LV009:LV-Uebersicht/WS10 11/Arbeitsbereiche/Differenzieren

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Inhaltsverzeichnis

Differenzieren

Sarah Langer, Simon Lidauer, Ines Mikulka

Aufgabe: Sie wollen in Ihrem Physikunterricht in einer Klasse der 11. Schulstufe die Ableitung verwenden. Ihre SchülerInnen haben sie zwar im Mathematikunterricht kennen gelernt, können sich aber darunter nichts vorstellen. Sie wissen lediglich, „dass xn zu n xn-1 wird“. Sie opfern eine halbe Stunde, um es ihnen nahezubringen. Skizzieren Sie, wie Sie dabei vorgehen!
Gestalten Sie Ihren Text so, dass Ihre SemesterkollegInnen davon profitieren können!


Einleitung

Wie im Physikstudium ist auch im Physikunterricht die Newton'sche Mechanik die Grundlage für aufbauende Themengebiete. Dabei spielen bewegte Objekte (Dynamik) und ihr Geschwindigkeiten eine wichtige Rolle. Um Geschwindigkeiten darzustellen werden Zeit-Weg-Diagramme benutzt, wie etwa das Folgende:

(Abb. 1)


Auf der x-Achse wird die Zeit aufgetragen, auf der y-Achse der zurückgelegte Weg. Der Weg wird also als Funktion der Zeit dargestellt. Die Geschwindigkeit ist nicht mit dem resultierenden Graphen gleichzusetzen, sondern mit dessen Steigung. Wenn wir in die allgemeine Form einer linearen Gleichung y = kx + d einsetzen, so erhalten wir s = vt + s0. Wenn wir nun annehmen, dass das bewegte Objekt zur Zeit t = 0 am Ort s = 0 ist, so verschwindet der Ausdruck s0 aus unserer Gleichung. Übrig bleibt s = vt, was klar erkennbar nur eine Umformung der Formel für die Geschwindigkeit v=\frac{s}{t} ist.

Steigung von linearen Funktionen

Was ist nun die Steigung einer Funktion?

"Die Steigung einer Funktion gibt an, wie steil sie ist, also wieviel Einheiten sie nach oben geht, wenn man eine Einheit nach rechts geht."[1]

Bei linearen Funktionen ist die Bestimmung der Steigung sehr einfach. Man benutzt dazu das so genannte Steigungsdreieck.

Steigungsdreieck an einer Geraden

(Abb. 2)


Wenn man eine Einheit nach rechts geht (Δx), steigt die Funktion um zwei Einheiten (Δy) an. Die Steigung (meist mit dem Buchtaben k bezeichnet) hat daher den Wert 2. Formal drückt man die Steigung als Quotienten aus:
k=\frac{\Delta y}{\Delta x}

Steigung von anderen Funktionen


Im Unterricht wird man nicht bei gleichförmig geradlinigen Bewegungen bleiben. Bei gleichmäßig beschleunigten Bewegungen erhält man im s-t-Diagramm keine Gerade mehr, sondern einen Graphen anderer Art; wie zum Beispiel in der Abbildung unten, wo sich der Graph der Bewegung als positiver Ast einer quadratischen Funktion darstellt.

(Abb. 3)



Die Steigung ändert sich von Punkt zu Punkt. Das Steigungdreieck muss also an die Tangente angelegt werden. Die Steigung der Tangente gibt und die Momentangeschwindigkeit im entsprechenden Punkt an. Wie findet man nun eine Tangente an einen beliebigen Punkt einer beliebigen Funktion? Das soll im weiteren Verlauf geklärt werden.

Einfacher als eine Tangente an den Graphen zu finden ist das Aufstellen einer Sekante.


(Abb. 4)

Die Sekante schneidet den Graphen an zwei Punkten. Die Steigung der Sekante gibt daher nur die mittlere Steigung des Graphen zwischen den zwei Punkten an. Im s-t-Diagramm wäre die Steigung der Sekante die mittlere Geschwindigkeit.

In Abbildung 5 ist in blau der Graph der Funktion zu sehen. Rötlich gefärbt ist eine beliebig gewählte Sekante. Eine weitere Sekante (gelblich) hat einen Schnittpunkt mit dem Graphen an der Stelle der Tangente (grün). Der zweite Schnittpunkt liegt im Vergleich mit der rötlichen Sekante näher bei der Tangente. In der Graphik ist auch zu erkennen, dass die Steigung der Sekante, deren zweiter Schnittpunkt näher beim Schnittpunkt der Tangente liegt, sich der Steigung selbiger auch mehr annähert.

(Abb. 5)


Nähern wir also den zweiten Schnittpunkt einer Sekante immer näher an den ersten heran (also den Punkt, in dem wir die Tangente anlegen wollen), so werden die beiden Schnittpunkte in einem zusammenfallen - dem Tangentenschnittpunkt.

Der Grenzwert des Differenzenquotienten


Wenn wir nun die Sekante immer mehr der Tangente annähern, so wird das Steigungsdreieick der Sekante immer kleiner bis es gegen Null konvergiert. Genauer gesagt wird das Δx immer kleiner (wodurch auch das Δy schrumpft), bis es im Grenzwert gegen Null geht. Benötigt wird also der Grenzwert des Differenzenquotienten:


\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}


(Abb. 6)


In Abbildung 6 ist schon ersichtlich, wie wir Δy durch f\left(x \right) ausdrücken können:


\Delta y=f\left(x+\Delta x \right)-f\left(x \right)

Durch einsetzen Erhalten wir zur Bildung des Grenzwertes also:

\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\left(x+\Delta x \right)-f\left(x \right)}{\Delta x}


Ein Beispiel


Wir wollen nun die Steigung für die Funtion f\left(x \right)={x}^{2} bestimmen. Für f\left(x+\Delta x \right) ergibt sich:

f\left(x+\Delta x \right)={\left(x+\Delta x \right)}^{2}={x}^{2}+2x\Delta x+{\Delta x}^{2}


Wir setzen also in der Differenzenquotient ein:

\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\left(x+\Delta x \right)-f\left(x \right)}{\Delta x}


=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{{x}^{2}+2x\Delta x+\Delta {x}^{2}-{x}^{2}}{\Delta x}


Wir vereinfachen so weit wie möglich.

=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{2x\Delta x+{\Delta x}^{2}}{\Delta x}


Im Zähler können wir nun Δx herausheben und mit dem Nenner kürzen. Das ist erlaubt, weil Δx sich Nill zwar annähert, aber eben nicht Null ist. Wir erhalten:

=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\left(2x+\Delta x \right)=2x


Die Steigung der Funktion f\left(x \right)={x}^{2} hat an der Stelle x den Wert 2x. x Kann jeden beliebigen Wert annehmen, das heißt dieser Zusammenhang gilt für die ganze Funktion. Die Steigung einer Funktion nennt man auch Ableitung und bezeichnet sie gerne mit f'\left(x \right).

Vom Differenzenquotient zum Differentialquotient


Für die Ableitung gibt es noch eine andere Bezeichnung. Bei der Bildung des Grenzwertes gehen sowohl Δx als auch Δy gegen Null. Solche unendlich kleinen Abschnitte bezeichnet man oft mit dx und dy. Daher können wir schreiben:

\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{dy}{dx}=\frac{df}{dx}=f'\left(x \right)


dx und dy nennt man auch Differentiale. Daher bezeichnet man den Quotienten \frac{dy}{dx} auch als Differentialquotient. Mit diesem berechnet man die Änderung der Funktion. Wenn diese Änderung mit der Zeit geschieht (wie etwa bei einer beschleunigten Bewegung) so bezeichnet man den Differentialquotient auch gerne mit \frac{dy}{dt}=\dot{y}.

Ableitungsregeln


Konstante Funktion

\left(a\right)' = 0

Faktorregel

(a\cdot f)' = a\cdot f'

Summenregel

\left(g \pm h\right)' = g' \pm h'

Produktregel

(g\cdot h)' = g' \cdot h + g \cdot h'

Quotientenregel

\left(\frac{g}{h}\right)' = \frac{g' \cdot h - g \cdot h'}{h^2}

Reziprokenregel

\left(\frac{1}{h}\right)' = \frac{-h'}{h^2}

Potenzregel

\left(x^n\right)' = n x^{n-1}

Kettenregel

(g \circ h)'(x) = (g(h(x)))' = g'(h(x))\cdot h'(x)


Ableitungstabelle

Funktion Ableitung

\begin{matrix}
x^{n}
\end{matrix}

\begin{matrix}
nx^{n-1}
\end{matrix}

\begin{matrix}
x
\end{matrix}

\begin{matrix}
1
\end{matrix}

\begin{matrix}
sin x
\end{matrix}

\begin{matrix}
cos x
\end{matrix}

\begin{matrix}
cos x
\end{matrix}

\begin{matrix}
-sin x
\end{matrix}

\begin{matrix}
sinh x
\end{matrix}

\begin{matrix}
cosh x
\end{matrix}

\begin{matrix}
cosh x
\end{matrix}

\begin{matrix}
sinh x
\end{matrix}

\begin{matrix}
ln x
\end{matrix}
 \frac{1}{x}

\begin{matrix}
arcsin x
\end{matrix}

\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

\begin{matrix}
arccos x
\end{matrix}

-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

\begin{matrix}
arctan x
\end{matrix}
 \frac{1}{1+x^{2}}

\begin{matrix}
a
\end{matrix}

\begin{matrix}
0
\end{matrix}

\begin{matrix}
ax
\end{matrix}

\begin{matrix}
a
\end{matrix}

\begin{matrix}
e^{x}
\end{matrix}

\begin{matrix}
e^{x}
\end{matrix}

\begin{matrix}
a^{x}
\end{matrix}

\begin{matrix}
(lna)a^{x}
\end{matrix}

Einzelnachweise

  1. Dörsam, Peter: Oberstufenmathematik leicht gemacht. Band 1: Differential- und Integralrechnung. 6. überarbeitete Auflage, Heidenau: PD-Verlag 2008. S. 58.
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