LV009:LV-Uebersicht/WS06 07/Aufgabe3

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Inhaltsverzeichnis

Grafische Darstellung von Vektorfeldern

Aufgabe

Erläutern Sie verschiedene Möglichkeiten, Vektorfelder und ihre Eigenschaften grafisch darzustellen! Wenden Sie diese Methoden auf einige Beispiele und physikalisch relevante Vektorfelder Ihrer Wahl an!

Gestalten Sie Ihren Text so, dass Ihre SemesterkollegInnen davon profitieren können! Benutzen Sie ggf. die Ihnen zur Verfügung stehende mathematische und physikalische Literatur!

Ausarbeitung

GRAFISCHE DARSTELLUNG VON VEKTORFELDERN

1.ALLGEMEINES


1.1 DEFINITION Ein Vektorfeld liegt vor, wenn in jedem Punkt der Ebene oder des Raumes (bzw. Teilmengen davon) ein Vektor, festgelegt ist. Die ein Vektorfeld definierenden Abhängigkeiten werden in der Form \vec v = \vec v (x,y), \vec v =\vec v (x,y,z) oder (im zwei- und dreidimensionalen Fall) \vec v =\vec v (\vec x ) geschrieben.

1.2 BEDEUTUNG UND PRAKTISCHE BEISPIELE

Praktisch bedeutet das, dass man an jedem Punkt eine gemessen vektorielle Größe, wie zum Beispiel die Geschwindigkeit, durch einen Vektor in 2 bzw. 3 Dimensionen darstellen kann. Die jeweilige Größe wird durch Betrag, Orientierung, und Richtung des Vektors an dem jeweiligen Punkt charakterisiert. Damit das jeweilige Feld ausreichend beschrieben werden kann, stehen die einzelnen Komponenten des Vektors in Abhängigkeit zu Funktionen. Ein Vektorfeld in zwei (drei) Dimensionen besteht aus zwei (drei) Funktionen in zwei (drei) Variablen.

Zur Veranschaulichung werden wir versuchen im Folgenden, die abstrakten Vektorfelder in Kombination mit einigen „greifbaren“ Feldern (im Sinne von Sichtbarkeit der Veränderlichen vektoriellen Größen, anhand von Feldern, die uns vom Alltag bekannt sind) darzustellen.


Beispiel: Tiefdruckwirbel auf der Nordhalbkugel

Bild:tiefdruck.jpg

Quelle: http://homepage.univie.ac.at/Wladyslaw.Szymanski/Meth1_Tr%25E4gheitskr%25E4fte.pdf (24.11.2006, 16:30 Uhr)


Hier wird ausschnittsweise der Tiefdruckwirbel durch Vektoren dargestellt. Gut sieht man hier, dass die zunehmenden Beträge (die Länge der Vektoren), einen höhern Tiefdruck andeuten, was in dieser Darstellung den dichteren Stellen entspricht.


Beispiel: Tiefdruckgebiet über Afrika

Bild:tiefdruckafrika.jpg

Quelle: Vorname, Zuname (des Autors, Heruasgeber), Mathematik für Physiker. Lehrbuch 2, Nr. Auflage, Ort Jahr, S.15


Auch hier haben, wir es mit Tiefdruckgebieten zu tun. Zu beachten ist der größere Betrag der Vektoren, über dem Meer. Hier scheint ein stärkeres Tiefdruckgebiet vorzuliegen. Überlegen wir uns, wie es zu Tiefdruckgebieten kommt, ist es ersichtlich, dass über dem Meer ein stärkeres herrscht.


Beispiel: Elektrische Stromdichtenverteilung eines Leiters


Bild:stromdichtenverteilung.jpg

Quelle: http://www.iue.tuwien.ac.at/phd/sabelka/node42.html 06.12.06 (18.45h)


Die Länge der Pfeile, in diesem Fall sogar die Farbe des Pfeiles, gibt die jeweilig unterschiedliche Stromdichte an.


Beispiel: Abfluss

Bild:abfluss.jpgBild:abfluss2.jpg Bild:abfluss3.jpg

Quelle:http://www.linuxwin.de/wallpaper/5-vor-12/; (4.12.06, 22:46h)


2. GRAPHISCHE DARSTELLUNG


Es gibt verschieden Arten Vektorfelder graphisch darzustellen:

• mittels Vektoren • mittels Feldlinien • mittels Gradient


2.1 DARSTELLUNG MITTELS VEKTOREN

Je nach Wert der vektoriollen Größe eines Punktes wird ein Vektor gezeichnet.


2.2 ARTEN VON VEKTORFELDERN


• homogene bzw. konstante:

Ein homogenes bzw. konstantes Vektorfeld zeigt in jedem Punkt in dieselbe Richtung und hat überall dieselbe Länge.

Beispiel: \vec v (\vec x )=(1,1)

Bild:homogen.jpg

Ein Beispiel für so ein Vektorfled, wäre eine Laminar ungehinderte Strömung.


• radialsymmetrische:

Ein radialsymmetrisches Vektorfeld ist in jedem Punkt parallel zum Ortsvektor xPFEIL und seine Orientierung und Länge für alle Punkte, die vom Ursprung die gleiche Entfernung haben, gleich.

Beispiel: 1/r² Kraffeld einer Punktmasse beziehungsweis

Bild:radialsym1.jpg

Quelle: http://public.rz.fh-wolfenbuettel.de/~dangendo/vorl/skri_s98/k2_3_s98.pdf (24.11.2006, 16:30 Uhr)


Bild:radialsym2.jpg

Quelle: http://www.tu-braunschweig.de/Medien-DB/AFS-wittram_ (4.12.06, 23:08h)


• ringförmige:

Ein ringförmiges Vektorfeld hängt nicht von der z-Koordinate ab, und zeigt daher an jedem Punkt in eine zur x, y - Ebene parallele Richtung. Seine Länge ist in allen Punkten, die von der z-Achse gleich weit entfernt sind, gleich.

Beispiel: Magnetfeld um einen elektrischen Leiter:  \vec B = C / (x²+y²) * (-y,x,0) (in drei sowie zwei Dimensionen)

Bild:ringfoermig1.jpg

Bild:ringfoermig2.jpg


2.3 MATHEMATICA BEFEHLE


Um sich die mühselige Arbeit des händischen Zeichnens der einzelnen Pfeil zu ersparen, kann man sich Mathematica zur Hilfe nehmen. Ein Mathematica Package ermöglicht eine sehr Gute Darstellung, sowohl in zwei also auch in drei Dimensionen.


• Package öffnen:

<<Graphics`PlotField`


• Vektorfeld zeichnen lassen:

PlotVectorField[{einzelnen Komponenten des Vektorfelds, mit Beistrich getrennt},{Bereich der x-Achse in der geplottet werden soll},{ Bereich der y-Achse in der geplottet werden soll}]


Beispiel: PlotVectorField[{Sin[x],Cos[y]},{x,-2Pi,2Pi},{y,-5,5}]


Bild:plotvectorfield.jpg


Analog dazu kann man das auch drei Dimensional tun.

• Package offenen: <<Graphics`PlotField3D`

s• Beispiel: PlotVectorField3D[{y,-x,0},{x,-4,4},{y,-4,4},{z,-4,4}]

Bild:plotvectorfield3d.jpg


2.4 DARTSELLUNG MITTELS FELDLINIEN

Feldlinien sind Linien, für die in jedem Punkt der dortige Feldvektor tangential zur Linie ist.

Die Feldliniendichte ist proportional zum Betrag des Feldvektors.


Beispiel: Dipol


Bild:dipol1.jpg Bild:dipol2.jpg

Quelle links:http://www.tphys.uni-heidelberg.de/Nucl/

Quelle rechts: http://www.wissen.swr.de/warum/blitze/themenseiten/t5/images_content/


Hier haben wir die Feldlinien und das Vektrofeld das Kraftfeld von zwei entgegengesetzten Ladungen gegenüber gestellt. Deutlich erkennt man den Zusammenhang von Feldleinen und Vektoren. Die Darstellung Unterhalb zeigt die Niveau Flächen des Feldes. Noch deutlicher ist der Zusammenhang im Beispiel des Abflusses weiter oben. Hier wurden die Feldlinien mit dem Vektorfeld überlagert.

Beispiel: Magnetfeld von einem Stabmagneten

Bild:stabmagnet.jpg

Quelle: leifi.physik.uni-muenchen.de/web_ph07_g8/umwe... (4.12.06, 23:08h)


Beispiel: \vec v =(-y,x)

Bild:feldlinien.jpg

Quelle: www.tu-braunschweig.de/Medien-DB/AFS-wittram_... (04.12.06, 01:30h)

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