LV010:LV-Uebersicht/SS07/Aufgabe2

Aus Wiki der Fakultät für Physik Universität Wien

Wechseln zu: Navigation, Suche

Diese Seite befindet sich im Namensraum der LV: Mathematische Grundlagen für das Physikstudium 3

► Lehrveranstaltung


Inhaltsverzeichnis

Komplexe Zahlen

Jede komplexe Zahl kann in der Form x + iy geschrieben werden, wobei x und y reele Zahlen sind und i die imaginäre Einheit: i2 = − 1.

Mit komplexen Zahlen können alle vier Grundrechnungsarten durchgeführt werden, man rechnet wie mit reelen Zahlen.

Polardarstellung komplexer Zahlen:

Real - und Imaginärkomponente einer komplexen Zahl lassen sich in ein kartesisches Koordinatensystem übertragen. Dementsprechend wird sie charakterisiert durch den Betrag r und ihr Argument \varphi.

Somit kann jede komplexe Zahl in der Form  z = x + i \cdot y = r \cdot (\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi) angeschrieben werden.

Es gilt: |z|=r.

Taylorreihen

Taylorreihe mit Mittelpunkt Null:

 f(x)= \frac {f(0)}{0!} + \frac {f'(0)}{1!} + \frac {f''(0)}{2!} + \frac {f'''(0)}{3!} + ... \equiv \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n , wobei f(n)(0) die n-te Ableitung der Funktion an der Stelle 0 darstellt.

Taylorreihe mit beliebigem Mittelpunkt:

 f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n , mit x0 der Mittelpunkt, um den die Taylorreihe entwickelt wird.

wichtige Taylorreihen:

\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^2}{2!} - ...

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \frac{x^9}{9!} - ...

e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...

e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + ...

 \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 +...

 \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 +...

 \frac{1}{1-u^2} = 1 + u^2 + u^4 + u^6 +...

Komplexe Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion:

Die reele Exponentialfunktion ordnet jeder reelen Zahl x die reele Potenz ex zu. Dabei gilt:

e^{x_1} \cdot e^{x_2} = e^{x_1+x_2}

e^{x+i \cdot y} = e^x \cdot e^{i \cdot y}

Die Euler'sche Formel:

 e^{ix} = \cos x + i \cdot \sin x

Exponentialfunktion und Polardarstellung:

 z = x + iy = r \cdot (\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi = r \cdot e^{i \varphi}

Jede komplexe Zahl kann als Exponentialfunktion dargestellt werden.

Rechenregeln für Exponentialfunktionen:

Komplexe Multiplikation:

 z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 \cdot e^{i \varphi_1} e^{i \varphi} = r_1 r_2 \cdot e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}

Komplexe Division:

 \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1 e^{i \varphi_1}}{r_2 e^{i \varphi}} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\varphi_1-\varphi_2)}

Potenzieren:

 z^n = r^n \cdot e^{in\varphi}

Wurzelziehen:

 \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \cdot e^{i\frac{\varphi}{n}}

Lineare Differentialgleichungen mit konstantem Koeffizienten

Lösen einer homogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung:

Exponentialansatz:

y(x)=1 \cdot e ^{rx}

y'(x)=r \cdot e ^{rx}

y''(x)=r^2 \cdot e ^{rx}

Die durch Einsetzen entstehende Gleichung nennt man Charakteristische Gleichung.

Allgemeine Lösung:

y(x)=C_1 \cdot y_1(x) + C_2 \cdot y_2(x)

Ist die allgemeine Lösung komplex, so kann sie mit Hilfe der Euler’schen Formel reell gemacht werden.

Hat die charakteristische Gleichung nur eine Lösung, so benutzt man folgenden Lösungsansatz:

y(x)=c_1 \cdot e^{rx} + c_2 \cdot x \cdot e^{rx}

Lösen einer inhomogenen Differentialgleichung:

Die Lösung einer solchen Gleichung besteht aus einer speziellen inhomogenen Lösung und einer allgemeinen Lösung.

Differentialgleichungen erster Ordnung:

Allgemeiner Lösungsansatz:

y(x)= c \cdot e^{-ax}

Man muss c berechnen und in die Lösung einsetzen.

Differentialgleichungen zweiter Ordnung:

Man errechnet die benötigten Ableitungen und durch deren Betrachtung an bestimmten Stellen werden die Werte der Koeffizienten ermittelt und wieder in die Lösung eingesetzt.

Fehlerrechnung

Mittelwert:

 \overline{x}=\frac{1}{n}\cdot(x_1+x_2+x_3+...)\equiv\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n x_j

Varianz:

 s^2=\frac{1}{n}((x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+...+(x_n-\overline{x})^2)\equiv\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n (x_j-\overline{x})^2

Standartabweichung:

Zieht man aus der Varianz die Wurzel, so erhält man die Standartabweichung.

Gauß’sches Fehlerfortpflanzungsgesetz:

Parser-Fehler (die PNG-Konvertierung schlug fehl): \sigma_{\overline{f}} \approx \sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}^2\sigma_\overline{x}^2 + \frac{\partial f}{\partial y}^2\sigma_\overline{y}^2 \right)+...}


Funktionen in mehreren Variablen

Begriffe:

f(u,v,w) = ... ... Variablendefinition; Funktion in 3 Variablen

f(u,v,w) ... Bezeichnung des Funktionswerts;

f ... Name der Funktion

u,v,w ... unabhängige Variablen;

f ... abhängige Variable;

Werden anstelle der unabhängigen Variablen konkrete Zahlenwerte eingesetzt, so spricht man von:

(u,v,w) ... Argument / Stelle

f ... Funktionswert (an der Stelle ... )

Graph:

Der Graph der Funktion kann helfen, das Verhalten der Funktion besser zu interpretieren.

Eine Funktion in 2 Variablen kann in \mathbb{R}^3 dargestellt werden, wobei die unabhängigen Variablen als x- und y- und der Funktionswert als z-Koordinate aufgetragen werden. Die Variablen, vor allem der Funktionswert, werden nur zur Darstellung mit Raumkoordinaten assoziiert, in Wirklichkeit repräsentieren sie jedoch oft andere physikalische Größen.

Beispiel: f(u,v)=u^2+v^2; D=(u,v) \in \mathbb{R}^2

Graph: (u,v,f(u,v)) \rightarrow (x,y,z), somit eigentlich: f(x,y) = x2 + y2

Ermittlung des Graphen über Rückführen der Funktion auf eine Funktion in einer Variable:

z.B.: v=0 \rightarrow  f(u)=u^2+0^2

v=1 \rightarrow f(u)=u^2+1^2

allg: v=c \rightarrow f(u)=u^2+c^2

oder: r=\sqrt{x^2+y^2} \rightarrow r=\sqrt{u^2+v^2} \rightarrow f(r)=r^2

r entspricht dem Abstand das Punktes (x,y) von der z-Achse; dies ist ein Indiz für eine Radialsymmetrie des Graphen. Wird die Funktion mit einer beliebigen vertikalen Ebene geschnitten, so ergibt die Schnittmenge eine Parabel.

Ergebnis: f(x,y) = x2 + y2 ....Rotations-Paraboloid um die z-Achse.

Niveaulinien:

Mithilfe der Niveaulinien kann der Graph von f(x,y) in mathbbR2 anstatt mathbbR3 dargestellt werden.

f(x,y) .... Funktion in 2 Variablen

c .... Konstante

Eine Niveaulinie ist die Menge aller Punkte (x,y) für die f(x,y) = c gilt.

Geometrische Deutung: Es wird der Funktionsgraph mit einer horizontalen Ebene z=c geschnitten und die Schnittmenge vertikal auf die xy-Ebene projiziert.

Analyse: Dazu ist eine Fallunterscheidung notwendig:

Beispiel: f(x,y) = x2 + y2 = c

Für:

c > 0: Niveaulinien sind Kreise mit dem Mittelpunkt (0,0) und r=\sqrt{c}

c = 0: Ursprung

c < 0: keine Lösung, weil für alle (x,y) gilt: f(x,y)\ge 0

Niveauflächen:

Niveauflächen stellen ein Analogon zu den Niveaulinien dar, gelten aber für Funktionen in 3 Variablen: f(x,y,z) = c; der Graph (x,y,z,f(x,y,z)) ist eine Teilmenge des \mathbb{R}^4.

Physikalische Bedeutung: Äquipotentialflächen in Feldern.

Differenzieren:

Partielle Ableitung:

z.B.:f(x,y) = x2 + 5xy + y3

Partielle Ableitung nach x: \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = \partial_x f =2x+5y

Mehrfache partielle Ableitung:

\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x \partial y} =\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y \partial x}= \partial_xy f =5

\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2} = \partial_xx f =2

Totales Differential: Beim Übergang von (x,y) auf (x+dx,y+dy) ändert sich die Funktion um f(x + dx,y + dy) − f(x,y) = Δf

\Delta f \approx \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y} \Delta y +...

Änderungsrate (in beliebige Richtung) für infinitesimale Größen:

df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy +...

Leibnitzsche Kettenregel: Für eine Funktion f(x(t),y(t)) gilt:

\frac {df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dt} + ...

Ableitung für implizit gegebene Funktionen in einer Variable: F(x,y(x))=0

\frac{dy}{dx} = - \frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}

Skalar- und Vektorfelder

Ein Feld ist eine physikalische Größe, die in verschiedenen Raum- und zu verschiedenen Zeitpunkten unterschiedliche Werte annehmen kann.

Skalarfeld:

Ein Skalarfeld in 2/3 Dimensionen ist eine Funktion von 2/3 Raumkoordinaten.

r=|\vec x | =\sqrt{x^2+y^2+z^2}....Radialkoordinate

Beispiel: f(x,y,z)=f(\vec x)= \frac{- 1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} = \frac{-1}{r} ~ f\ddot{u}r ~ \mathbb{R}^3 \ {0,0,0}

Symmetrie:

Ein Skalarfeld f ist homogen/konstant, wenn sein Wert nicht von \vec x abhängt: f(\vec x)= c.

c ..... Konstante

Ein Skalarfeld f ist radialsymmetrisch, wenn gilt: f(\vec x)=f(r) . z.B. U(\vec x)= \frac{e^-{\Kappa r}}{r}

Vektorfeld:

Ein Vektorfeld liegt vor, wenn in jedem Punkt der Ebene/des Raumes ein Vektor definiert ist. Ein Vektorfeld in 2/3 Dimensionen besteht aus 2/3 Funktionen in 2/3 Variablen.

\vec{v}=\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} y-z^2 \\ z-x^2 \\ x-y^2 \end{pmatrix}; \vec F(\vec x)=\frac{- \vec x}{r^3}

Betrag:

r = | \vec v | = \sqrt {v_x^2+v_y^2+v_z^2}; r^2=| \vec v | ^2 = \vec v \cdot \vec v

Symmetrie:

Ein Vektorfeld ist homogen/konstant, wenn für alle \vec x gilt: \vec v (\vec x)=\vec c \vec c....konstanter Vektor

Ein Vektorfeld ist radialsymmetrisch, wenn es von der Form \vec v(\vec x) = f(r) \vec x ist. Es ist in jedem Punkt parallel zu , seine Orientierung und Länge sind für alle Punkte, die von Ursprung gleich weit entfernt sind, gleich. z.B. \vec v(\vec x) = r^2 \vec x; ~ \vec F(\vec x)= \frac{- \vec x}{|\vec x|^3}

Ein Vektorfeld in 3 Dimensionen ist ringförmig, wenn es von der Form \vec v(\vec x)=f(\rho) \begin{pmatrix} -y \\  x \\ 0 \end{pmatrix} ist, wobei \rho=\sqrt{x^2+y^2}. Es erscheint radial um die z-Achse, wobei das Vektorfeld parallel zur xy-Ebene ist. z.B. \vec B (\vec x)= \frac{c}{x^2+y^2} \begin{pmatrix} -y \\  x \\ 0 \end{pmatrix}

Vektoranalysis

Gradient:

Der Gradient, auf ein Skalarfeld f angewandt, ergibt ein Vektorfeld: \vec \nabla f= \begin{pmatrix} {\partial_x f} \\{\partial_y f} \\{\partial_z f} \\  \end{pmatrix}

Nabla-Operator: \vec \nabla= \begin{pmatrix} {\partial_x} \\{\partial_y} \\{\partial_z} \\  \end{pmatrix}

Bedeutung:

Der Gradient von f zeigt in die Richtung des maximalen Zuwachses.

Der Gradient steht normal auf die Niveaulinien/-flächen von f

Für ein Skalarfeld in 2 Dimensionen ist der Gradient ein 2 dimensionaler Vektor.

Kritischer Punkt:

Eine Stelle x0, an der \vec\nabla f = 0 gilt, ist ein Kritischer Punkt. Dies tritt für lokale Maxima und Minima von f auf.

Gradientenfeld:

Ein Vektorfeld, das der Gradient eines Skalarfeldes ist, wird Gradientenfeld oder konservatives Vektorfeld genannt. Das Skalarfeld wird als Potential(funktion) bezeichnet.

Divergenz:

Die Divergenz wird auf ein Vektorfeld angewandt und es ergibt sich ein Skalarfeld.

div ~ \vec v (\vec{x}) = \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z} = \partial_x v_x + \partial_y v_y + \partial_z v_z

Bedeutung: Die Divergenz stellt eine Quellstärke dar. Bildlich gesprochen: Die Divergenz eines Vektorfeldes gibt an, wo und wieviele Feldlinien entspringen oder verschluckt werden.

Laplace-Operator:

Der Laplace-Operator wird auf ein Skalarfeld f angewendet und ergibt ein Skalarfeld.

\Delta = \vec\nabla^2 = div ~ \vec\nabla = \frac{\partial^2 }{\partial x^2} + \frac{\partial^2 }{\partial y^2} + \frac{\partial^2 }{\partial z^2}

Bedeutung:

Laplace f ist die Quellstärke des Vektorfeldes .

Rotation:

Die Rotation wird auf Vektorfelder in 3 Dimensionen angewandt und ergibt ein Vektorfeld.

rot~\vec v (\vec x) = \vec\nabla \times \vec v = \begin{pmatrix} \partial_y v_z - \partial_z v_y \\ \partial_z v_x - \partial_x v_z \\ \partial_x v_y - \partial_y v_x \\ \end{pmatrix}

Bedeutung:

Die Rotation gibt die Wirbelstärke eines Vektorfeldes an.

Beziehung zwischen Gradient, Divergenz und Rotation

Für jedes Skalarfeld f gilt:

rot ~grad ~f \equiv rot~ \vec \nabla f = 0

Umkehrung:

Erfüllt \vec v ~ \rightarrow ~ rot~ \vec v =0, so gibt es (zumindest lokal, wenn \vec v nicht im ganzen Raum definiert ist) ein Skalarfeld f mit der Eigenschaft: \vec v = \vec\nabla f.


Für jedes Vektorfeld \vec u gilt:

div~ rot ~ \vec u = 0

Umkehrung:

Erfüllt \vec v ~ \rightarrow ~ div~ \vec v =0, so gibt es (zumindest lokal, wenn \vec v nicht im ganzen Raum definiert ist) ein Vektorfeld \vec u mit der Eigenschaft: \vec v = rot ~\vec u

Krummlinige Koordinaten

Polarkoordinaten:

Beschreibung der Punkte in der Ebene durch den Abstand vom Ursprung und dem Winkel \varphi:


Umrechnung:

x=r \cdot cos \varphi

y=r \cdot sin \varphi

r=\sqrt{x^2+y^2}

tan \varphi = \frac{y}{x}

Bereich der Polarkoordinaten:

r \geq 0 ;~ 0\leq \varphi < 2 \pi

Kugelkoordinaten:

Beschreibung der Lage der Raumpunkte durch den Abstand vom Ursprung: r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} und den Winkelkoordinaten Θ und \varphi:


Umrechnung in kartesische Koordinaten:

x=r \cdot \sin \Theta \cdot \cos \varphi

x=r \cdot \sin \Theta \cdot \sin \varphi

x=r \cdot \cos \Theta

Bereiche der Kugelkoordinaten:

r \geq 0;~~ 0\leq \Theta <\pi; ~~ 0\leq\varphi < 2\pi oder  -\pi \leq\varphi<\pi

Koordinatensingularität:

Für r = 0 können Θ und \varphi keine eindeutigen Werte zugewiesen werden.

Zylinderkoordinaten:

Beschreibung der Lage der Raumpunkte durch den Normalabstand zur z-Achse \rho = \sqrt{x^2+y^2} (Zylinderkoordinate), den Winkel \varphi und die z-Koordinate:


Verwendung zur einfachen Beschreibung von Zylindersymmetrien.

Umrechnung in kartesische Koordinaten:

x= \rho \cdot \cos \varphi

y= \rho \cdot \sin \varphi

z = z

Bereiche der Kugelkoordinaten:

\rho \geq 0; ~~ 0\leq\varphi < 2\pi oder  -\pi \leq\varphi<\pi

Koordinatensingularität:

Für ρ = 0, also entlang der z-Achse, ist \varphi nicht eindeutig festgelegt.

Mehrfachintegrale

a) Flächenintegrale

Dabei handelt es sich um Integrale über Funktionen in 2 Variablen.

Berechnung des orientieren Volumens zwischen einem Graphen einer reellen Funktion f = f(x,y) und einem gegebenen Gebiet G der xy- Ebene. G ist der Integrationsbereich.


\int\limits_{G}^{}dxdy~f(x,y)~oder \int\limits_{G}^{}dx^2~f(x,y)


Falls das Gebiet G rechteckig und durch die Bedingungen a ≤ x ≤ b und c ≤ y ≤ d definiert ist:


\int\limits_{a}^{b}dx\int\limits_{c}^{d}dy~f(x,y)


Doppelintegrale können auch zur Berechnung von Flächenintegralen verwendet werden. Der Flächeninhalt eines Gebietes G (in der xy-Ebene) ist durch folgenden Zusammenhang gegeben.


\int\limits_{G}^{}dxdy


Flächenintegrale in Polarkoordinaten:


Die Berechnung von Doppelintegralen führt sehr leicht auf unangenehme Integranden. In vielen Fällen hilft es die Integration in ebenen Polarkoordinaten durchzuführen.


Umrechnung auf Polarkoordinaten:

d^2x~=~dr \cdot r \cdot d\varphi


Dieses Verfahren eignet sich vor allem dann, wenn das Gebiet G leicht in ebenen Polarkoordinaten beschrieben werden kann.

Das Integrationsgebiet G wird durch ebene Polarkoordinaten beschrieben, anschließend wird der Integrand in Polarkoordinaten umgerechnet.

Beispiel:

\int\limits_{x^2+y^2\leq1}^{}d^2x(x^2+y)


Das Integrationsgebiet ist durch die Bedingung r ≤ 1 festgelegt. Der Integrand ist x² + y = r² cos² φ + r sin φ . Durch ausführen der oben beschriebenen Schritte kommt man auf folgendes:

\int\limits_{x^2+y^2\leq1}^{}d^2x(x^2+y)=\int\limits_{0}^{1}dr~r\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi(r^2cos^2\varphi+rsin\varphi)


b) Volumsintegrale


Ein Volumsintegral kann als Aufsummierung infinitesimaler Produkte d³x f(x , y, z) gedeutet werden. Ist f = f( x, y, z) eine Funktion in 3 Variablen und G ein Gebiet des R³ so ist


\int\limits_{G}^{}dxdydz~f(x,y,z)


ein Volumsintegral (oder Dreifachintegral). G ist das Integrationsgebiet (der Integrationsbereich oder das Integrationsvolumen). Eine typische physikalische Anwendung ist die Dichte der Massenverteilung im Raum.


In Kugelkoordinaten:

Vorgehensweise:

Zuerst wird das Volumselement in Kugelkoordinaten umgerechnet


d^3x=dr~r^2~d\theta sin\theta~d\varphi


Danach wird das Integrationsgebiet G durch Kugelkoordinaten beschrieben. Zuletzt wird der Integrand in Kugelkoordinaten umgerechnet. Dieses Verfahren eignet sich vor allem wenn G eine Kugel oder ein Teil davon ist.

Beispiel:


Berechnung des Kugelvolumens:


\int\limits_{r\leq R}^{}d^3x=\int\limits_{0}^{R}dr~r^2\int\limits_{0}^{\pi}d\theta sin\theta \int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi = \cfrac{R^3}{3} \cdot 2 \cdot 2\pi~=~\cfrac{4R^3}{3}


In Zylinderkoordinaten:


Das Volumselement wird in Zylinderkoordinaten umgerechnet


d^3x=d\rho ~\rho ~d\varphi ~dz


Die weiteren Schritte sind gleich wie bei der Berechnung mit Kugelkoordinaten.

Parameterdarstellung und Linienintegrale

Parameterdarstellung

Unter der Parameterdarstellung einer Kurve versteht man eine Darstellung, bei der die Punkte der Kurve über einen einzigen Parameter abgelaufen werden können. Der Parameter (zB t) durchläuft einen Bereich von einem Anfangs- bis zu einem Endpunkt. Jedem Parameterwert wird ein Kurvenpunkt zugeordnet.


Darstellung in Komponenten:


\overrightarrow{x}_{(t)} = \begin{pmatrix}
  \overrightarrow{x}_{(t)} \\
  \overrightarrow{y}_{(t)} \\
 \end{pmatrix}


Wobei a ≤ t ≤ b gilt.


Parameterdarstellungen spezieller Funktionen:


Gerade:


\overrightarrow{x}_{(t)} =~\overrightarrow{p}+(\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p})t ~~~~ 0\le t \le 1


Wobei p der Anfangs- und q der Endpunkt ist. Diese Formel gilt sowohl in der Ebene als auch im Raum.


Kreislinie:


\overrightarrow{x}_{(t)} = R  \begin{pmatrix}
  \cos t \\
  \sin t \\
 \end{pmatrix},  ~~~0 \le t \le 2\pi


Kreislinie in der Ebene mit dem Mittelpunkt im Ursprung und dem Radius R. Die Kreislinie wird im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen.


Schraubenlinie:


\overrightarrow{x}_{(t)} = \begin{pmatrix}
  R  \cos t \\
  R  \sin t \\
  c  t \\
 \end{pmatrix},  ~~~0 \le t \le 4\pi


Für gegebenes R>0 und c ≠ 0 beschreibt die obige Formel eine Schraubenlinie um die Z-Achse, die 2 Windungen durchläuft.


Tangentenvektor:


Seine Orientierung zeigt die Richtung ansteigender Parameterwerte. Es wird Komponentenweise abgeleitet.


Beispiel:


Die Kreisbewegung in einer Ebene


\overrightarrow{x}_{(t)} = R\begin{pmatrix}
  \cos (\omega t) \\
  \sin (\omega t) \\
  
 \end{pmatrix}


Parser-Fehler (die PNG-Konvertierung schlug fehl): \dot \overrightarrow{x}_{(t)} = R\omega\begin{pmatrix} -\sin (\omega t) \\ \cos (\omega t) \\ \end{pmatrix}


Die Parameterdarstellung wird bei der Berechnung von Linienintegralen verwendet.

Linienintegrale:

Sie beschreiben die verrichtete Arbeit die längs eines Weges von einem Punkt P1 zu einem Punkt P2 verrichtet wird.


Berechnung eines Linienintegrales:


1) Die Anfangs- und Endpunkte der Kurve sind zu ermitteln


2) Der Tangentenvektor muss berechnet werden. Dieser Schritt erfolgt durch komponentenweises ableiten der gegebenen Funktion.


3) Die gegebene Kurve wird in das Vektorfeld eingesetzt.


4) Berechnung des Integrals


Beispiel:

Das Linienintegral \int\limits_{\gamma}^{}d\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{F} ist zu berechnen wobei:\overrightarrow{F}(\overrightarrow{x})= \begin{pmatrix}
\ 0  \\
\ 0  \\
\ x^2+y^2  \\
\end{pmatrix}

die durch γ \overrightarrow{x}(t)= \begin{pmatrix}
\ t  \\
\ 0  \\
\ r^2/2  \\
\end{pmatrix},~0 \le t \le 1
definierte Kurve ist.


Vorgangsweise:


1) Tangentenvektor berechnen: (Anfangs und Endpunkte der Kurve sind schon gegeben)


Parser-Fehler (die PNG-Konvertierung schlug fehl): \dot \overrightarrow{x}(t)= \begin{pmatrix} \ 1 \\ \ 0 \\ \ t \\ \end{pmatrix}


2) Vektorfeld am Kurvenpunkt x(t) auswerten:


\overrightarrow{F}(\overrightarrow{x(t)})= \begin{pmatrix}
\ 0  \\
\ 0  \\
\ x(t)^2+y(t)^2  \\
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\ 0 \\
\ 0 \\
\ t^2 \\
\end{pmatrix}


3) Berechnen des Integrals:


\int\limits_{\gamma}^{}d\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{F}=\int\limits_{0}^{1}dt \begin{pmatrix}
\ 1 \\
\ 0 \\
\ t \\
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
\ 0 \\
\ 0 \\
\ t^2 \\
\end{pmatrix}
= \int\limits_{0}^{1}dt~t^3 =1/4


Oberflächenintegrale

Integralsätze der Vektoranalysis

Der Integralsatz von Gauß

Das Volumsintegral der Divergenz eines Vektorfeldes über ein Gebiet ist gleich dem Oberflächenintegral des Vektorfeldes über die Randfläche des Gebietes.


\int\limits_{G}^{}d^3x~div~\overrightarrow{v}~=~\oint\limits_{\partial G}^{} d\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{v}


Der Integralsatz von Stokes

Das Oberflächenintegral der Rotation eines Vektorfeldes über eine Fläche ist gleich dem Linienintegral des Vektorfeldes über die Randkurve der Fläche.


\int\limits_{A}^{}d\overrightarrow{A}~rot\cdot \overrightarrow{v}~=~\oint\limits_{\partial A}^{} d\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{v}


Maxwell – Gleichungen:

Die Quellen eines Feldes

div \overrightarrow{E} = \rho


Wobei E das elektrische Feld und ρ die elektrische Ladungsdichte ist.


Die Wirbel eines Feldes


rot \overrightarrow{B}-\cfrac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t} = \overrightarrow{j}


Wobei B das Magnetfeld und j die elektrische Stromdichte ist.


Die Quellfreiheit des magnetischen Feldes


div \overrightarrow{B} = 0


Induktion


rot \overrightarrow{E}+\cfrac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t} = 0

Persönliche Werkzeuge
ePraktika