LV009:LV-Uebersicht/WS07 08/Aufgabe3 Unbestimmte Formen

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Übungsaufgabe

Formulieren Sie die Regeln von de l`Hospital zur Bereichnung unbestimmter Formen 0 / 0, die bei einer Grenzwertbildung für x->0 auftreten (wie beispielsweise limcosx − 1 / sin2x)! Beweisen Sie sie für Funktionen, die eine Taylorreihe mit Mittelpunkt 0 besitzen! Geben Sie ein Beispiel!


Regel von L'Hospital: (Fragmente von Florian , vlt hat jemand zeit etwas zu Formatieren) (Formatiert von Stefan, unterste Formel wird noch formatiert) (fertig formatiert von Stephanie)

\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}\,=\,\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}

Die Regel von L'Hospital gibt Auskunft über die Grenzwerte unbestimmter Limiten. Als unbestimmt gelten diese sobald

\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}\,= \frac{0}{0}

oder

\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}\,= \frac{\infty}{\infty}

gilt.

Nur wenn diese Formen vorliegen kann L'Hospital angewendet werden! Im prinzip macht man nichts anderes als die Steigungen der Funktionen zu vergleichen, man stellt fest welche Funktion überwiegt beziehungsweise ob ein Verhältnis zwischen den Steigungen der Funktionen besteht (deshalb muss auch eine Taylorentwicklung möglich sein!).

Als triviales Beispiel: f(x)=x ; g(x)=2x

\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x}{2x}\,= \frac{0}{0} => Regel ist anwendbar
\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x}{2x}\,= \frac{1}{2} => unabhängig von x beträgt der Grenzwert an jedem Punkt wie erwartet 1 / 2.

Etwas schwieriger gestaltet sich dann folgendes Beispiel:

 \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos(x)-1} {\sin^2(x)}

hier kommt man durch einsetzen wieder auf die unbestimmte Form 0 / 0

Werden nun beide Funktionen wieder abgeleitet, erhält man


\ f(x)=\cos(x)-1 => \ f'(x)= -sin(x)

\ g(x)=\sin^2(x) => \ g'(x)= 2 sin(x) cos (x)

und somit:

\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}\,= \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos(x)-1} {\sin^2(x)} =\,\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\, = \frac{-sin(x)}{2sin(x)cos(x)} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{-1}{2 cos(x)} = \frac{-1}{2}


// für weitere infos oder beifügungen siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_L%E2%80%99Hospital

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