LV010:LV-Uebersicht/SS07/Formelsammlung - Aufgabe1

Aus Wiki der Fakultät für Physik Universität Wien

Wechseln zu: Navigation, Suche

Diese Seite befindet sich im Namensraum der LV: Mathematische Grundlagen für das Physikstudium 3

► Lehrveranstaltung


Inhaltsverzeichnis

Komplexe Zahlen

Begriffsbestimmung

Eine komplexe Zahl kann aus einer reelen Komponente und aus einer imaginären Komponente bestehen.
Allgemein wird eine komplexe Zahl daher als x + iy geschrieben, wobei x und y reele Zahlen sind und i die imaginäre Einheit ist.
Das Quadrat der imaginären Einheit ist per Definition -1.

Rechenregeln

Das Bilden der Summe bzw. der Differenz ist genauso möglich, wie eine Multiplikation oder Division und so durchzuführen, als wären nur reele Zahlen vorhanden. Bei den beiden letzt genannten (Multiplikation und Division) ist lediglich auf die Defintion i² = -1 zu achten.

Polardarstellung komplexer Zahlen

Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl lassen sich als kartesische Koordinaten deuten, wodurch eine komplexe Zahl durch den Betrag r und den Winkel (Argument) φ charakterisiert werden kann.
Siehe dazu: Ebene Polarkoordinaten
Damit kann jede komplexe Zahl in der Form
 z = x + iy = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)  
angeschrieben werden, wobei gilt |z| = r.

Mathematica

Die Zahl i wird in Mathematica durch I dargestellt

Taylor-Reihen

Polynome (Polynomfunktionen)

stellen eine endliche Summe aus Vielfachen von ganzzahligen Potenzen einer Variablen dar.

f(x)~= a+bx+cx^2+dx^3
a,b,c,d... Koeffizienten
f_{(0)} =~a
f'_{(0)} =~b
f''_{(0)} =~2c
f'''_{(0)} =~6d
Bei Polynomen 3.Grades sind alle weiteren Ableitungen Null.


Die Taylorreihe

Taylorreihe der Funktion f mit dem Mittelpunkt Null bzw. Taylorentwicklung der Funktion f um den Punkt Null.

 f(x)= \cfrac{f(0)}{0!}+\cfrac{f(0)'}{1!}x+\cfrac{f(0)''}{2!}x^2+\cfrac{f(0)'''}{3!}x^3+... \equiv \sum_{n=0}^\infty\cfrac{f(0)^{(n)}}{n!}x^n
 n!=n(n-1)(n-2)...\cdot 2 \cdot 1

Taylorreihen mit beliebigen Mittelpunkt

Ist x0 der Mittelpunkt, um den die Taylorreihe entwickelt werden soll, so lässt sich die folgende Formel anwenden:

f_{(x)}=\sum_{n=0}^\infty\cfrac{f_{(x_0)}^{(n)}}{n!}(x-x_0)^n


Näherungspolynome (Partialsummen)

Diese sind Taylorreihen, welche nach einer bestimmten Ordnung abgebrochen wurden. Wird beispielsweise eine Taylorreihe bis zum xk-Term aufsummiert und danach abgebrochen, so entsteht ein Näherungspolynom der Ordnung k.

\sin x = x - \cfrac{x^3}{3!}+\cfrac{x^5}{5!}-\cfrac{x^7}{7!}+\cfrac{x^9}{9!}-O(x^11)


Wichtige Taylorreihen

\sin x = x - \cfrac{x^3}{3!}+\cfrac{x^5}{5!}-\cfrac{x^7}{7!}+\cfrac{x^9}{9!}-...
\cos x = 1 - \cfrac{x^2}{2!}+\cfrac{x^4}{4!}-\cfrac{x^6}{6!}+\cfrac{x^8}{8!}-... 
e^x=1+x+\cfrac{x^2}{2!}+\cfrac{x^3}{3!}+...
e^{-x}=1-x+\cfrac{x^2}{2!}-\cfrac{x^3}{3!}+...
\cfrac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+
\cfrac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+...
\cfrac{1}{1-u^2}=1+u^2+u^4+u^6+...\equiv \sum_{n=0}^\infty u^{2n}
ln(1+x) = x-\cfrac{x^2}{2}+\cfrac{x^3}{3}-\cfrac{x^4}{4}+\cfrac{x^5}{5}-\cfrac{x^6}{6}+...\equiv \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\cfrac{x^n}{n}
(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\cfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cfrac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+...\equiv \sum_{n=0}^\infty \binom{\alpha}{n}x^n

Komplexe Exponentialfunktionen

Die Reelle Exponentialfunktion ordnet jeder reellen Zahl x die reelle Potenz ex zu. Dies lässt sich in der Form:

e^x_1\cdot e^x_2 = e^{x_1+x_2} 

darstellen.

Für die Komplexen Exponentialfunktionen gilt:

e^{x+i\cdot y} = e^x + e^{iy}

Euler'sche Formel

Durch das Aufstellen von Taylorreihen lässt sich die Formel

e^{ix}=\cos x + i\cdot \sin x beziehungsweise e^{i\omega t} = \cos {\omega t} + i\cdot sin {\omega t}

herleiten. Betrachtet man die Taylorreihe von ex und ersetzt x durch ix, so erhält man
e^{ix} = 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + ... Darin erkennt man die Taylorreihen der Cosinus- und Sinus-Funktion, womit sich obige Formel ergibt.

Darstellung komplexer Zahlen

Komplexe Zahlen können durch eine Exponentialfunktion dargestellt werden.

z = x + iy = r \cdot (\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi) = r \cdot e^{i\varphi}
e^{x + iy} = e^x \cdot (\cos y + i\cdot \sin y)

Rechnen mit komplexen Exponentialfunktionen

z_1 = r_1\cdot e^{i\varphi_1}
z_2 = r_2\cdot e^{i\varphi_2}

  • Multiplikation
z_1\cdot z_2= r_1 r_2 \cdot e^{i\varphi_1} e^{i\varphi_2} = r_1 r_2 \cdot e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}
  • Division
\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1e^{i\varphi_1}}{r_2e^{i\varphi_2}}=\frac{r_1}{r_2}e^{i(\varphi_1-\varphi_2)}
  • Inverse
\frac{1}{z}=\frac{1}{re^{i\varphi}}=\frac{1}{r}e^{-i\varphi}
  • Potenzieren
z^n = r^n\cdot e^{in\varphi}
  • Wurzelziehen

Es ist hier nur eine Form des Wurzelziehens dargestellt.

\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\cdot e^{i\frac{\varphi}{n}}

Winkelfunktionen

\sin x= \frac{1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix})
\cos x = \frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})

Lineare Differentialgleichungen

Die Differenzialgleichung ist eine Gleichung, die mehrere Ableitungen verschiedener Ordnung der selben Funktion beinhaltet und miteinander in Relation setzt.

Eigenschaften von Differenzialgleichungen

  • Ordnung
    • Die Ordnung der Dgl. ist durch die höchste auftretende Ableitung gegeben: Es gibt Dgls 1., 2., ... n.ter Ordnung.
  • Homogenität
    • homogene Dgls besitzen keinen "inhomogenen" Term
      zB: y"(x) + x²y(x) = 0
    • inhomogene Dgls besitzen einen "inhomogenen" Term.
      zB: y"(x) + x²y(x) = x³
      zb: y"(x) + x² = 0

("Inhomogener" Term, ist derjenige, der übrig bleibt, wenn y(x) und dessen Ableitungen gleich 0 gesetzt werden.)

  • Koeffizienten
    • konstant, zB: y"(x) + 3y'(x) - y(x) = 0
    • Variablen als Koeffizienten, zB: y"(x) + x²y(x) = x³
  • Linearität
    • Lineare Differentialgleichungen sind dadurch charakterisiert, dass die gesuchte Funktion nur in linearer Weise (nicht als Potenz) auftritt.

Einfache Beispiele

  • y"(x) + y(x) = 0
allg. Lösung: y(x) = c1sin x + c2cos x
  • y(x) = ex = y'(x)
Lösungen:
y(x) = 0
y(x) = 2 ex
y(x) = c \cdotex

Lösen einer homogenen Differenzialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Als Lösungsansatz einer solchen Diffenzialgleichung wird der sogenannte Exponentialansatz verwendet:

y = 1\cdot e^{rx}; y'= r\cdot e^{rx}; y''= r^2\cdot e^{rx}

Das wird in die Gleichung für die Funktion y(x) eingesetzt und nach r gelöst. Die entstehende quadratische Gleichung (zum Beispiel r2 + 3r − 19) wird Charakteristische Gleichung genannt. Als Ergebnis erhält man die unter Umständen komplexen Ergebnisse r1 = a + ib und r2 = aib(Gilt für reelle Koeffizienten). Damit ergibt sich als Lösung:

y_1(x) = e^{r_1x} = e(a + ib)x 
y_2(x) = e^{r_2x} = e(aib)x
y(x) = C_1\cdot y_1(x)+C_2\cdot y_2(x)

Ist die allgemeine Lösung komplex, lässt sie sich mit Hilfe der Euler'schen Formel zu einer reellen umformen:

y(x)=e^{ax}\cdot(c_1\cos bx + c_2 \sin bx), dabei ist c1 = C1 + C2 und c2 = C1C2

Ergibt die Charakteristische Gleichung nur eine Lösung, verwendet man folgenden Lösungsansatz:

y(x)=c_1\cdot e^{rx}+c_2\cdot x\cdot e^{rx}

Lösen einer linearen inhomogenen Differentialgleichung

Die allgemeine Lösung einer linearen inhomogenden Dgl besteht aus einer speziellen inhomogenen Lösung und der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen Dgl:
y(x) = Lösung (inhomogen) + Lösung (homogen)

Randwertprobleme (Anfangswertprobleme)

Bei Randwertproblemen soll für eine Differentialgleichung nicht nur die allgmeine sondern eine ganz spezielle Lösung (mit speziellen Koeffizienten C) gefunden werden, die mit gegebenen Randbedingungen übereinstimmt. Randbedingungen sind zumeist spezielle Funktionswerte, die die Lösung an einem Punkt annehmen soll, beispielsweise y(0) = 5, y(2) = 3.

Linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung

Aus dem allgemeinen Lösungsansatz y(x)=c\cdot e^{-ax} wird y(0) oder y'(0) bestimmt, in dem x = 0 eingesetzt wird. Damit ergibt sich y(0) = c. Ist y(0) gegeben, ist damit c bekannt und kann in die Lösung eingesetzt werden.

Beispiel
  • Gegeben:~y'(x) = -2y(x); für ~y(0) = 5
  • Allgemeine Lösung: y(x)=c\cdot e^{-2x}
  • y an der Stelle Null: y(0) = c\cdot 1 \Rightarrow 5 = c
  • Damit die Lösung: y(x) = 5\cdot e^{-2x}

Differentialgleichungen 2. Ordnung

Aus der allgemeinen Lösung werden die benötigten Ableitungen (y(x), y'(x), y"(x)...) errechnet. Durch Betrachten der Ableitungen an speziellen Stellen (meist x = 0) erhält man Werte für die Koeffizienten, die in die Lösung eingesetzt werden.

Beispiel
  • Gegeben:~y''(x) + 4y'(x) + 13y(x) = 0
  • Die Allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist y(x) = e^{-2x}\cdot (c_1\cdot \cos{3x} + c_2\cdot \sin{3x})
  • y an der Stelle Null: y(0)=2~
  • y' an der Stelle Null: y'(0)=1~


Zuerst werden die benötigten Ableitungen der Funkion gebildet:

y'(x) = -2\cdot e^{-2x}\cdot (c_1\cdot \cos{3x} + c_2\cdot \sin{3x}) + e^{-2x}\cdot (-3c_1\cdot \sin{3x} + 3c_2\cdot\cos{3x})


Als nächstes wird die allgemeine Lösung y(x) an der Stelle Null betrachtet:

y(0) = e^0 \cdot (c_1\cdot \cos{0} + c_2\cdot\sin{0}) = c_1


Und da y(0) = 2 ist c1 = 2. Um c2 zu ermitteln wird nun die erste Ableitung der Lösung an der Stelle Null betrachtet:
y'(0) = -2e^0 \cdot (c_1\cdot \cos{0} + c_2 \cdot \sin{0}) + e^0 \cdot (-3c_1\cdot\sin{0} + 3c_2\cdot\cos{0}) = -2\cdot c_1 + 3\cdot c_2


Weil y'(0) = 1~gilt: 1 = -2\cdot c_1 + 3 \cdot c_2 = -4 + 3\cdot c_2 Damit ist c_2 = \frac{5}{3}

Mathematica

DSolve[y''[x]+4y'[x]+13y[x]==0, y[x], x] löst die Differentialgleichung
DSolve[{y''[x]+4y'[x]+13y[x]==0,y[0]==2,y'[0]==-3}, y[x], x] löst ein Anfangswertproblem. Die erste Gleichung im Befehl ist die Diffentialgleichung, dannach folgen die beiden Anfangsbedingungen

Physikalische Bedeutung

Viele physikalischen Phänomene können durch Differentialgleichungen beschrieben werden. So sind zum Beispiel die Bewegungsgleichungen für Schwingungen Differentialgleichungen.

Fehlerrechnung

Eine statistische Analyse einer einfachen Datenreihe kann mit Hilfe von Mittelwert, Varianz und Standardabweichung durchgeführt werden. Dabei ist eine einfache Datenreihe eine endliche Liste von Zahlen und kann in der Form:

x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, ...x_{n-1}, x_n~

geschrieben werden.


Der Mittelwert (arithmetisches Mittel)

ist definiert als:

\bar{x}=\cfrac{1}{n}(x_1+x_2+x_3+...) \equiv \cfrac{1}{n} \sum_{j=1}^n x_j

Diese Formel entspricht dem mittleren Wert, um den die Einzeldaten gestreut sind.


Die Varianz und die Standardabweichung

Die Varianz ist definiert als:

s^2= \cfrac{1}{n} ((x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+...+(x_n-\bar{x})^2) \equiv \cfrac{1}{n} \sum_{j=1}^n (x_j-\bar{x})^2

Wenn man die Wurzel aus s2 zieht, dann erhält man die Standardabweichung (Streuung oder Schwankung) der Datenliste. Die Standardabweichung besagt also, wie stark die Einzeldaten vom Mittelwert abweichen.

Die Varianz kann auch mit dieser Formel berechnet werden:

s^2= \bar{x^2}-\bar{x}^2 \equiv \cfrac{1}{n} \sum_{j=1}^n x^2_j- (\cfrac{1}{n} \sum_{j=1}^n \bar{x})^2

Statistische Analyse einer Stichprobe: Schätzung

Wichtig dabei ist, für uns Menschen, mehr zu wissen als durch direkte Beobachtung zugänglich ist.

Beispiel

Man misst eine physikalische Größe x. Sie wird mehrmals bei gleichen Bedingungen gemessen. Die Messresultate werden durch eine einfache Datenreihe dargestellt. Was kann man nun aus den n gemessenen Werten darüber aussagen, wie eine Messreihe mit sehr viel mehr Messungen aussehen würde?

Es soll also aus einer Stichprobe auf die sogenannte Grundgesamtheit geschloßen werden. Man fragt sich:

  • Wie groß ist der Mittelwert der Grundgesamtheit(μ)?
  • Wie groß ist die Standardabweichung der Grundgesamtheit?
  • Wie genau kann man den Mittelwert der Grundgesamtheit abschätzen?


  • Mittelwert der Grundgesamtheit:
\mu_{beste~Sch\ddot{a}tzung} = \bar{x}
  • Varianz der Grundgesamtheit:
\sigma_{beste~Sch\ddot{a}tzung}^2 = \cfrac{n}{n-1}s^2 \equiv \cfrac{1}{n-1} \sum_{j=1}^n (x_j-\bar{x})^2
  • Standardabweichung der Grundgesamtheit:
\sigma_{beste~Sch\ddot{a}tzung} = \sqrt{\cfrac{n}{n-1}}~s \equiv \sqrt{\cfrac{1}{n-1} \sum_{j=1}^n (x_j-\bar{x})^2}
  • Mittlerer Fehler des Mittelwerts:
\sigma_{\bar{x}~beste~Sch\ddot{a}tzung} =\cfrac{s}{\sqrt{n-1}}=\cfrac{\sigma_{beste~Sch\ddot{a}tzung}}{\sqrt{n}} \equiv \sqrt{\cfrac{1}{n(n-1)} \sum_{(j=1)}^n (x_j-\bar{x})^2}

Diese Formeln kommen bei der Dokumentation von experimentellen Resultaten zum Einsatz. Um die Streuung kurz darzustellen, wird die \pm Schreibweise verwendet, zB: 1,62\pm0,07

Die Fehlerfortpflanzung

wird verwendet, wenn eine physikalische Größe f von anderen Größen x,y abhängt (f= f(x,y)).


Gauß'sches Fehlerfortpflanzungsgesetz

\sigma_\bar{f} \approx \sqrt{\left(\cfrac{\partial f}{\partial x}\right)^2 \sigma_\bar{x}^2+\left(\cfrac{\partial f}{\partial y}\right)^2 \sigma_\bar{y}^2+...}

Statistische Analyse einer Liste von Datenpaaren: Regression und Korrelation

Eine vorhandene Liste besteht aus Datenpaaren: (x_1, y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3), ... (x_n,y_n)~

Derartige Listen von Datenpaaren können in statistischer Hinsicht analysiert werden, um das Wesentliche durch wenige Kennzahlen auszudrücken. Man kann jedes Paar (x_j,y_j)~ graphisch darstellen, wobei x_j~ die x Koordinate und y_j~ die y Koordinate eines Punktes ist. Die Datenliste ist nun eine Punktwolke (mit n Punkten) in der Zeichenebene.

Es stellt sich die Frage, ob die Liste einen systematischen Zusammenhang zwischen den beiden Größen beschreibt.


Linearer Zusammenhang

Im Idealfall:y_1 = kx_1 + d,~y_2=kx_2+d,~...~y_n=kx_n+d


Die Punkte, die den Datenpaaren entsprechen, müssen auf einer Geraden liegen.

Es gibt die sogenannte Ausgleichsgerade oder Regressionsgerade, die durch jene Werte von k und d bestimmt ist, für die f(k,d)~=~\sum_{j=1}^n d^2_j minimal ist.

Dies führt zu Extremwertaufgaben in 2 Variablen, in der nur quadratische Funktionen auftreten:

k = \cfrac{1}{s_n^2n}\sum_{j=1}^n(x_j-\bar{x})(y_j-\bar{y})
d = \bar{y} - \cfrac{\bar{x}}{s_x^2n}\sum_{j=1}^n(x_j-\bar{x})(y_j-\bar{y})
\bar{x}...Mittelwert der x-Werte
\bar{y}...Mittelwert der y-Werte
sx...Standardabweichung der x-Werte
k...Regressioniskoeffizient

Die Ausgleichsgerade kann man immer berechnen ( wenn zumindest zwei x-Werte vorhanden sind). Jedoch stellt sich die Frage, mit welcher Zuverlässigkeit kann gesagt werden, dass zwischen den Daten ein linearer Zusammenhang besteht. Dies geschieht mit Hilfe des Korrelationskoeffizienten:

r = \cfrac{1}{s_x s_y n} \sum_{j=1}^n (x_j-\bar{x})(y_j-\bar{y}) \equiv \cfrac{1}{s_x s_y} \left(\cfrac{1}{n} \sum_{j=1}^n x_j y_j - \bar{x}\bar{y} \right)

Der Korrelationskoeffizienten r kann dabei Werte zwischen -1 und 1 annehmen. Als Korrelation bezeichnet man r2.

Funktionen in mehreren Variablen

Abhängigkeiten von (physikalischen/mathematischen) Größen von mehreren anderen Größen werden durch Funktionen in mehreren Variablen dargestellt. Dies gilt etwa auch für jede physikalische Formel, in der 2 oder mehr variable Größen vorkommen.

Hängt die Funktion F von x und y (und z) ab, so schreibt man:

F \equiv F(x,y) bzw. F \equiv F(x,y,z)

Dabei sind x und y (und z) die unabhängigen Variablen. F wird als abhängige Variable bezeichnet (ihr Wert variiert ja in Abhängigkeit von den beiden anderen Variablen). Setzt man konkrete Zahlen für x und y (und z) ein, nennt man diese Argumente oder Stellen, die abhängige Funktion F heißt Funktionswert. Zur Definition einer solchen Funktion braucht es auch einen Definitionsbereich, also den Zahlenbereich in dem die beiden unabhängigen Variablen variieren können, sodass die Funktion ein sinnvolles Ergebnis ergibt.

Für eine Kugel sieht dies folgendermaßen aus:  C = x^2+y^2+z^2~
Wird jedoch C = 0 so entsteht dabei ein Punkt.

Differenzieren von Funktionen in mehreren Variablen

Wie auch normale Funktionen können Funktionen in mehreren Variablen differenziert werden. Dazu wird die Ableitung nach jeweils einer (unabhängigen) Variable gebildet, wobei alle anderen Variablen konstant gehalten werden. Die Ableitung nach einer Variable entspricht also dem Anstieg (der Änderungsrate) der Funktion in diese Richtung.

\cfrac{\partial f}{\partial x} \equiv \cfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) \equiv \cfrac{\partial f(x,y)}{\partial x} \equiv \partial_x f  
\cfrac{\partial f}{\partial y} \equiv \cfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) \equiv \cfrac{\partial f(x,y)}{\partial y} \equiv \partial_y f
\cfrac{\partial f}{\partial z} \equiv \cfrac{\partial f}{\partial z}(x,y,z) \equiv \cfrac{\partial f(x,y,z)}{\partial z} \equiv \partial_z f
  • Änderung einer Funktion in einer Variablen:  \triangle f\approx \cfrac{\partial f }{\partial x} \triangle x bzw. df =\cfrac{\partial f }{\partial x} dx
  • Änderung einer Funktion in zwei Variablen:  \triangle f\approx \cfrac{\partial f }{\partial x} \triangle x + \cfrac{df}{dy} \triangle y bzw. df =\cfrac{\partial f }{\partial x} dx + \cfrac{\partial f }{\partial y} dy


Änderungsrate entspricht der Richtungsableitung

\cfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)a + \cfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)b

a2 + b2 = 1

\overrightarrow{n}= \begin{pmatrix}  a \\  b \end{pmatrix}

x(s) = x + as

y(s) = y + bs

  • Änderung von f beim Übergang von (x,y) auf (x+as,y+bs) für kleine s
  • Division durch s
  • \lim_{s\rightarrow0}

Leibnitz'sche Kettenregel

\cfrac{d}{dt} f(x(t),y(t))=\cfrac{\partial f}{\partial x}(x(t),y(t))\cfrac{dx(t)}{dt}+\cfrac{\partial f}{\partial y}(x(t),y{(t)})\cfrac{dy(t)}{dt}
Kurz: 
\cfrac{df}{dt}=\cfrac{\partial f}{\partial x}\cfrac{dx}{dt}+\cfrac{\partial f}{\partial y}\cfrac{dy}{dt}

Graphen

Beispiele

Beispiel 1

f(x,y) = x2 + y2 und r=\sqrt{x^2+y^2} ... Abstand des Punktes (x,y) vom Ursprung
Bild:Parabel.jpg
Das Drehen der Parabel um die z-Achse erzeugt ein Paraboloid.

Beispiel 2

g(x,y) = x2y2
  • y=0 x\to g(x,0)=x^2~\to Der Graph ist eine nach oben offene Parabel
  • x=0 y\to g(0,y)=-y^2~\to Der Graph ist eine nach unten offene Parabel
Werden nun beide Graphen Punkt für Punkt kombiniert entsteht eine Sattelfläche (hyperbolisches Paraboloid).

Niveaulinien

Oftmals ist für den Betrachter einer Funktion wichtig, an welchen Stellen die Funktion den selben Wert einnimmt. Ein Berg könnte zum Beispiel als Graph einer Funktion dargestellt werden, damit ist es interessant, entlang welcher Linien ein Berg die selbe Höhe hat - sogenannte Höhenlinien. Zur Berechnung der Niveaulinien wird die Funktion gleich einem Wert gesetzt und betrachtet, an welchen Punkten die Funktion diesen Wert hat: f(x,y) = c.
Die zum Wert c gehörende Niveaulinie der Funktion ist die Menge aller Punkte der xy-Ebene. Der Funktionsgraph wird mit der horizontalen Ebene z = c geschnitten. Ist c = 0 so ergibt sich eine Schnittmenge des Graphen mit der xy-Ebene.

Funktionen in 2 Variablen ergeben Niveaulinien, während Funktionen in 3 Variablen Niveauflächen ergeben.


Beispiele

Beispiel 1

f(x,y) = x2 + y2 = c
Fallunterscheidung:
  • c>0...Niveaulinien sind Kreise (r = \sqrt{c}) um den Ursprung
  • c=0...der Ursprung(0,0)
  • c<0...leere Menge(Ausdruck der Tatsache, dass f(x,y) \ge 0 für alle (x,y))

Beispiel 2

g(x,y) = x2y2 = c
Fallunterscheidung:
  • c\neq0 ... Hyperbeln
  • c=0 ... Vereinigungsmenge der Geraden x=y und y=-x, also der beiden Mediane(45°-Geraden)
(Beweis: x^2-y^2=(x-y)(x+y)~\to ist 0 wenn y=x oder y=-x)

Beispiel 3

h(x,y) = 2x2 + 3y2 = c
Fallunterscheidung:
  • c>0 ... Ellipsen
  • c<0 ... leere Menge
  • c=0 ... Ursprung

Skalar- und Vektorfelder

Feld

Eine physikalische Größe oder Zusammenfassung von physikalischen Größen, die in verschiedenen Raumpunkten und zu verschiedenen Zeitpunkten unterschiedliche Werte annehmen kann.

Ortsvektoren

Die Zusammenfassung der Koordinaten von Punkten der Ebene oder des Raumes, um sie besser beschreiben zu können. Bezeichnet als \overrightarrow{x}

Radialkoordinate

ist der (Absolut-)Betrag des Ortsvektors, also der Abstand zwischen einem durch den Ortsvektor \overrightarrow{x} beschriebenen Punkt und dem Ursprung.

r~\equiv~|\overrightarrow{x}|~=~\sqrt{x^2+y^2}~bzw.~r~\equiv~|\overrightarrow{x}|~=~\sqrt{x^2+y^2+z^2}

Skalarfelder

Das Skalarfeld (Skalares Feld) ist an jedem Punkt durch eine einzelne Zahl bestimmbar.

 f~\equiv~f(x,y)~oder~f~\equiv~f(x,y,z)

Skalare Felder mit Symmetrien

Homogenes oder konstantes skalares Feld

Der Wert ist nicht vom Ort \overrightarrow{x} abhängig, sondern ist überall konstant C. Es gilt: f(\overrightarrow{x})~=~C für alle \overrightarrow{x}

Radialsymmetrisches skalares Feld

Das radialsymmetrisches skalare Feld f(\overrightarrow{x}) ist nur eine Funktion der Radialkoordinate r und es lässt sich immer in der Form :

f(\overrightarrow{x})~=~f(r)

schreiben.


Vektorfelder

Vektorfeld

In jedem Punkt der Ebene oder des Raumes ist ein Richtungspfeil (Vektor) festgelegt. Ein Vektorfeld in 2 bzw. 3 Dimensionen bestehen daher aus 2 bzw. 3 Funktionen in 2 bzw. 3 Variablen.

Bezeichnung der Komponenten eines Vektorfeldes

\overrightarrow{v}~=~\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\\end{pmatrix}~\equiv~\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\\end{pmatrix}~bzw.~\overrightarrow{v}~=~\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z\end{pmatrix}~\equiv~\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3\end{pmatrix}


Vektorfelder mit Symmetrien

Homogenes oder konstantes Vektorfeld

Es hängt nicht von \overrightarrow{x} ab. Es gibt einen konstanten Vektor \overrightarrow{c}, sodass \overrightarrow{v}(\overrightarrow{x}) = \overrightarrow{c} für alle \overrightarrow{x} gilt.

Dieses Vektorfeld zeigt in jedem Punkt in die gleiche Richtung und hat überall die gleiche Länge.


Radialsymmetrisches Vektorfeld

Es gilt \overrightarrow{v}(\overrightarrow{x})=f(r)\overrightarrow{x}

r...definierte Radialkoordinate

f...radialsymmetrisches Skalarfeld

Dieses Vektorfeld ist in jedem Punkt parallel zum Ortsvektor \overrightarrow{x}. Seine Orientierung und Länge sind für alle Punkte, die vom Ursprung die gleiche Entfernung haben, gleich.


Ringförmiges Vektorfeld

Es gilt: \overrightarrow{v}(\overrightarrow{x})=f(\rho) \begin{pmatrix} -y \\  x \\ 0 \end{pmatrix}

\rho=\sqrt{x^2+y^2}

Das ringförmige Vektorfeld hängt nicht von der z-Koordinate ab. An jedem Punkt zeigt es in eine zur xy-Ebene parallelen Richtung.

Vektoranalysis

Gradient


 \overrightarrow{\nabla}  f= \begin{pmatrix}
  \frac{\partial f}{\partial x} \\
  \frac{\partial f}{\partial y} \\
  \frac{\partial f}{\partial z} \\
 \end{pmatrix} bzw.  \overrightarrow{\nabla}  f= \begin{pmatrix}
  \frac{\partial f}{\partial x} \\
  \frac{\partial f}{\partial y} \\
  \end{pmatrix}
  • Der Gradient \overrightarrow{\nabla} ist der Operator (die Aufforderung) eine Skalare Funktion f (x,y)~bzw. f (x,y,z)~partiell nach ihren Komponenten zu differenzieren. Damit wird aus einem Skalar- ein Vektorfeld.
  • Physikalische Bedeutung: Der Gradient einer Skalaren Funktion zeigt in die Richtung der größten Änderung.
  • Anwendung in der Physik: Zum Beispiel Potentielle Energie: \overrightarrow{V} = -\overrightarrow{\nabla} f: Die Kraft ist der negative Gradient der Potentiellen Energie - zeigt gegen die Richtung der größten Kraftsteigerung


Divergenz

div(\overrightarrow{v}(\overrightarrow{x})) = \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z}

  • Die Divergenz eines Vektorfeldes ist die Summe der partiell nach x,y,z angeleiteten Vektorkomponenten. Die Divergenz macht aus einem Vektor- ein Skalarfeld.
  • Physikalische Bedeutung: Die Divergenz ist die Quellstärke eines Feldes. Bei div = 0 ist das Vektorfeld quellfrei.


Rotation

rot(\overrightarrow{v}(\overrightarrow{x})) = \overrightarrow{\nabla} \times \overrightarrow{v}(\overrightarrow{x}) = \begin{pmatrix}
  \frac{\partial }{\partial x} \\
  \frac{\partial }{\partial y} \\
  \frac{\partial }{\partial z} \\
 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
  v_x \\
  v_y \\
  v_z \\
 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
  \partial_y v_z - \partial_z v_y \\
  \partial_z v_x - \partial_x v_z \\
  \partial_x v_y - \partial_y v_x \\
 \end{pmatrix}


  • Die Rotation eines Vektorfeldes \overrightarrow{v}_{(\overrightarrow{x})} ist das Vektorprodukt aus dem Operator "Gradient" mit dem Vektorfeld. Sie beschreibt das Rotationsverhalten eines Vektorfeldes.


Laplace-Operator

 \overrightarrow{\Delta} f = \overrightarrow{\nabla} \overrightarrow{\nabla} f = div \overrightarrow{\nabla}f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} 
  • Der Laplace-Operator  \overrightarrow{\Delta} ist das Skalarprodukt von  \overrightarrow{\nabla} f mit sich selbst.


Zusammenhänge

Zwischen den einzelnen Winkelfunktionen gibt es folgende Zusammenhänge (Beweis durch einfaches Ausrechnen):

  • Die Rotatition des Gradienten ergibt Null: rot (\overrightarrow{\nabla} f) = 0
Wenn die Rotation eines Vektorfelds \overrightarrow{v}(\overrightarrow{x}) Null ist, kann daher dieses Feld der Gradient einer Skalaren Funktion f sein. \overrightarrow{v}_{(\overrightarrow{x})} ist ein "Gradientenfeld".
  • Die Divergenz der Rotation ergibt Null: div (rot \overrightarrow{v}_{(\overrightarrow{x})}) = 0
Verschwindet die Divergenz eines Vektorfelds \overrightarrow{u}(\overrightarrow{x}), so ist dieses Feld die Rotation eines Vektorfelds \overrightarrow{w}(\overrightarrow{x}).

Mathematica

Laden des nötigen Package mit <<Calculus`Vektoranalysis`

Befehle
Operation Befehl
Gradient Grad
Divergenz Div
Rotation Curl
LaPlace Laplacian

Zum Beispiel: Grad[f,Cartesian[x,y,z]] oder, falls die Koordinaten nicht x,y,z heißen: Grad[f(x1,x2,x3),Cartesian[x1,x2,x3]]

Koordinatensysteme

Ebene Polarkoordinaten

Die Transformation von Kartesische Koordinaten auf ebene Polarkoordinaten funktioniert wie folgt:
Bild:Polarkoordinaten.JPG
x = r~ \cos{\phi}
y = r~ \sin{\phi}
oder umgekehrt:
 r = \sqrt{x^2+y^2}
\tan{\varphi}= \frac{y}{x}

Kugelkoordinaten

Die Position eines Punktes im R³ wird durch 3 Zahlen beschrieben. Die Charakterisierung eines Punktes durch diese 3 Zahlen erfolgt mit Hilfe eines Koordinatensystems. Kugelkoordinaten beschreiben die Lage eines Punktes durch

  • den Abstand zum Ursprung:  r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}
  • die Winkelkoordinaten \theta~und~\varphi


Bild:Kugelkoordinaten.JPG


Bereiche in denen Kugelkoordinaten varieren können:

r \ge 0
0 \ge \theta\le \pi
0 \le \varphi < 2\pi  
\varphi = 0~wird~mit~\varphi=2\pi~identifiziert

Umrechnung: Kartesische Koordinaten <=> Kugelkoordinaten

x=r~\sin\theta~cos\varphi
y=r~\sin\theta~sin\varphi
z=r~\cos\theta

Spezielle Gebiete des Raumes:

  • r=0~ beschreibt den Ursprung
  • \theta=0~bzw.~\theta=\pi beschreibt Punkte auf der z-Achse
  • r=R~ beschreibt eine Sphäre um den Ursprung vom Radius R
  • r\le R beschreibt eine Vollkugel um den Ursprung vom Radius R
  • \theta\le\cfrac{\pi}{2} beschreibt den oberen Halbraum (einschließlich xy-Ebene)
  • r\le R,\theta\le\cfrac{\pi}{2} beschreibt eine Halbkugel

Zylinderkoordinaten

beschreiben Situationen, die eine Zylindersymmetrie aufweisen. Die Lage eines Punktes P wird durch

  • seinen (Normal-)Abstand zur z-Achse \rho=\sqrt{x^2+y^2} (die Zylinderkoordinate)
  • den Winkel φ
  • die z-Koordinate


Bild:Zylinderkoordinaten.JPG


Bereiche, in denen Zylinderkoordinaten variieren können:

\rho \ge0
0\le\varphi<2\pi
\varphi=0 wird mit \varphi=2\pi identifiziert
z~...beliebig

Gebiete im Raum, die beschrieben werden können:

\rho=0~ beschreibt die z-Achse
\rho=R~ beschreibt (unendlich lange) Zylinderoberfläche mit der z-Achse als Symmetrieachse und Radius R
\rho\le R beschreibt (unendlich langen) Vollzylinder
\rho\le R,~a\le z\le b beschreibt einen (endlichen) Vollzylinder

Physikalische Bedeutung

Ebene Polarkoordinaten werden beim Rechnen mit Komplexen Zahlen bzw. Komplexen Exponentialfunktion in der Gauß'schen Zahlenebene verwendet.
Kugel- und Zylinderkoordinaten können das Berechnen von Integralen enorm vereinfachen.

Mehrfachintegrale

Flächenintegrale

Flächenintegrale sind Integrale über Funktionen in 2 Variablen. Man stelle sich beispielweise eine Skalare Funktion vor, die jedem Punkt in einer (x,y)-Ebene einen Wert (z) zuweist. So werden mit dem Integral alle Werte (z) innerhalb des Integrationsbereichs (auf der (x,y)-Ebene = Gebiet G) aufsummiert. Dabei bedient man sich der üblichen Vereinfachung, die Fläche in infinitessimal kleine Flächenstücke Δf zu unterteilen, über die dann integriert wird:

Bild:Flächenintegral.JPG

Schreibweise

\int\limits_{G}^{}dxdy~f(x,y)~\equiv\int\limits_{G}^{}dx^2~f(x,y) \equiv\int\limits_{G}^{}dA~f(x,y)\equiv \int\limits_{G}^{}dxdy~f(\overrightarrow{x})


Das Gebiet G ist dabei zumeist durch Grenzen definiert (Allgemein:  a \le x \le b und  c \le y \le d , Ausnahmen bilden geschloßene Kurven). Des weiteren muss für f(x,y) der entsprechende Integrant eingesetzt werden. Um nun das Flächenintegral zu lösen wird einzeln und nacheinander nach allen allen Variablen integriert. Zum Beispiel wird bei dem Integral \int\limits_{G}^{}dxdy~(\cos{Rx} + \sin{xy}) zuerst der ganze Integrant nur nach y integriert, wobei x als Konstante betrachtet wird. Nicht vergessen auf das Einsetzen der Grenzen! Dannach wird das Ergebnis nach x integriert.


Beispiel

\int\limits_{x=0}^{x=1}dx \int\limits_{y=2}^{y=3}dy~(x^2+y)~=~\int\limits_{x=0}^{x=1}dx~\left(\left(x^2 y+ \cfrac{y^2}{2} \right)\vert _{y=2}^{y=3}\right)~=~\int\limits_{x=0}^{x=1}dx \left(x^2+\cfrac{5}{2}\right)~= =~\left(\cfrac{x^3}{3}~+~\cfrac{5}{2}x\right) |_{x=0}^{x=1}~=~\cfrac{17}{6}


Flächenintegrale in ebenen Polarkoordinaten

In manchen Fällen, besonders bei der Berechnung von Integralen über Kreise und Kreissegmente, ist es günstiger ebenen Polarkoordinaten zu verwenden. Dabei wird das Flächenelement wie folgt von Karthesischen in Polarkoordinaten umgerechnet:

d^2x~=~dr \cdot r \cdot d\varphi

Das volle Integral:

\int\limits_{r_{1}}^{r_{2}}dr \cdot r \int\limits_{\varphi_{1}}^{\varphi_{2}}d\varphi~f(r,\varphi)

Dabei darf nicht vergessen werden, die Grenzen des Integrals entsprechend zu setzten. Bei der Berechung wird gleich der Berechnung von Flächenintegralen in Karthesischen Koordinaten vorgegangen.

Integralsgrenzen für eingache geometrische Figuren

Kreis: 0 \le r \le R; 0 \le \varphi\le 2\pi;
Oberer Halbkreis: 0\le r\le R;  0\le\varphi\le \pi;
Kreissegment um Winkel α: 0\le r\le R; 0\le\varphi\le\alpha 
Kreislinie: r = R; 0\le\varphi\le 2\pi

Volumsintegrale

Volumsintegrale sind Aufsummierungen über die Werte einer Funktion in 3 Dimensionen. Man stelle sich etwa eine Skalare Funktion in 3 Dimensionen vor, die jedem Punkt im Raum einen Wert zuordnet (etwa eine Temperatur). Das Volumsintegral über einen Raumbereich der Funktion entspricht einer Aufsummierung über alle Werte (Temperaturen) im Gebiet.


Schreibweise

\int\limits_{G}^{}d^3x~f(x,y,z)~=~\int\limits_{G}^{}d^3x~f(\overrightarrow{x})
d^3x~=~dx \cdot dy \cdot dz~=~dV 


Volumsintegrale in Kugel- und Zylinderkoordinaten

Zur Berechnung von Integralen über Kugeln, Kugelsegmente oder Zylinder(-segmente) eignen sich Kugel- bzw. Zylinderkoordinaten besser, Raumbereiche lassen sich einfacher darstellen.


Kugelkoordinaten

\int\limits_{r_{1}}^{r_{2}}dr \cdot r^2~\int\limits_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}d\theta \cdot \sin{\theta}~\int\limits_{\varphi_{1}}^{\varphi_{2}}~d\varphi~f(r,\theta,\varphi)


Zylinderkoordinaten

\int\limits_{\rho_{1}}^{\rho_{2}}d\rho \cdot \rho~\int\limits_{\varphi_{1}}^{\varphi_{2}}~d\varphi~\int\limits_{z_{1}}^{z_{2}}dz~f(\rho,\varphi,z)


Beispiele für einige geometrische Körper

Integralsgrenzen für einige spezielle Körper:

Kugel: 0\le r \le R;  0\le \Theta \le \pi;  0 \le \varphi \le 2\pi 
Obere Halbkugel: 0\le r \le R;  0\le \Theta \le \frac{\pi}{2} ;  0 \le \varphi \le 2\pi
Sphäre: r = R; 0\le \Theta \le \pi; 0\le \varphi \le 2\pi
Kugelsegment mit Winkel α: 0\le r \le R; 0\le\Theta\le \alpha; 0 \le \varphi \le 2\pi
Zylinder: 0 \le \rho \le R;   0 \le \varphi \le 2\pi;  0 \le z \le H


Das Volumen einer Kugel wird daher wie folgt berechnet:

\int\limits_{r=0}^{r=R}dr \cdot r^2~
\int\limits_{\theta =0}^{\theta =\pi}d\theta \cdot \sin{\theta}~\int\limits_{\varphi =0}^{\varphi =2\pi}~d\varphi~=~\cfrac{R^3}{3} \cdot 2 \cdot 2\pi~=~\cfrac{4\pi R^3}{3}


Physikalische Anwendung

Volumsintegrale können zum Beispiel zur Berechnung der Masse oder der Ladung bei vorhandener Massen- bzw. Ladungsdichte (Integrant) verwendet werden. Dabei ist eine Funktion in 3 Variablen gegeben, welche die Massen- oder Ladungsdichte in einem Raumbereich beschreibt. Integriert man über den Raumbereich von Interesse erhält man die dort vorhandene Masse bzw. Ladung.

Mathematica

Integrate[x^2,x] zur Bildung des unbestimmten Integrals (Stammfunktion)
Integrate[x^2,{x,a,b}] zur Bildung des bestimmten Integrals, wobei a,b die Grenzen sind
Falls beim bestimmten Integral keine genaue Stammfunktion gefunden werden kann, kann mit NIntegrate[x^2,{x,2,4}] ein numerischer Näherungswert berechnet werden. Klarerweise braucht es hier numerische Grenzen!
Dreifachintegrale mit Integrate[x^2-y^3+z,{x,3,4},{y,-2,5},{z,-1,1}]

Parameterdarstellung

Die Parameterdarstellung ist eine Möglichkeit, eine beliebige Kurve (zB. Gerade oder Kreis) darzustellen. Ein Parameter t~durchläuft einen spezifizierten Zahlenbereich (Parameterbereich), von einem Anfangs- zu einem Endwert. Dabei wird jedem Wert von t~ein Kurvenpunkt zugewiesen. Verdeutlicht kann man sich einen Punkt vorstellen, der eine Kurve entlang läuft.
Die Kurve \gamma~ist also eine Abbildung des Parameterbereichs in den Raum (oder in die Ebene).

Komponentenschreibweise

\overrightarrow{x}(t) = \begin{pmatrix}
  x(t) \\
  y(t) \\
 \end{pmatrix} a \le t \le b ,  für beliebige Werte für a,b

Parameterdarstellungen spezieller Kurven

  • Gerade: \overrightarrow{x}(t) = \begin{pmatrix}
  x(t) \\
  y(t) \\
 \end{pmatrix} c \le t \le d, für beliebige Werte für x,y,a,b,c,d
  • Kreislinie: \overrightarrow{x}(t) = R \cdot \begin{pmatrix}
  \cos t \\
  \sin t \\
 \end{pmatrix},  0 \le t \le 2\pi , für beliebige Werte für x,y,a,b,
  • Schraubenlinie: \overrightarrow{x}(t) = \begin{pmatrix}
  R \cdot \cos t \\
  R \cdot \sin t \\
  c \cdot t \\
 \end{pmatrix},  0 \le t \le 2\pi , für beliebige Werte für x,y,a,b,c

Ableitung

Die Ableitung einer Kurve in Parameterdarstellung ergibt den Tangentenvektor der Kurve im entsprechenden Punkt. Abgeleitet wird komponentenweise:

Parser-Fehler (die PNG-Konvertierung schlug fehl): \dot\overrightarrow{x}_{(t)} = \begin{pmatrix} \dot x(t) \\ \dot y(t) \\ \end{pmatrix}, a \le t \le b , für beliebige Werte für a,b

Anwendung

Anwendung findet die Parameterdarstellung unter anderem bei der Berechnung von Linienintergralen

Mathematica

ParametricPlot[{x_{(t)},~x_{(t)},~{t,~t_0,~t_{ende}}]

ParametricPlot3D entsprechend

Beispiel: ParametricPlot[{\cos [t],~\sin [t]},{ 0 \le t \le 2\pi}]

Linienintegrale (Kurvenintegrale)

Definition

Wichtig für die Ausführung der Linienintegrale ist die Kenntnis der sogenannten Parameterdarstellung.

Das Linienintegral beschreibt die Arbeit W welche längs des Weges \gamma~vom Punkt t_0~bis zum Punkt t_1~verrichtet wird.

Bild:Paramterkurve.JPG

Parser-Fehler (die PNG-Konvertierung schlug fehl):  W~=~\int\limits_{\gamma}^{}\overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{x}~=~\int\limits_{t_{0}}^{t_{1}}dt \dot\overrightarrow{x}(t) \cdot d\overrightarrow{F}(\overrightarrow{x}(t))


Berechnung

Zur Berechnung eines Linienintegrals sind folgende Schritt notwendig:

  • Grenzen ermitteln: Dies geschieht mit Hilfe der Anfangs- und Endpunkte der Kurve.
  • Berechnung des Tangentenvektors: Dafür wird die gegebene Kurve \overrightarrow{x}(t) nach t abgeleitet.
  • Vektorfeldberechnung: Der nächste Schritt ist die Berechnung des Vektorfelds am Kurvenpunkt \overrightarrow{x}(t). Dazu wird einfach \overrightarrow{x}(t) in \overrightarrow{F}(\overrightarrow{x}) eingesetzt.
  • Integral berechnen


Beispiel

\int\limits_{\gamma}^{}\overrightarrow{v} \cdot d\overrightarrow{x}

\overrightarrow{v}(\overrightarrow{x})~=~\begin{pmatrix} -y\\ x \\  z^2  \end{pmatrix}

\overrightarrow{x}(t)~=~\begin{pmatrix} \cos t\\ \sin t \\  t \end{pmatrix} zwischen den Punkten \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\  0 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\  2\pi \end{pmatrix}

  • Grenzen ermitteln: 0 \le t \le 2\pi
  • Tangentenvektor: Parser-Fehler (die PNG-Konvertierung schlug fehl): \dot \overrightarrow{x}(t)~=~\begin{pmatrix} -\sin t\\ \cos t \\ 1 \end{pmatrix}


  • Vektorfeld am Kurvenpunkt  \overrightarrow{x}(t): \overrightarrow{v}(\overrightarrow{x}(t))~=~\begin{pmatrix} -\sin t\\ \cos t \\ t^2  \end{pmatrix}
  • Integral berechnen: \int\limits_{0}^{2\pi}dt \cdot \begin{pmatrix} -\sin t\\ \cos t \\  1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -\sin t\\ \cos t \\ t^2  \end{pmatrix}~=~\int\limits_{0}^{2\pi}dt \cdot (\sin{t}^2 + \cos{t}^2 + t^2)~=~(t+\cfrac{t^3}{3})|_{0}^{2\pi}~=~2\pi + \cfrac{2\pi)^3}{3}


Wichtiger Spezialfall

Linienintegral eines Gradientenfeldes (konservatives Vektorfeld)

\int\limits_{\gamma}^{}d\overrightarrow{x} \cdot\overrightarrow{\nabla}f~=~f_{Endpunkt}~-f_{Anfangspunkt}

Vergleiche dazu den Hauptsatzes für Differntial- und Integralrechnung

\int\limits_{a}^{b}dx \cdot f'(x)~=~f(b)-f(a)

Dieses Linienintegral ist wegunabhängig!


Physikalische Bedeutung

"Die Arbeit ist unabhängig vom Weg!"

\overrightarrow{F}(\overrightarrow{x})~=~ C \cfrac{\overrightarrow{x}}{r^3}~=~ -\overrightarrow{\nabla} \cfrac{C}{r}


\int\limits_{\gamma}^{}d\overrightarrow{x} \cdot\overrightarrow{F}~=~ \cfrac{C}{r_{Anfang}}-\cfrac{C}{r_{Ende}}~=~Potentialdifferenz

Oberflächenintegrale

Definition

Das Oberflächenintegral beschreibt den Fluss durch eine beliebige Oberfläche. Dies kann auch die Randfläche eines Volumens sein, das entspricht dann dem Fluss aus dem Volumen heraus. Dabei werden die Flüsse durch alle infinitesimalen Flächenstücke aufsummiert. Benötigt werden die Fläche und das Vektorfeld, dessen Fluss berechnet werden soll. Dieses kann zum Beispiel die Geschwindigkeit \overrightarrow{v} einer Flüssigkeit sein oder auch ein elektrisches oder magnetisches Feld.

  • dA ist das infinitessimale, skalare Flächenstück
  • \overrightarrow{n}(\overrightarrow{x}) ist der Einheitsnormalvektor auf das Flächenstück im Punkt x
  • d\overrightarrow{A} ist im Raum orientierte vektorielle Flächenelement
  • \overrightarrow{v} ist das Vektorfeld, dessen Fluss berechnet wird

Das Oberflächenintegral zur Berechnung des Flusses durch eine Oberfläche:

\Phi = \iint\limits_{A}^{} {d\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{v}}=\iint\limits_{A}^{} {dA\cdot\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{v}} 

Bei einer Randfläche eines Volumens:

\Phi = \oint\limits_{\partial G}^{} {dA\cdot\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{v}}

Spezielle Flüsse

  • Der elektrische Fluss
\Phi = \int\limits_{A}^{} {d\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{E}}
  • Der magnetische Fluss
\Phi = \int\limits_{A}^{} {d\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{B}}

Berechnung

Fläche parallel zur Koordinatenebene

\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}
  0 \\
  0 \\
  1 \\
 \end{pmatrix};~dA = dxdy;  d\overrightarrow{A} = dxdy\begin{pmatrix}
  0 \\
  0 \\
  1 \\
 \end{pmatrix}

\Phi = \int\limits_{A}^{} {dxdy\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
 \end{pmatrix}\overrightarrow{v}(x,y,z)}

Sphäre

dA = R^2\cdot d\Theta \cdot\sin{\Theta}\cdot d\varphi für eine Sphäre mit Radius R

Anmerkung: Im Unterschied zum Volumsintegral hfehlt hier das dr. Mit dr wird auch über den ganzen Radius integriert, so dass ein Volumen zustande kommt. Beim Oberflächenintegral fehlt das dr und es wird nur über die Oberfläche der Kugel integriert. Der Einheitsnormalvektor der Sphäre ist:

\overrightarrow{n}=\overrightarrow{n}(\overrightarrow{x})=\frac{\overrightarrow{x}}{R} =\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}
  \sin{\Theta}\cos{\varphi} \\
  \sin{\Theta}\sin{\varphi} \\
  \cos{\Theta} \\
 \end{pmatrix} 

Zylindrische Oberflächen

dA = R \cdot d\varphi\cdot dz für einen Zylinder mit Radius R
\overrightarrow{n}= \overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}
  \cos{\varphi} \\
  \sin{\varphi} \\
  0 \\
 \end{pmatrix}

Physikalische Bedeutung

Zum Beispiel bei der Berechnung von Flüssen von Feldern (magnetisch, elektrisch) oder in den Integralsätzen und damit in den Maxwellgleichungen.

Sätze der Integralrechnung

Gauß'scher Integralsatz

Es sei:
  • V ein Volumen
  • \partial V die Rand-/Oberfläche des Volumens
  • \overrightarrow{h} ein auf V definiertes Vektorfeld


so gilt:
\int\limits_{V}^{}d^3x~div~\overrightarrow{h}~=~\oint\limits_{\partial V}^{} d\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{h}
Das Volumsintegral der Divergenz eines Vektorfeldes \overrightarrow{h} über ein Volumen V ist also gleich dem Oberflächenintegral des Vektorfeldes \overrightarrow{h} über die Randfläche des Volumens.

Stoke'scher Integralsatz

Es sei:
  • A eine Fläche
  • \partial A die Randkurve
  • \overrightarrow{h} ein auf A definiertes Vektorfeld


so gilt:
\int\limits_{A}^{}d\overrightarrow{A}~rot\cdot \overrightarrow{h}~=~\oint\limits_{\partial A}^{} d\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{h}
Das Oberflächenintegral der Rotation eines Vektorfeldes \overrightarrow{h} über eine Fläche A ist also gleich dem Linienintegral des Vektorfeldes \overrightarrow{h} über die Randkurve der Fläche.

Maxwell-Gleichungen

Die Quelle eines Feldes

Es sei:
  •  \overrightarrow{E} das elektrische Feld
  • ρ die elektrische Ladungsdichte


So gilt:
div \overrightarrow{E} = \rho

Die Wirbel eines Feldes

Es sei:
  •  \overrightarrow{B} das (zeitunabhängige weil statisch betrachtete) Magnetfeld
  •  \overrightarrow{j} die elektrische Stromdichte


So gilt:
rot \overrightarrow{B}-\cfrac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t} = \overrightarrow{j}


Die Quellfreiheit des magnetischen Feldes

div \overrightarrow{B} = 0


Induktion

Die zeitliche Änderung eines Magnetfeldes bewirkt ein rotierendes elektrisches Feld (Elektrische Wirbel):

rot \overrightarrow{E}+\cfrac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t} = 0
Persönliche Werkzeuge
ePraktika