfrac{\omega^2}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\delta^2\omega^2}

Schwingungsdiagramme der erzwungenen Schwingung

Hier nun einige Schwingungungen, wobei jeweils eine Variable sehr groß ist. Alle Diagramme wurden mit Hilfe des Computeralgebrasystem Mathematica erstellt:


Hohe Dämpfung

Mathematica-Befehl:
DSolve[x[t] + 6x'[t] + x[t] == Sin[t], x[t], t]


Lösung der Differnzialgleichung:
x(t) = e^{(-3 -2 \sqrt{2}) t} C(1) + e^{(-3 +2 \sqrt{2}) t} C(2) + \cfrac{\cos t}{6(-3 +2 \sqrt{2})(3 +2 \sqrt{2})}


Plot des Ergebnisses:
Bild:Hohe_Daempfung.jpg


Hohe Masse

Mathematica-Befehl:
DSolve[10x[t] + x'[t] + 3x[t] == Sin[t], x[t], t]


Lösung der Differnzialgleichung:
x(t) = e^{\cfrac{-t}{20}}*C(2)*\cos(\cfrac{t\sqrt{119}}{20})~+~e^{\cfrac{-t}{20}}*C(1)*\sin(\cfrac{t\sqrt{119}}{20})~+
\cfrac{ (-\cos (t) \cos(\cfrac{t\sqrt{119}}{20})^2 - 7\cos(\cfrac{t\sqrt{119}}{20})^2 \sin t - \cos t \sin(\cfrac{t\sqrt{119}}{20})^2 -7 \sin t \sin(\cfrac{t\sqrt{119}}{20})^2)}{50}


Plot des Ergebnisses:
Bild:Hohe_Masse.jpg


Hohe Rückstellkraft

Mathematica-Befehl:
DSolve[x[t] + x'[t] + 15x[t] == Sin[t], x[t], t]


Lösung der Differnzialgleichung:
x(t) = e^{\cfrac{-t}{2}}*C(2)*\cos(\cfrac{t\sqrt{59}}{2})~+~e^{\cfrac{-t}{2}}*C(1)*\sin(\cfrac{t\sqrt{59}}{2})~+
\cfrac{ (-\cos (t) \cos(\cfrac{t\sqrt{59}}{2})^2 + 14\cos(\cfrac{t\sqrt{59}}{2})^2 \sin t - \cos t \sin(\cfrac{t\sqrt{59}}{2})^2 + 14 \sin t \sin(\cfrac{t\sqrt{59}}{2})^2)}{197}


Plot des Ergebnisses:
Bild:Hohe_Rueckkraft.jpg


Hohe äußere Kraft

Mathematica-Befehl:
DSolve[x[t] + x'[t] + x[t] == 10Sin[t], x[t], t]


Lösung der Differnzialgleichung:
x(t) = e^{\cfrac{-t}{2}}*C(2)*\cos(\cfrac{t\sqrt{3}}{2})~+~e^{\cfrac{-t}{2}}*C(1)*\sin(\cfrac{t\sqrt{3}}{2})~-~10~ (\cos (t) \cos(\cfrac{t\sqrt{3}}{2})^2 + \cos t \sin(\cfrac{t\sqrt{3}}{2})^2)


Plot des Ergebnisses:
Bild:Hohe_Aussenkraft.jpg


Klassische Schwingung

Mathematica-Befehl:
DSolve[10x[t] + 10x'[t] + 10x[t] == Sin[t], x[t], t]


Lösung der Differnzialgleichung:
x(t) = e^{\cfrac{-t}{2}}*C(2)*\cos(\cfrac{t\sqrt{3}}{2})~+~e^{\cfrac{-t}{2}}*C(1)*\sin(\cfrac{t\sqrt{3}}{2})~+~\cfrac{ (-\cos (t) \cos(\cfrac{t\sqrt{3}}{2})^2 - \cos t \sin(\cfrac{t\sqrt{3}}{2})^2)}{10}


Plot des Ergebnisses:
Bild:Normal.jpg
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