LV009:LV-Uebersicht/WS06 07/Aufgabe4

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Inhaltsverzeichnis

Potenzreihen

Aufgabe

Was ist eine Potenzreihe, was lässt sich über ihre Konvergenz sagen? Was bedeuten die Begriffe Konvergenzbereich (Konvergenzgebiet) und Konvergenzradius? Wie wird letzterer bestimmt? Geben Sie Beispiele an!

Gestalten Sie Ihren Text so, dass Ihre SemesterkollegInnen davon profitieren können! Benutzen Sie ggf. die Ihnen zur Verfügung stehende mathematische und physikalische Literatur!

Ausarbeitung

Die Potenzreihe, ein Begriff der Analysis, bezeichnet eine Summe aus unendlich vielen ganzzahligen Potenzen einer Variablen. Formal ausgedrückt sieht das so aus:

 a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+... \equiv \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot x^n oder allgemeiner:  \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (x-x_0)^n

an stellt dabei den zur jeweiligen Potenz xn gehörenden Koeffizienten dar. Ist dieser = 0, so fällt die jeweilige Potenz weg. Auf die allgemeinere Form dieser Potenzreihe werden wir etwas weiter unten bei der Potenzreihenentwicklung näher eingehen. Bricht eine Reihe dieser Form nach endlich vielen Gliedern ab, so handelt es sich um ein Polynom k-ten Grades. Für alle n > k gilt dann, dass die zugehörigen an = 0 sind.

a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+...+a_k x^k \equiv \sum_{n=0}^k a_n \cdot x^n

Jede Polynomfunktion ist ein Beispiel dafür.

Nutzen von Potenzreihen

Für viele Funktionen kann eine zugehörige Potenzreihe gefunden werden, durch die sie in einem bestimmten Bereich approximiert werden kann. Dieser Vorgang wird als Potenzreihenentwicklung bezeichnet. Die Potenzreihe in endlicher Länge kann folgendermaßen verwendet werden:

  • Zur Berechnung von Funktionswerten für Funktionen, deren Funktionswerte sonst nur mühsam ermittelt werden könnten. Dies ist z.B. bei trigonometrischen Funktionen der Fall.
  • Zur Berechnung von Näherungen für bestimmte Funktionen, wobei das Näherungspolynom mit zunehmendem Grad immer stärker gegen die eigentliche Funktion strebt.
  • Zur gliedweisen Integration von Funktionen, die nicht geschlossen integriert werden können. Dazu muss die Funktion in eine absolut konvergente Potenzreihe entwickelt werden, die dann gliedweise integriert werden kann. Dadurch erhält man eine neue Potenzreihe für das Integral der Funktion.

Potenzreihenentwicklung:

Die Darstellung einer Funktion als Potenzreihe heißt Entwicklung in eine Potenzreihe. Diese Behauptung sieht formal angeschrieben so aus:

 f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n \cdot x^n \equiv a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+...

Den meisten der bisher angeschriebenen Potenzreihen ist gemeinsam, dass sie um die Stelle x = 0 entwickelt wurden. Will man aber die Funktion um eine andere Stelle x = x0 betrachten, so ist es besser, die Reihe in Potenzen von xx0 anstelle von x − 0 = x zu entwickeln. Formal entspricht das der oben angeführten allgemeineren Darstellung:

 f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (x-x_0)^n \equiv a_0+a_1 (x-x_0)+a_2 (x-x_0)^2+a_3 (x-x_0)^3+...

Die Stelle x0 wird dabei als Entwicklungspunkt bezeichnet. Die Koeffizienten an, oft tragen sie auch den Namen Taylorkoeffizienten, müssen für jede Funktion eigens ermittelt werden. Eine Möglichkeit hierfür bietet die anschließend beschriebene Taylorentwicklung.

Brook Taylor (1685-1731 oder 1746)

Taylorreihe:

Die Taylorreihe hat ihren Namen von Mathematiker Taylor Brook (1685-1731 oder 1746) geerbt, der folgenden Zusammenhang entdeckt hat: Wird eine Funktion in eine Potenzreihe entwickelt, sind die Koeffizienten durch die Funktion und alle ihre Ableitungen an einer bestimmten Stelle festgelegt. Voraussetzung dafür ist lediglich, dass die Funktion analytisch, d.h. beliebig oft differenzierbar ist. Der zugehörige Vorgang wird Taylorentwicklung genannt. Zum besseren Verständnis des eben gesagten werden wir eine Entwicklung anhand eines beliebig gewählten Polynoms ausführen; die Verallgemeinerung auf einen unendlich langen Term findet danach formal statt und sollte leicht nachvollziehbar sein.

Beispiel: f(x) = 4 − 3x + 7x2 + 10x3 − 2x4x5 Für unser Vorhaben eignet sich diese Darstellung besser als die sonst übliche. Von dieser Funktion berechnen wir sooft die Ableitung bis diese 0 wird. Dabei schreiben wir die n-te Ableitung in der Form f(n)(x) an. Als nullte Ableitung bezeichnen wir die Funktion selbst f(0)(x) = f(x).

f^{(0)}(x)=4-3 \cdot x+7 \cdot x^2+10 \cdot x^3-2 \cdot x^4-x^5
f^{(1)}(x)=-3 \cdot 1 + 7 \cdot 2 \cdot x + 10 \cdot 3 \cdot x^2-2 \cdot 4 \cdot x^3 - 1 \cdot 5 \cdot x^4
f^{(2)}(x)=7 \cdot 2 \cdot 1 + 10 \cdot 3 \cdot 2 \cdot x-2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot x^2 - 1 \cdot 5 \cdot 4 \cdot x^3
\vdots \qquad  \qquad \vdots
f^{(5)}(x)= - 1 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1
f(6)(x) = 0

Beim Differenzieren haben wir die dem Exponenten entstammenden Faktoren separat aufgeschrieben, und nicht ausmultipliziert, damit die ursprünglichen Faktoren erhalten bleiben. Kennt man den Funktionswert und die Werte der Ableitungen an einer Stelle, so kann man die entsprechenden Koeffizienten durch Division einfach ermitteln. Entwickelt man die Reihe um die Stelle x = 0, dann sieht das Ergebnis in Form gegossen so aus:

f(x)= \frac{f^{(0)}(0)}{0!}x^0 + \frac{f^{(1)}(0)}{1!}x^1 + \frac{f^{(2)}(0)}{2!}x^2 + \frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3 + ... \equiv \sum_{n=0}^\infty {\frac{f^{(n)}(0)}{n!} \cdot x^n}

Dabei wird die Konvention verwendet, dass n!=n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1 (sprich „n Faktorielle“ oder „n Fakultät“, wobei anstelle von n natürlich die verwendete Zahl einzusetzen ist) und dass 0! = 1.

Hier steht die korrekte Form der Taylorreihe angeschrieben, die unendlich lang ist, weil eine endlos wiederholte Differentiation der Funktion immer f^{(n)}\not= 0 und damit der Term kein Ende nimmt. Jedes Polynom bricht nach einer endlichen Anzahl von Gliedern ab, weil es einen endlichen Grad hat und die Ableitungen deshalb irgendwann in die Nullfunktion übergehen und die Glieder höheren Grades dadurch wegfallen.

Um zu überprüfen, ob Sie wirklich das Wesentliche des eben Gesagten verstanden haben, sei hier ein Beispiel gerechnet. Um den Lerneffekt zu maximieren, empfiehlt es sich, zuerst das Beispiel genau zu studieren, und danach für eine andere Funktion, die in eine Taylorreihe entwickelt werden kann, analog durchzuführen. Einige mögliche Funktionen finden sich am Ende dieses Abschnittes.

Approximation der Cosinus-Funktion (blau) mit Taylorpolynomen vom Grad: 0(rot), 2(grün), 4(türkis), 6(gelb) und 8(violett).

Beispiel: Entwicklung der Cosinus-Funktion in eine Reihe

Der Cosinus ist wie alle trigonometrischen Funktionen unendlich oft differenzierbar, ist daher für die Reihenentwicklung geeignet.

Bei den Ableitungen ergibt sich folgendes Bild:

f(0)(x) = cosx
f(1)(x) = − sinx
f(2)(x) = − cosx
f(3)(x) = sinx
f(4)(x) = cosx

Daraus ersehen wir, dass sich ab der 4. Ableitung diese Folge zu wiederholen beginnt. Dieser Umstand spart viel Zeit, weil wir die unendliche Wiederholung dieses Vorganges dadurch einsparen.

Um diese Ableitungen für die Taylorentwicklung verwenden zu können, ermitteln wir die jeweiligen Werte für die Stelle x = 0.

f(0)(0) = 1
f(1)(0) = 0
f(2)(0) = − 1
f(3)(0) = 0
f(4)(0) = 1

Diese setzen wir in die obige Form ein und erhalten:

\cos x=\frac{1}{0!}x^0 + \frac{0}{1!}x^1 + \frac{(-1)}{2!}x^2 + \frac{0}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 + \frac{0}{5!}x^5 +\frac{(-1)}{6!}x^6 +...

etwas schöner ausgedrückt kommt man zu folgendem Ergebnis: \cos x=1- \frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+... \equiv \sum_{n=0}^\infty {(-1)^n \cdot \frac{x^{2n}}{2n!}}

Variationen von Potenzreihen

Allgemeine Taylorreihe

Sinus-Funktion mit Taylorreihen um die Stellen x = 0 (rot) und x = π (grün) approximiert.

Will man die Taylorreihe nicht um die Stelle x = 0 entwickeln, sondern um die allgemeine Stelle x = x0, so muss die oben gefundene Darstellung erweitert werden. Um diese Erweiterung zu finden, bedienen wir uns diesmal eines eleganteren Weges: Wir führen eine Hilfsvariable u = xx0 ein, die an der Stelle x = x0 den Wert 0 hat. Damit entwickeln wir die Reihe an der Stelle u = 0 und drücken am Ende u wieder durch x aus.

Gegeben ist die Funktion f(x), deshalb benötigen wir x = u + x0 und setzen ein: f(x) = f(u + x0). Weil x0 konstant ist, ist u die Variable, nach der entwickelt werden kann. Durch dieses Vorgehen führen wir eine Koordinatentransformation durch, indem wir das Koordinatensystem für u so verschieben, dass an dieser Stelle u = 0 und somit können wir um diese Stelle eine einfache Reihenentwicklung durchführen.

f(x)=f(u+x_0)=f(0+x_0)+ \frac{f^{(1)(0+x_0)}}{1!} u + \frac{f^{(2)}(0+x_0)}{2!} u^2 + \frac{f^{(3)}(0+x_0)}{3!} u^3 +...

Jetzt noch u durch xx0 ersetzen und wir erhalten als Ergebnis die allgemeine Form der Taylorreihe:

f(x)=f(x_0)=f(x_0)+ \frac{f^{(1)}(x_0)}{1!} (x-x_0) + \frac{f^{(2)}(x_0)}{2!} (x-x_0)^2 + \frac{f^{(3)}(x_0)}{3!} (x-x_0)^3 +...\equiv \sum_{n=0}^\infty {\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n}

MacLaurinsche Reihe:

Dieser Begriff, benannt nach Colin MacLaurin, bezeichnet eine Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt x0 = 0. Zur Erinnerung: f(x)= \sum_{n=0}^\infty {\frac {f^{(n)}(0)}{n!}x^n} Dieser Begriff wird allerdings im deutschen Sprachraum kaum verwendet.

Laurentreihe:

Dieser Reihentypus ist benannt nach dem Mathematiker Pierre Alphonse Laurent. Sie läßt aber zusätzlich auch negative Exponenten zu. Dementsprechend bewegt sich die Variable, über die summiert wird im Intervall -\infty<n<\infty.

Möchte man dies geometrisch veranschaulichen, so kann die Aufsummierung über n in diesem Fall in Form von Markierungen auf einer Geraden dargestellt werden. Im Normalfall einer Taylorreihe benötigt man dazu nur einen Strahl mit Anfangspunkt 0. Dementsprechend besitzt auch die allgemeine Taylorreihe einen Beginn wohingegen die Laurentreihe nirgends beginnt. Entsprechend hat die Reihe diese Gestalt: f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty {a_n \cdot (x-x_0)^n}

Häufig sind a_n,\ x_0 komplexe Zahlen. Der Term mit den negativen Potenzen von x wird Hauptteil genannt, der mit den nichtnegativen Potenzen Nebenteil. Eine Laurentreihe mit endlich vielen Termen und einem existierenden Hauptteil wird Laurent-Polynom genannt.

Laurentreihen werden in der Funktionentheorie als Hilfsmittel zur Untersuchung von Funktionen mit Singularitäten eingesetzt.

Konvergenzbereich

Das Taylorpolynom 1 + x + x2 + x3 + x4 + ... konvergiert gegen \frac {1}{1-x} nur im Intervall − 1 < x < 1. Taylorpolynom 10.(rot) und 15. Grades(grün)

Manche Taylorreihen konvergieren nur innerhalb eines bestimmten Bereiches, d.h. die Entwicklung ist nur innerhalb dieses Intervalls gültig. Konvergent heißt, dass sich die Entwicklung mit steigendem Grad der Terme immer besser an die Funktion annähert, entfernt sie sich, ist die Reihe divergent. Dieses Intervall wird Konvergenzbereich oder Konvergenzgebiet genannt. Er ist symmetrisch um den Entwicklungspunkt und die halbe Länge des Konvergenzbereiches wird als Konvergenzradius bezeichnet. Ob die Randpunkte dieses Konvergenzintervalls dazugehören oder nicht, hängt von der Reihe ab und muss individuell geprüft werden.

Folgendes Beispiel kann die beiden Begriffe besser verständlich machen: f(x)=\frac {1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+... Diese Funktion, geometrische Reihe benannt, besitzt an der Stelle x = 1 eine Singularität, der Funktionswert an dieser Stelle ist unendlich groß bzw. die Funktion ist an dieser Stelle nicht definiert. Deshalb ist es nicht verwunderlich, dass die Reihe an dieser Stelle 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... lautet. Wenig intuitiv erscheint, dass die Reihe nur in einem um die Stelle x = 0 symmetrischen Intervall − 1 < x < 1 konvergiert. Die Gründe dafür können in der Funktionentheorie hergeleitet werden. Setzt man für x = − 1 in die Reihe ein, so ergibt sich der wenig sinnvolle Ausdruck: 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − .... In der graphischen Darstellung ist dies ebenso ersichtlich. Je weiter man sich vom Entwicklungspunkt außerhalb des Konvergenzbereichs entfernt, desto stärker divergiert die Reihe.

Konvergenzradius

Der Konvergenzradius kann unter Zuhilfenahme zahlreicher Methoden berechnet werden. Wir wollen hier nur einige wenige Möglichkeiten anführen.

Quotientenkriterium:

Häufig ist es möglich, den Radius mit dem Kehrwert des Quotientenkriteriums zu bestimmen. Dies ist eine sehr einfache Variante. Konvergenzkriterien, wie dieses eines ist, werden verwendet, um die Konvergenz einer Potenzreihe zu überprüfen.

Zur Erinnerung: Sei \sum_{n=0}^\infty {a_n \cdot (x-x_0)^n} eine Potenzreihe, so nennen wir an die Taylorkoeffizienten der Reihe. Sind ab einem bestimmten Index n alle a_n \not=0 und existiert der Grenzwert R=\lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|, so ist R \in [0;\infty[ der Konvergenzradius.

Zur Illustration sei ein Beispiel vorgerechnet:

Für die Reihe \sum_{n=1}^\infty {\frac{x^n}{n \cdot 2^n}} soll der Konvergenzradius berechnet werden. Aus dieser Reihe erhalten wir: a_n=\frac{1}{n \cdot 2^n}. Durch Anwendung des obigen Grenzwertes erhalten wir als Lösungsgang:

R=\lim_{n \to \infty} \left|\frac{\frac{1}{n \cdot 2^n}}{\frac{1}{(n+1) \cdot 2^{n+1}}}\right|=\lim_{n \to \infty}\left|\frac{(n+1) \cdot 2^{n+1}}{n \cdot 2^n}\right|=\lim_{n \to \infty}\left|2 \cdot \frac{(n+1)}{n}\right|=2 \cdot \lim_{n \to \infty}\left|\frac{(n+1)}{n}\right|=2

Nach dieser Rechnung wissen wir, dass diese Reihe im Intervall − 2 < x < 2 konvergiert. Mit dieser Methode lässt sich der Konvergenzbereich der geometrischen Reihe überprüfen, dies können Sie zur Übung selber durchführen.

Dieses Verfahren funktioniert aber nicht immer. Für diese Fälle gibt es einen Ausweg, der immer einsetzbar ist:

Wurzelkriterium:

Betrachtet wird dazu die Folge \sqrt[n]{\left|a_n\right|}. Jede Folge kann mehrere Häufungspunkte besitzen. Ein Häufungspunkt hat die Eigenschaft, dass in jeder Umgebung, egal wie klein diese auch sein mag, unendlich viele Folgeglieder liegen. Mathematisch heißt der größte dieser Häufungspunkte limes superior, abgekürzt sieht er für diese Folge so aus: \limsup_{n \to \infty} {\sqrt[n]{\left|a_n\right|}}. Ist \limsup_{n \to \infty} {\sqrt[n]{|a_n|}} \not= 0, so berechnet sich der Konvergenzradius nach der Formel von Cauchy-Hadamard: R= \frac {1}{\limsup_{n \to \infty} {\sqrt[n]{|a_n|}}}

Ist \limsup_{m \to \infty} {\sqrt[n]{|a_n|}}=0, so konvergiert die zugehörige Reihe überall, d.h. sie ist absolut konvergent. Setzt man in die Formel ein, so ergibt sich: R=\frac{1}{0}=\infty, wobei diese Division aber nicht definiert ist!

Auch hier sei ein Beispiel zur Illustration gerechnet:

Für die Reihe \sum_{n=0}^\infty (2+(-1)^n)^n x^n wird der Konvergenzradius gesucht. Aus dieser Reihe erhalten wir: a_n= \begin{cases} 3^n & \mbox{falls n gerade} \\ 1 &
\mbox{falls n ungerade} \end{cases}. Eine Anwendung der einfacheren Methode funktioniert hier nicht, weil der Quotient \frac{a_n}{a_{n+1}} abwechselnd die Werte 3n und  \frac{1}{3^n} annimmt und somit sein limes nicht existiert. \sqrt[n]{|a_n|} hat für diese Reihe die Häufungspunkte 1 und 3, wodurch laut obiger Formel R=\frac{1}{3} als gesuchter Konvergenzradius herauskommt.

Abelscher Stetigkeitssatz:

Zu den Rändern des Konvergenzbereiches liefern diese beiden Kriterien keinerlei Aussagen über das Konvergenzverhalten der Reihe, in diesen Punkten muss die Konvergenz gesondert untersucht werden. Im Falle der Konvergenz in einem Randpunkt gilt der Abelsche Stetigkeitssatz: Sei R der Konvergenzradius der Reihe f(x)=\sum_{n=0}^\infty {a_n (x-x_0)^n}. Konvergiert die Reihe im Randpunkt x0 + R bzw. x0R des Konvergenzintervalls, so gilt:

  • Die Reihe konvergiert in [x0;x0 + R] bzw. [x0R;x0] gleichmäßig und
  • f ist in diesem Intervall stetig.

Aus dem Konvergenzradius kann man folgern: Ist

  • | xx0 | < R, so konvergiert die Potenzreihe;
  • | xx0 | > R, so divergiert die Potenzreihe;
  • | xx0 | = R, so kann keine allgemeine Aussage getroffen werden;

Rechnen mit Potenzreihen

Näherungspolynom

Das Rechnen mit endlos langen Termen ist nicht möglich, daher verwendet man zum Rechnen nur die ersten Glieder als Näherungspolynome. Dies ist möglich, weil die Näherung mit zunehmendem Grad sehr rasch gegen die Funktion konvergiert. Je näher am Entwicklungspunkt die Näherung berechnet wird, desto besser stimmen Näherungswert und Funktionswert überein. Daher streben die Beiträge der Glieder mit hohen Potenzen von x rasch gegen Null, wenn | x | sehr klein ist. Natürlich wird die Näherung desto genauer und der Bereich zufriedenstellender Konvergenz desto größer, je höher der Grad des Näherungspolynoms ist. f(x)=\underbrace {a_0+a_1 x+a_2 x^2+...+a_k x^k}_{N\ddot{a}herungspolynom \ k-ten \ Grades} + \underbrace{a_{k+1}x^{k+1}}_{Restglied}+...

Um zu kennzeichnen, bei welcher Ordnung abgebrochen wurde, verwenden wir das Symbol O(xk + 1). Eine Sinusfunktion, die bis zur 7. Ordnung entwickelt wird sieht dann so aus:

\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+O(x^9)

Fehlerabschätzung – Restglied von Lagrange:

Die Abschätzung des Fehlers, der durch Vernachlässigen des Restes der Potenzreihe entsteht, ist mit dem Restglied von Lagrange möglich. \frac{f^{(k+1)}(\xi)}{(k+1)!}(x-x_0)^{k+1}\;\qquad x<\xi<x_0 \ bzw. \ x_0<\xi<x

In diesem Restglied errechnen wir die (k + 1)-te Ableitung der Funktion an der Stelle ξ, die zwischen x und x0 liegt und in diesen festgehaltenen Schranken beliebig variiert werden kann. Das Restglied ist eine Funktion von ξ. Gelingt es, die Stelle ξ des Maximalwertes der Ableitungsfunktion f(k + 1) in diesem Intervall zu finden, d.h. eine Zahl C, für die gilt: \left|f^{(k+1)}(\xi)\right| \leq C \ f\ddot{u}r \ x<\xi<x_0 \ bzw. \ x_0<\xi<x, so kann der Betrag des Fehlers nicht größer sein als: \frac{C}{(k+1)!}|x-x_0|^{k+1}.

Beispiel: Wir brechen die Reihe e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+... nach dem 3. Grad ab. Gesucht ist der entstehende Fehler für den Wert x = 0.5. f^{(4)}(x)=e^x \ \rightarrow \ \frac{e^{\xi}(0.5)^4}{4!}; die Reihe steigt im Intervall 0 < ξ < 0.5 streng monoton, somit ist an der Stelle ξ = 0.5 das lokale Maximum des Intervalls und es gilt |f^{(4)}(0.5)| \leq e^{0.5}. Für den Maximalbetrag des Fehlers gilt somit: \frac{e^{0.5}(0.5)^4}{24} \approx 0.0043. Der Fehler, der durch Abbrechen der Reihe nach dem 3. Grad an der Stelle x = 0.5 gemacht wird, beträgt maximal 0.0043. Tatsächlich beträgt der Fehler 0.0029.

Wichtige Taylorreihen mit Entwicklungsstelle x = 0:

  • Trigonometrische Funktionen:
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + ... \equiv \sum_{n=0}^\infty {(-1)^n \frac{x^2n+1}{2n+1!}}
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} +... \equiv \sum_{n=0}^\infty {(-1)^n \frac{x^2n}{2n!}}
  • Exponentialfunktion:
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + ... \equiv \sum_{n=0}^\infty {\frac{x^n}{n!}}
e^-x = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} - ... \equiv \sum_{n=0}^\infty {(-1)^n \frac{x^n}{n!}}
  • Logarithmus naturalis:
\ln{(1+x)} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} -... \equiv \sum_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}} \ ; \qquad konvergiert \ f\ddot{u}r \ -1<x \leq 1
  • Geometrische Reihe:
\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 +... \equiv \sum_{n=0}^\infty {x^n} \ ; \qquad konvergiert \ f\ddot{u}r \ |x|<1
\frac{1}{1-x^2} = 1 + x^2 + x^4 + x^6 +... \equiv \sum_{n=0}^\infty {x^2n} \ ; \qquad konvergiert \ f\ddot{u}r \ |x|<1
\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 +... \equiv \sum_{n=0}^\infty {(-1)^n x^n} \ ; \qquad konvergiert \ f\ddot{u}r \ |x|<1

Rechenoperationen mit Näherungspolynomen:

Näherungspolynome können genau wie Potenzreihen addiert, multipliziert, differenziert und integriert werden. Wir führen zwei Multiplikationen durch, dafür verwenden wir einige der obigen Reihen. Durch Kombination der obigen Angaben können viele Reihen hergeleitet werden.

1. Beispiel:

\frac{1}{(1-x)^2}=\frac{1}{1-x} \cdot \frac{1}{1-x} =(1+x+x^2+x^3+O(x^4)) \cdot (1+x+x^2+x^3+O(x^4)) =
 = 1+2x+3x^2+4x^3+O(x^4) \equiv \sum_{n=0}^\infty {(n+1)x^n} \ ; \qquad konvergiert \ f\ddot{u}r \ |x|<1
Alle Glieder ab dem 4. Grad fallen heraus, weil die Näherungspolynome nur bis zur 3. Ordnung entwickelt wurden und somit über die höherwertigen Glieder keine vollständige Informationen mehr vorliegen. Die 1. Ableitung von f(x)=\frac{1}{1-x} ist f^{(1)}(x)=\frac{1}{(1-x)^2}. Somit hätten wir das Ergebnis leichter berechnen können, indem wir die Reihe von f(x) gliedweise abgeleitet hätten, diesen Lösungsweg können Sie auf einem Stück Papier nachvollziehen.

2. Beispiel:

\frac{e}{1-x}=\left(1+x+\frac{x^2}{2}+O(x^3) \right)\cdot \left(1+x+x^2+O(x^3) \right)=1+2x+\frac{3x^2}{2}+O(x^3) \ ; \qquad konvergiert \ f\ddot{u}r \ |x|<1
Der Konvergenzbereich wird von der Reihe beigesteuert, die das kleinere Intervall hat, weil die neu konstruierte Reihe nur dort konvergieren kann, wo auch beide Reihen konvergent sind. Alle diese Rechenoperationen verändern den Konvergenzbereich der einzelnen Reihen nicht.

Quellen

Die Angabe der Quellen ist noch unvollständig.

http://www.mathe.braunling.de/Funkreih.htm
http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/Lehre/grundlagen/03Reihenentwicklung.pdf

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