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Integrale in der Physik

Aufgabe:
Auf dieser Seite sollen einige Anwendungen der Integralrechnung in der Physik dargestellt und erklärt werden.

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

Die Integralrechnung, die aus Überlegungen zur Berechnung von Flächeninhalten krummlinig begrenzter Flächenstücke heraus entstanden ist, findet heute in praktisch allen Bereichen der Physik und auch anderen Wissenschaften vielseitige Anwendung.
Der Integralbegriff wurde im Laufe der Geschichte immer wieder verbessert und verallgemeinert. Erstmals entwickelte 1823 Augustin Louis Cauchy einen Integralbegriff, der den heutigen Ansprüchen an Stringenz genügt. Später entstanden die Begriffe des Riemann-Integrals und des Lebesgue-Integrals. Schließlich folgte die Entwicklung der Maßtheorie Anfang des 20. Jahrhunderts.
Neben dieser Verallgemeinerung des Integralbegriffs, tragen auch die leistungsstarken Methoden der nummerischen Lösung von analytisch oft nicht lösbaren Integralen mittels computergestützter Verfahren, zur mannigfaltigen praktischen Anwendbarkeit der Integralrechnung bei.
Im Folgenden sollen ein paar Anwendungen der verschiedenen Integraltypen vorgestellt werden.

Einfache Integrale

Differentialgleichungen


Oftmals kann man durch Integration von Differentialgleichungen Aussagen über das Verhalten der (implizit/integriert) beschriebenen physikalischen Größen treffen.
Ein sehr anschauliches Beispiel dafür stellt die Bewegungsgleichung der gleichförmigen Beschleunigung dar.

\ddot{r}\left(t \right) = \tfrac{F}{m} = a

durch Integration:

\dot{r}\left(t \right) = v\left(t \right) = at + {v}_{0}

erneute Integration:

r\left(t \right) = \tfrac{a{t}^{2}}{2} + {v}_{0}t + {r}_{0}


So kann man Aussagen über die Geschwindigkeit und den Ort aus der Bewegungsgleichung gewinnen; zugleich werden die bei der unbestimmten Integration auftretenden Integrationskonstanten als Anfangsbedingungen berücksichtigt

Fehlerrechnung

Eine normalverteilte Größe x hat die Wahrscheinlichkeit p\left(x \right)dx , einen Wert aus dem Intervall \left(x, x+dx \right) zu ergeben wobei

p\left(x \right)=\tfrac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }exp(\tfrac{({x-\bar{x}})^{2}}{{2\sigma }^{2}})

Der Vorfaktor\tfrac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }ergibt sich aus der Forderung

\int_{-\infty}^{\infty}p\left(x \right)dx = 1
da die Größe x ja irgendeinen Wert haben muss.

Demgemäß kann der Mittelwert \bar{x} definiert werden als
\int_{}^{}x p\left(x \right)dx= \bar{x}
sowie die Varianz σ2 als
\int_{}^{}({x-\bar{x}})^{2}p\left(x \right)dx = {\sigma }^{2}

Fourieranalyse

J.B. Fourier zeigte 1822 in seiner "Théorie analytique de la chaleur" (auf deutsch in etwa: Analytische Theorie der Wärme), dass sich ein beliebiger Vorgang\xi \left(t \right) aus harmonischen Schwingungen aufbauen lässt. Die erste, die Grundschwingung, hat die Frequenz \nu = \tfrac{1}{T}, die anderen, die Oberschwingungen, haben ganzzahlige Vielfache davon ( ν2 = 2ν,ν3 = 3ν,ν4 = 4ν,...usw). Die Amplituden und Phasen der m-ten Oberschwingung ergeben sich für periodische Vorgänge aus

 \tilde{\xi} = \tfrac{1}{T}\int_{0}^{T}\xi \left(t \right){e}^{-im\omega t}dt
wobei mit dem komplexen\tilde{\xi } = \xi {e}^{i{\varphi }_{m}} auch die Phase der Komponente m enthalten ist.

Diese Amplituden bzw. Phasen lassen sich nun gegen die Frequenz aufgetragen und in einem sogenannten Spektrum darstellen.

Beim unperiodischen Vorgang verringert sich der Abstand der Oberfrequenzen auf null, da die "Perioden"dauer T unendlich wird und es ergibt sich für die Amplitude

F\left(\omega  \right) = \tfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f\left( t\right){e}^{-i\omega t}dt
wobei f\left( t\right) seinerseits ein sogenanntes Fourier Integral über eine stetige Amplitudenfunktion darstellt
f\left(t \right) = \tfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty}F\left( \omega\right){e}^{i\omega t}d\omega


Die Anwendungen der Fourieranalyse bzw. -synthese sind sehr vielfältig. Hier nur einige Beispiele:

Fourieranalyse bzw. -synthese kann zur Kodierung und Dekodierung von Signalen auf Frequenzebene eingesetzt werden. Kompressionsalgorithmen wie der des MP3-Formats basieren darauf (bzw. auf der verwandten diskreten Kosinustransformation). Ein weiteres wichtiges Anwendungsbeispiel ist die Breitbanddatenübertragung per OFDM, die Grundlage für ADSL und WLAN (Internet), DVB-T (Fernsehen), DRM und DAB (Radio) ist.
Weiters:
Methode der Signalanalyse

Schwingungsmesstechnik - Umrechnung Zeit in Frequenzendarstellung

Akustik (Audiomessungen) - Berechnung von Spektrogrammen (Diagramme mit der Darstellung der Amplituden von den jeweiligen Frequenzanteilen)

Längswellenempfang mit dem PC

Teil schneller, Polynome verarbeitender Algorithmen (z. B. Polynommultiplikation in O(nlogn)) in der Computeralgebra.

Zur Reduzierung des Berechnungsaufwandes bei der zirkularen Faltung im Zeitbereich von FIR-Filtern und Ersatz durch die schnelle Fouriertransformation mit einfachen Multiplikationen im Frequenzbereich.

Volumsintegrale

Trägheitsmoment

Das Trägheitsmoment J eines Körpers ist ein Maß für seinen Widerstand gegen die Änderung seines Drehbewegungszustandes. J ist immer auf eine bestimmte Drehachse bezogen und hängt von der Lage dieser Achse im Körper ab.


J = \int_{V}^{} {r}^{2} dm = \int_{V}^{}{r}^{2}\varrho \,dV

Der Radius geht hier quadratisch ein. Deshalb wird das Balancieren eines Stabes umso einfacher je länger er ist, also je weiter der Hauptteil der Masse von der Hand entfernt ist. Dagegen ist das Drehmoment welches eine Destabilisierung bewirkt nur linear vom Radius abhängig. Bsp. Teller auf einem Stab balancieren.

Gesamtmasse eines ausgedehnten starren Körpers

Da im allgemeinen die Form eines Körpers unregelmäßig und seine Dichte ungleichmäßig ist, ist es für die Berechnung der Gesamtmasse notwendig über alle infinitesimal kleinen Volumselemente dV multipliziert mit der jeweiligen Dichte \rho \left(r \right) aufzusummieren. Die Masse ist daher definiert als:

V=\sum \Delta {V}_{i}, \;  M=\sum \Delta {M}_{i}

Mit der Massendichte ρ des Volumselements: \rho =\frac{\Delta M}{\Delta V}

folgt die Gesamtmasse M=\sum {\rho }_{i}\, \Delta {V}_{i}.


V=\lim_{\Delta {V}_{i}\rightarrow 0}\sum \Delta {V}_{i}=\int_{V}^{}dV

M=\int\!\!\!\! \int \!\!\!\!\int \rho dV

Ein ausgedehnter starrer Körper ist durch eine Massenverteilung charakterisiert, die sich über sein Volumen erstreckt. Für die Beschreibung der Bewegung dieses Körpers im Raum (Translation) im Sinne eines Massenpunktes lässt sich diese Masse auf den Schwerpunkt zurückführen.

Massenschwerpunkt

Der Massenschwerpunkt ist definiert als die Aufsummierung der vorhin erwähnten Volumselemente mal der jeweiligen Dichte mal dem Ortsvektor. Das Ganze wird dividiert durch die Gesamtmasse.

\vec{{r}_{s}} =\frac{\sum \vec{{r}_{i}}\Delta {m}_{i}}{\sum \Delta {m}_{i}} = \frac{1}{M}\sum \vec{{r}_{i}}\, \rho({r}_{i}) \, \Delta {V}_{i}.

Mit \Delta V \rightarrow 0



\vec{{r}_{s}} =\tfrac{1}{M} \int \!\!\!\!\int \!\!\!\!\int \vec{r} \rho \left(r \right)dV

Für den homogenen Körper kann man ρ, das hier ja überall konstant ist, vor die Integration ziehen und man erhält durch Einsetzen der Gesamtmasse

\vec{{r}_{s}} =\frac{\rho \int\!\! \int\!\! \int \vec{r}dV}{\rho \int \!\! \int \!\! \int dV}=  \frac{\int\!\! \int \!\!\int \vec{r}dV}{V}

Gauß'scher Integralsatz

\int_{G}^{} div \vec{v} \, ({d}^{3}x)= \oint_{\partial G}^{}d\tilde{A}\, \vec{v}

Das Volumsintegral der Divergenz eines Vektorfeldes über ein Gebiet ist gleich dem Oberflächenintegral des Vektorfeldes über den Rand des Gebietes.

Der Integralsatz von Gauß ist die Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Integral- und Differentialrechnung: Integration über ein Gebiet im Rn wird zurückgeführt auf Integration über den Rand des Gebietes.


Anwendung


\rm{div} \vec{E} = \rho

Die Ladungsdichte roh ist die Quelle des elektrischen Feldes.

\int_{V}^{}div\, \vec{E}\, dV=\oint_{\partial V}^{}\vec{E}\, d\vec{A}=\int_{V}^{}\rho \, d\vec{V}



Der elektrische Fluss durch die geschlossene Oberfläche eines Volumens ist gleich der elektrischen Ladung in seinem Inneren.


div \vec{B}= 0

Das Magnetfeld ist quellenfrei, es gibt keine magnetischen Monopole.


\int_{V}^{}div\vec{B}\, d\vec{V}= \int_{\partial V}^{}\vec{B}\, d\vec{A}

Der magnetische Fluss durch die geschlossene Oberfläche eines Volumens ist gleich der magnetischen Ladung in seinem Inneren.

Oberflächenintegrale

Wärmeleitung

Wenn durch eine Fläche A in der Zeit dt die Wärmeenergie dE tritt, dann ist der Wärmestrom P (der im Allgemeinen von Ort zu Ort verschieden stark sein kann) über ein Oberflächenintegral definiert

P = \int\!\!\!\!\int \vec{j}d\vec{A}
Der Wärmestromdichtevektor  \vec{j} ist proportional zum Temperaturgefälle und folgt seiner Richtung
\vec{j} = -\lambda \rm{grad}T
wobei λ eine Stoffkonstante, die Wärmeleitfähigkeit, darstellt.

Elektrischer Fluss

Der elektrische Fluss φ durch eine Fläche A hängt von der elektrischen Feldstärke E ab. Für konstante elektrische Felder ergibt sich

\phi = \vec E \vec{A}

Im Allgemeinen kann man jedoch nicht immer von konstanten Feldstärken ausgehen und definiert den elektrischen Fluss daher allgemein als

\phi = \int\!\!\!\!\int \vec E d\vec{A}

Elektrischer Strom

In Leitern komplizierter Gestalt und in Fällen wo die elektrischen Eigenschaften von Ort zu Ort verschieden sind muss zur Beschreibung des fließenden elektrischen Stromes der Stromdichtevektor \vec{j} eingeführt werden. Er gibt die Richtung des Ladungstransportes an und man erhält dann für den Strom

I = \int\!\!\!\!\int \vec j d\vec{A}
Der Stromdichtevektor ist wiederum:
\vec{j} = \sigma \vec{E}
mit σ als der Ladungsdichte und \vec{E} als dem elektrischen Feld

Linienintegrale

Arbeit in einem Kraftfeld

Ein Linienintegral, das einem im Laufe des Physikstudiums wohl sehr früh begegnet, ist die Arbeit in einem Kraftfeld. Genauer gesagt bewegt sich ein Massenpunkt entlang einer Bahnkurve unter dem Einfluss einer Kraft \vec{F} von P1 nach P2.


W=\int_{{P}_{1}}^{{P}_{2}}d\vec{x}\cdot \vec{F}


Da angenommen wird, dass die Kraft nicht überall konstant ist, wird die Kurve in kleine Stücke unterteilt und so das Kurvenintegral berechnet. Wichtig dabei ist, dass nur die Kraftkomponente in Wegrichtung eine Rolle spielt. z.B. wirkt auf einen Körper, der sich auf einer waagrechten Ebene bewegt, die Schwerkraft. Allerdings wird keine Arbeit verrichtet, da die Kraft normal zur Wegrichtung steht.
Im Unterschied dazu hängt die geleistete Arbeit in einem konservativen Kraftfeld nur vom Anfangs- und Endpunkt ab, nicht aber vom zurückgelegten Weg.

Elektrische Spannung

Für das elektrische Feld gilt die oben beschriebene Definition der Arbeit genauso. Die Kraft wird hier beschrieben als F = QE. Wobei Q die Ladung ist und E das elektrische Feld. Da in diesem Fall von der Kraft Arbeit geleistet wird kommt es zu einem Minuszeichen.


W = -\int_{{r}_{1}}^{{r}_{2}}\vec{F}.d\vec{r}


Wenn für die Kraft EQ eingesetzt wird kann man Q vor das Integral ziehen und es ergibt sich dann für die Arbeit:

W=-Q\int_{{r}_{1}}^{{r}_{2}}\vec{E}\cdot d\vec{x}


Daraus ergibt sich dann die Spannung zwischen den Punkten r1 und r2:

U=-\int_{{r}_{1}}^{{r}_{2}}\vec{E}\cdot d\vec{x}

Quellen

Meschede, D. (231956): Gerthsen Physik. Berlin Heidelberg: Springer.Verlag

http://de.wikipedia.org/wiki/Schnelle_Fourier-Transformation

xxxText

Stichworte:

  • Computertomografie (Fouriertransfornmation)
  • Volumsintegrale zur Dichte/Ladungsdichtebestimmung
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