LV009:LV-Uebersicht/WS07 08/Aufgabe5 Gradient

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Inhaltsverzeichnis

GRADIENT

AUFGABE

Denken Sie sich Möglichkeiten aus, um den Zusammenhang zwischen einer Funktion in zwei Variablen und ihrem Gradienten grafisch zu visualisieren. Wenden Sie sie auf einige Beispiele an!



Beispiel 1 : Höhenlinien und Gradient

Unsere Funktion f(x1,x2) = sin(x1) sin(x2) ordnet zwei X-Werten einen Y-Wert zu. Der Graph der Funktion würde in etwa so aussehen:

Bild:Gradient01a.png


Wir können also hier (siehe oben), mit genügend Phantasie und reichlich Vorstellungsvermögen, in etwa einen Hügel sehen. Und wenn wir das Bedürfnis hätten, aus dem uns gegebenen Anlass, eine Karte von unserem „Hügel“ zeichnen zu mögen, dann würden wir wie bei Landkarten auf sogenannte Höhenlinien zurückgreifen um die Bereiche mit gleicher Höhe auf unserer zweidimensionalen Karte darzustellen. In der Mathematik nennt man diese Höhenlinien Niveaulinien. Zu dieser erwähnten Niveaulinie gehören alle Punkte, denen der gleiche Y – Wert zugeordnet wird.

Formelle Darstellung: Für alle unserer Punkte (x1,x2) auf einer Niveaulinie gilt: f(x1,x2) = c (c ist eine beliebige reelle Zahl). In der folgenden Abbildung (siehe unten) sind die Stellen des Graphen rot gekennzeichnet, welche die Y – Werte y1, y2 oder y3 haben.


Bild:Gradient02.png


Bild:Gradient03.png


Oben (siehe oben) soll bitte die Steigung im Punkt P betrachtet werden. Mit dem roten Steigungsdreieck wird die Steigung entlang der x2 – und mit dem blauen entlang der x1 – Achse veranschaulicht. Man erkennt nun (natürlich mit ein wenig dreidimensionalem Vorstellungsvermögen), dass die Steigung entlang der x1 – Achse etwa doppelt so groß ist wie entlang der x2 – Achse.

In vektorieller Schreibweise:

Bild:Gradient04.png


In graphischer Darstellung: Der Gradient ist in der Grafik grün dargestellt:


Bild:Gradient05.png


Hier können Sie den Link aufsuchen, falls sie das Thema durch unseren Beitrag begeistert hat und sie unbedingt mehr informiert werden möchten über die Welt der Gradienten: http://www.antigauss.de/funktionen_mit_mehreren_variablen.pdf

Beispiel 2 : Diffusion

Am Anfang befinden sich beide Teilchen in der Ausgangslage in der oberen Hälfte. Es liegt ein Konzentrationsgefälle zwischen der oberen und unteren Hälfte vor. Man bezeichnet sie häufig auch als den Konzentrationsgradienten (siehe Abb. unten).


Bild:Gradient06.png


Am Ende der Diffusion befinden sich die Teilchen im gesamten untersuchten Raum, sodass Gefälle bzw. Gradient durch die gleichmäßige Verteilung der Teilchen aufgehoben wurden.


Bild:Gradient07.png


Auch hier können Sie den Link aufsuchen, falls sie das Thema durch unsern Beitrag begeistert hat: http://www.schule.bremen.de/places/p0208/teamerg./Biochemical/Diffusion%20und%20Osmose.htm

Beispiel 3 : Die Geometrische Interpretation

Der Gradient stellt geometrisch betrachtet einen Vektor dar, der in Richtung des steilsten Anstieges des Skalarfeldes weist. Deswegen entspricht der Betrag des Vektors der Stärke des Anstieges. Entspricht der Gradient dem Nullvektor, so befindet man sich an einem Extrempunkt, also einem Minimum, einem Maximum oder einem Sattelpunkt. Mittels dieses Vektors lässt sich auch der Anstieg in jeder beliebigen Richtung ermitteln. Dazu bildet man die jeweilige Richtungsableitung. Umgangssprachlich werden die Begriffe Gradient und Steigung oft synonym gebraucht. (- Der Begriff des Gradienten wird oft auch fälschlich für eine Ableitung nach der Zeit verwendet. -)


Bild:Gradient08.png

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