LV010:LV-Uebersicht/SS08/Aufgabe1 Formelsammlung

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Inhaltsverzeichnis

Formelsammlung

powered by Stefan Schweng, Sebastian kremshuber & Eren Simsek

Zur Hilfestellung heran gezogene Dateien: Einführung in die mathematische Grundlagen für das Physikstudium 2 und 3 v. Prof. Franz Embacher

& Internetseiten v. Studiereden:
                                :https://elearning.mat.univie.ac.at/physikwiki/index.php/LV010:LV-Uebersicht/SS07/Aufgabe2
                                :https://elearning.mat.univie.ac.at/physikwiki/index.php/LV010:LV-Uebersicht/SS07/Aufgabe1

Komplexe Zahlen

Begriffsbestimmung

Eine komplexe Zahl kann aus einer reelen Komponente und aus einer imaginären Komponente bestehen.
Allgemein wird eine komplexe Zahl daher als x + iy geschrieben, wobei x und y reele Zahlen sind und i die imaginäre Einheit ist.
 z = x + iy \,\!
Weiters gilt per Definition:
  i^2 = -1 \,\! 
i^3 = -i \,\! 
i^4 = 1 \,\! 
i^5 = i \,\! 
i^6 = -1 \,\! 
i^7 = -i \,\! 
i^8 = 1 \,\! 
 \sqrt {-1} = i \cdot \sqrt {1} 

Rechenregeln

Das Bilden der Summe bzw. der Differenz ist genauso möglich, wie eine Multiplikation oder Division und so durchzuführen, als wären nur reele Zahlen vorhanden. Bei den beiden letzt genannten (Multiplikation und Division) ist lediglich auf die Defintion i² = -1 zu achten.

Polardarstellung komplexer Zahlen

Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl lassen sich als kartesische Koordinaten deuten, wodurch eine komplexe Zahl durch den Betrag r und den Winkel (Argument) φ charakterisiert werden kann.
Siehe dazu: Ebene Polarkoordinaten
Umrechnung:
 x = r \cdot cos \varphi 
 y = r \cdot sin \varphi 
Damit kann jede komplexe Zahl in der Form
 z = x + iy = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)  
angeschrieben werden.

Rechenregeln komplexer Zahlen bei Polardarstellung

Produkt zweier komplexer Zahlen  z_1 \,\! und  z_2 \,\!:
 z_1 z_2 = r_1 r_2 \cdot (\cos( \varphi_1 + \varphi_2) + i\cdot \sin( \varphi_1 + \varphi_2)) 
Division zweier komplexer Zahlen  z_1 \,\! und  z_2 \,\!:
 \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1} {r_2} \cdot (\cos( \varphi_1 - \varphi_2) + i\cdot \sin( \varphi_1 - \varphi_2)) 
Potenzieren:
 z^n = r^n \cdot (\cos(n \cdot \varphi) + i \cdot \sin(n \cdot \varphi)) 
Betrag:
 |z| = r \,\!

Taylor-Reihen

Polynome (Polynomfunktionen)

stellen eine endliche Summe aus Vielfachen von ganzzahligen Potenzen einer Variablen dar.
f(x)~= a+bx+cx^2+dx^3
a,b,c,d... Koeffizienten
f_{(0)} =~a
f'_{(0)} =~b
f''_{(0)} =~2c
f'''_{(0)} =~6d
Bei Polynomen 3.Grades sind alle weiteren Ableitungen Null.

Die Taylorreihe

Taylorreihe der Funktion f mit dem Mittelpunkt Null bzw. Taylorentwicklung der Funktion f um den Punkt Null.

 f(x)= \frac {f(0)}{0!} + \frac {f'(0)}{1!} x + \frac {f''(0)}{2!} x^2 + \frac {f'''(0)}{3!} x^3 + ... \equiv \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n 
Das ! bedeutet Fakultät und ist eine Funktion, bei der gilt:
 n!=n(n-1)(n-2)...\cdot 2 \cdot 1

Taylorreihen mit beliebigen Mittelpunkt

Ist x0 der Mittelpunkt, um den die Taylorreihe entwickelt werden soll, so lässt sich die folgende Formel anwenden:
 f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n 

Näherungspolynome (Partialsummen)

Diese sind Taylorreihen, welche nach einer bestimmten Ordnung abgebrochen wurden. Wird beispielsweise eine Taylorreihe bis zum xn-ten Term aufsummiert und danach abgebrochen, so entsteht ein Näherungspolynom der Ordnung n.

\sin x = x - \cfrac{x^3}{3!}+\cfrac{x^5}{5!}-\cfrac{x^7}{7!}+\cfrac{x^9}{9!}-O(x^{11})

Wichtige Taylorreihen

\sin x = x - \cfrac{x^3}{3!}+\cfrac{x^5}{5!}-\cfrac{x^7}{7!}+\cfrac{x^9}{9!}-... \equiv \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1!)}
\cos x = 1 - \cfrac{x^2}{2!}+\cfrac{x^4}{4!}-\cfrac{x^6}{6!}+\cfrac{x^8}{8!}-... \equiv \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n!)} 
e^x=1+x+\cfrac{x^2}{2!}+\cfrac{x^3}{3!}+... \equiv \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n} {n!}
e^{-x}=1-x+\cfrac{x^2}{2!}-\cfrac{x^3}{3!}+... \equiv \sum_{n=0}^\infty (-1) \frac{x^n} {n!}
\cfrac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+... \equiv \sum_{n=0}^\infty x^n
\cfrac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+... \equiv \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n
\cfrac{1}{1-u^2}=1+u^2+u^4+u^6+...\equiv \sum_{n=0}^\infty u^{2n}
ln(1+x) = x-\cfrac{x^2}{2}+\cfrac{x^3}{3}-\cfrac{x^4}{4}+\cfrac{x^5}{5}-\cfrac{x^6}{6}+...\equiv \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\cfrac{x^n}{n}
(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\cfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cfrac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+...\equiv \sum_{n=0}^\infty \binom{\alpha}{n}x^n

Komplexe Exponentialfunktionen

Die Reelle Exponentialfunktion ordnet jeder reellen Zahl x die reelle Potenz ex zu. Dies lässt sich in der Form:

e^{x_1}\cdot e^{x_2} = e^{x_1+x_2} 

darstellen.

Für die Komplexe Exponentialfunktion gilt:

e^{x+i\cdot y} = e^x \cdot e^{iy} \equiv e^x \cdot (\cos y + i\cdot \sin y)

Euler'sche Formel

Durch das Aufstellen von Taylorreihen lässt sich die Formel

e^{ix}=\cos x + i\cdot \sin x 

herleiten. Betrachtet man die Taylorreihe von e^x\,\! und ersetzt x durch ix, so erhält man


e^{ix} = 1 + ix + \frac{x^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac {x^4}{4!} + \frac {(ix)^5}{5!}...

Durch spalten von Real und Imaginärteil und herausheben von i\,\! erhält man die Taylorreihen der Cosinus- und Sinus-Funktion, womit sich obige Formel ergibt.

Darstellung komplexer Zahlen

Komplexe Zahlen können durch eine Exponentialfunktion dargestellt werden.

z = x + iy = r \cdot (\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi) = r \cdot e^{i\varphi}
e^{x + iy} = e^x \cdot (\cos y + i\cdot \sin y)

Rechnen mit komplexen Exponentialfunktionen

z_1 = r_1\cdot e^{i\varphi_1}
z_2 = r_2\cdot e^{i\varphi_2}

  • Multiplikation
z_1\cdot z_2= r_1 r_2 \cdot e^{i\varphi_1} e^{i\varphi_2} = r_1 r_2 \cdot e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}
  • Division
\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1e^{i\varphi_1}}{r_2e^{i\varphi_2}}=\frac{r_1}{r_2}e^{i(\varphi_1-\varphi_2)}
  • Inverse
\frac{1}{z}=\frac{1}{re^{i\varphi}}=\frac{1}{r}e^{-i\varphi}
  • Potenzieren
z^n = r^n\cdot e^{in\varphi}
  • Wurzelziehen

Es ist hier nur eine Form des Wurzelziehens dargestellt.

\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\cdot e^{i\frac{\varphi}{n}}

Winkelfunktionen

\sin x= \frac{1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix})
\cos x = \frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})

Lineare Differentialgleichungen mit konstantem Koeffizienten

Eine Kombination der Form  y(x) = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) \,\! nennen wir Linearkombination der beiden Lösungen  y_1\,\!(x) und  y_2\,\!(x) . Der Lösungsraum einer linear-homogenen Differentialgleichung n-ter Ordnung ist n-dimensional. Sind n Basislösungen  y_1(x), y_2(x), ... y_n(x) \,\! gefunden, so lässt sich jede Lösung in der Form

 y(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x) + ... + C_ny_n(x) \,\!

anschreiben.

Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstantem Koeffizienten

Homogene Differentialgleichung

ist von der Form

 y'(x) + a \cdot y(x) = 0 

Allgemeine Lösung:

 y(x) = C \cdot e^{-ax} 


Lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstantem Koeffizienten

Homogene Differentialgleichung

ist von der Form

 y''(x) + a_1y'(x) + a_0y(x) = 0 \,\!


Lösen durch Exponentialansatz:

y(x)=e^{rx}\,\!

y'(x)=r \cdot e ^{rx}

y''(x)=r^2 \cdot e ^{rx}

Durch Einsetzen, herausheben von  e^{rx}\,\! und Multiplikation mit  e^{-rx}\,\! erhält man die Charakteristische Gleichung:

 r^2 + a_1r + a_0 = 0 \,\! 

Um die Gleichung zu lösen wird diese Lösungsformel verwendet:

 r_{1,2} = -\frac{a_1}{2} \pm \sqrt {\frac{a_1^2}{4}-a_0} 
 \sqrt{\frac{a_1^2}{4}-a_0} = D ... Diskriminante


Allgemeine Lösung:

für D\neq 0:

 y(x) = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x} 


für D = 0 \,\!:

 y(x) = C_1e^{-a_1 \frac {x}{2}} + C_2x \cdot e^{-a_1 \frac {x}{2}} \equiv (C_1 + C_2 x) e^{-a_1 \frac {x}{2}} 

allgemeine reelle Lösung für  D < 0 \,\! :

 y(x) = e^{\frac{-a_1}{2}x} \cdot (c_1 \cos(\sqrt{\frac{a_1^2}{4}-a_0}x) + c_2 \sin(\sqrt{\frac{a_1^2}{4}-a_0}x)) =  e^{\frac{-a_1}{2}x} \cdot (c_1 \cos(D \cdot x) + c_2 \sin(D \cdot x))

Inhomogene Differentialgleichung

Die Lösung einer solchen Gleichung besteht aus einer speziellen inhomogenen Lösung und einer allgemeinen Lösung.

Differentialgleichungen erster Ordnung:

Allgemeiner Lösungsansatz:

y(x)= c \cdot e^{-ax}

Man muss c berechnen und in die Lösung einsetzen.

Differentialgleichungen zweiter Ordnung:

Man errechnet die benötigten Ableitungen und durch deren Betrachtung an bestimmten Stellen werden die Werte der Koeffizienten ermittelt und wieder in die Lösung eingesetzt.

Fehlerrechnung

Eine statistische Analyse einer einfachen Datenreihe kann mit Hilfe von Mittelwert, Varianz und Standardabweichung durchgeführt werden. Dabei ist eine einfache Datenreihe eine endliche Liste von Zahlen und kann in der Form:

x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, ...x_{n-1}, x_n~

geschrieben werden.


Der Mittelwert (arithmetisches Mittel)

ist definiert als:

\bar{x}=\cfrac{1}{n}(x_1+x_2+x_3+...x_n) \equiv \cfrac{1}{n} \sum_{j=1}^n x_j

Diese Formel entspricht dem mittleren Wert, um den die Einzeldaten gestreut sind.

Die Varianz und die Standardabweichung

Die Varianz ist definiert als:

s^2= \cfrac{1}{n} ((x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+...+(x_n-\bar{x})^2) \equiv \cfrac{1}{n} \sum_{j=1}^n (x_j-\bar{x})^2

Wenn man die Wurzel aus s2 zieht, dann erhält man die Standardabweichung (Streuung oder Schwankung) der Datenliste. Die Standardabweichung besagt also, wie stark die Einzeldaten vom Mittelwert abweichen.

Die Varianz kann auch mit dieser Formel berechnet werden:

s^2= \bar{x^2}-\bar{x}^2 \equiv \cfrac{1}{n} \sum_{j=1}^n x^2_j- (\cfrac{1}{n} \sum_{j=1}^n \bar{x})^2

Statistische Analyse einer Stichprobe: Schätzung

Wichtig dabei ist, für uns Menschen, mehr zu wissen als durch direkte Beobachtung zugänglich ist.

Beispiel

Man misst eine physikalische Größe x. Sie wird mehrmals bei gleichen Bedingungen gemessen. Die Messresultate werden durch eine einfache Datenreihe dargestellt. Was kann man nun aus den n gemessenen Werten darüber aussagen, wie eine Messreihe mit sehr viel mehr Messungen aussehen würde?

Es soll also aus einer Stichprobe auf die sogenannte Grundgesamtheit geschloßen werden. Man fragt sich:

  • Wie groß ist der Mittelwert der Grundgesamtheit(μ)?
  • Wie groß ist die Standardabweichung der Grundgesamtheit?
  • Wie genau kann man den Mittelwert der Grundgesamtheit abschätzen?


  • Mittelwert der Grundgesamtheit:
\mu_{beste~Sch\ddot{a}tzung} = \bar{x}
  • Varianz der Grundgesamtheit:
\sigma_{beste~Sch\ddot{a}tzung}^2 = \cfrac{n}{n-1}s^2 \equiv \cfrac{1}{n-1} \sum_{j=1}^n (x_j-\bar{x})^2
  • Standardabweichung der Grundgesamtheit:
\sigma_{beste~Sch\ddot{a}tzung} = \sqrt{\cfrac{n}{n-1}}~s \equiv \sqrt{\cfrac{1}{n-1} \sum_{j=1}^n (x_j-\bar{x})^2}
  • Mittlerer Fehler des Mittelwerts:
\sigma_{\bar{x}~beste~Sch\ddot{a}tzung} =\cfrac{s}{\sqrt{n-1}}=\cfrac{\sigma_{beste~Sch\ddot{a}tzung}}{\sqrt{n}} \equiv \sqrt{\cfrac{1}{n(n-1)} \sum_{j=1}^n (x_j-\bar{x})^2}

Diese Formeln kommen bei der Dokumentation von experimentellen Resultaten zum Einsatz. Um die Streuung kurz darzustellen, wird die \pm Schreibweise verwendet, zB: 1,62\pm0,07

Die Fehlerfortpflanzung

wird verwendet, wenn eine physikalische Größe f von anderen Größen x,y abhängt (f= f(x,y)).


Gauß'sches Fehlerfortpflanzungsgesetz

\sigma_\bar{f} \approx \sqrt{\left(\cfrac{\partial f}{\partial x}\right)^2 \sigma_\bar{x}^2+\left(\cfrac{\partial f}{\partial y}\right)^2 \sigma_\bar{y}^2+...}

Statistische Analyse einer Liste von Datenpaaren: Regression und Korrelation

Eine vorhandene Liste besteht aus Datenpaaren: (x_1, y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3), ... (x_n,y_n)~

Derartige Listen von Datenpaaren können in statistischer Hinsicht analysiert werden, um das Wesentliche durch wenige Kennzahlen auszudrücken. Man kann jedes Paar (x_j,y_j)~ graphisch darstellen, wobei x_j~ die x Koordinate und y_j~ die y Koordinate eines Punktes ist. Die Datenliste ist nun eine Punktwolke (mit n Punkten) in der Zeichenebene.

Es stellt sich die Frage, ob die Liste einen systematischen Zusammenhang zwischen den beiden Größen beschreibt.


Linearer Zusammenhang

Im Idealfall:

y_1 = kx_1 + d,~y_2=kx_2+d,~...~y_n=kx_n+d


Die Punkte, die den Datenpaaren entsprechen, müssen auf einer Geraden liegen.

Es gibt die sogenannte Ausgleichsgerade oder Regressionsgerade, die durch jene Werte von k und d bestimmt ist, für die f(k,d)~=~\sum_{j=1}^n d^2_j minimal ist.

Dies führt zu Extremwertaufgaben in 2 Variablen, in der nur quadratische Funktionen auftreten:

k = \cfrac{1}{s_n^2n}\sum_{j=1}^n(x_j-\bar{x})(y_j-\bar{y})
d = \bar{y} - \cfrac{\bar{x}}{s_x^2n}\sum_{j=1}^n(x_j-\bar{x})(y_j-\bar{y})
\bar{x}...Mittelwert der x-Werte
\bar{y}...Mittelwert der y-Werte
sx...Standardabweichung der x-Werte
k...Regressioniskoeffizient

Die Ausgleichsgerade kann man immer berechnen ( wenn zumindest zwei x-Werte vorhanden sind). Jedoch stellt sich die Frage, mit welcher Zuverlässigkeit kann gesagt werden, dass zwischen den Daten ein linearer Zusammenhang besteht. Dies geschieht mit Hilfe des Korrelationskoeffizienten:

r = \cfrac{1}{s_x s_y n} \sum_{j=1}^n (x_j-\bar{x})(y_j-\bar{y}) \equiv \cfrac{1}{s_x s_y} \left(\cfrac{1}{n} \sum_{j=1}^n x_j y_j - \bar{x}\bar{y} \right)

Der Korrelationskoeffizienten r kann dabei Werte zwischen -1 und 1 annehmen. Als Korrelation bezeichnet man r2.

Funktionen in mehreren Variablen

Begriffe:

f(u,v,w) = ... ... Variablendefinition; Funktion in 3 Variablen

f(u,v,w) ... Bezeichnung des Funktionswerts;

f ... Name der Funktion

u,v,w ... unabhängige Variablen;

f ... abhängige Variable;

Werden anstelle der unabhängigen Variablen konkrete Zahlenwerte eingesetzt, so spricht man von:

(u,v,w) ... Argument / Stelle

f ... Funktionswert (an der Stelle ... )


Abhängigkeiten von (physikalischen/mathematischen) Größen von mehreren anderen Größen werden durch Funktionen in mehreren Variablen dargestellt. Dies gilt etwa auch für jede physikalische Formel, in der 2 oder mehr variable Größen vorkommen.

Hängt die Funktion F von x und y (und z) ab, so schreibt man:

F \equiv F(x,y) bzw. F \equiv F(x,y,z)

Dabei sind x und y (und z) die unabhängigen Variablen. F wird als abhängige Variable bezeichnet (ihr Wert variiert ja in Abhängigkeit von den beiden anderen Variablen). Setzt man konkrete Zahlen für x und y (und z) ein, nennt man diese Argumente oder Stellen, die abhängige Funktion F heißt Funktionswert. Zur Definition einer solchen Funktion braucht es auch einen Definitionsbereich, also den Zahlenbereich in dem die beiden unabhängigen Variablen variieren können, sodass die Funktion ein sinnvolles Ergebnis ergibt.

Für eine Kugel sieht dies folgendermaßen aus:  C = x^2+y^2+z^2~
Wird jedoch C = 0 so entsteht dabei ein Punkt.

Differenzieren von Funktionen in mehreren Variablen

Wie auch normale Funktionen können Funktionen in mehreren Variablen differenziert werden. Dazu wird die Ableitung nach jeweils einer (unabhängigen) Variable gebildet, wobei alle anderen Variablen konstant gehalten werden. Die Ableitung nach einer Variable entspricht also dem Anstieg (der Änderungsrate) der Funktion in diese Richtung.

\cfrac{\partial f}{\partial x} \equiv \cfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) \equiv \cfrac{\partial f(x,y)}{\partial x} \equiv \partial_x f  
\cfrac{\partial f}{\partial y} \equiv \cfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) \equiv \cfrac{\partial f(x,y)}{\partial y} \equiv \partial_y f
\cfrac{\partial f}{\partial z} \equiv \cfrac{\partial f}{\partial z}(x,y,z) \equiv \cfrac{\partial f(x,y,z)}{\partial z} \equiv \partial_z f
  • Änderung einer Funktion in einer Variablen:  \triangle f\approx \cfrac{\partial f }{\partial x} \triangle x bzw. df =\cfrac{\partial f }{\partial x} dx
  • Änderung einer Funktion in zwei Variablen:  \triangle f\approx \cfrac{\partial f }{\partial x} \triangle x + \cfrac{df}{dy} \triangle y bzw. df =\cfrac{\partial f }{\partial x} dx + \cfrac{\partial f }{\partial y} dy


Partielle Ableitung:

z.B.: f(x,y) = x2 + 5xy + y3

Partielle Ableitung nach x: \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = \partial_x f =2x+5y

Mehrfache partielle Ableitung:

\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x \partial y} =\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y \partial x}= \partial_xy f =5

\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2} = \partial_xx f =2

Totales Differential: Beim Übergang von (x,y) auf (x+dx,y+dy) ändert sich die Funktion um f(x + dx,y + dy) − f(x,y) = Δf

\Delta f \approx \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y} \Delta y +...

Änderungsrate (in beliebige Richtung) für infinitesimale Größen:

df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy +...

Leibnitzsche Kettenregel: Für eine Funktion f(x(t),y(t)) gilt:

\frac {df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dt} + ...

Ableitung für implizit gegebene Funktionen in einer Variable: F(x,y(x))=0

\frac{dy}{dx} = - \frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}


Änderungsrate entspricht der Richtungsableitung

\cfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)a + \cfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)b

a2 + b2 = 1

\overrightarrow{n}= \begin{pmatrix}  a \\  b \end{pmatrix}

x(s) = x + as

y(s) = y + bs

  • Änderung von f beim Übergang von (x,y) auf (x+as,y+bs) für kleine s
  • Division durch s
  • \lim_{s\rightarrow0}

Leibnitz'sche Kettenregel

\cfrac{d}{dt} f(x(t),y(t))=\cfrac{\partial f}{\partial x}(x(t),y(t))\cfrac{dx(t)}{dt}+\cfrac{\partial f}{\partial y}(x(t),y{(t)})\cfrac{dy(t)}{dt}
Kurz: 
\cfrac{df}{dt}=\cfrac{\partial f}{\partial x}\cfrac{dx}{dt}+\cfrac{\partial f}{\partial y}\cfrac{dy}{dt}

Graphen

Beispiele

Beispiel 1

f(x,y) = x2 + y2 und r=\sqrt{x^2+y^2} ... Abstand des Punktes (x,y) vom Ursprung
Bild:Parabel.jpg
Das Drehen der Parabel um die z-Achse erzeugt ein Paraboloid.

Beispiel 2

g(x,y) = x2y2
  • y=0 x\to g(x,0)=x^2~\to Der Graph ist eine nach oben offene Parabel
  • x=0 y\to g(0,y)=-y^2~\to Der Graph ist eine nach unten offene Parabel
Werden nun beide Graphen Punkt für Punkt kombiniert entsteht eine Sattelfläche (hyperbolisches Paraboloid).

Niveaulinien

Oftmals ist für den Betrachter einer Funktion wichtig, an welchen Stellen die Funktion den selben Wert einnimmt. Ein Berg könnte zum Beispiel als Graph einer Funktion dargestellt werden, damit ist es interessant, entlang welcher Linien ein Berg die selbe Höhe hat - sogenannte Höhenlinien. Zur Berechnung der Niveaulinien wird die Funktion gleich einem Wert gesetzt und betrachtet, an welchen Punkten die Funktion diesen Wert hat: f(x,y) = c.
Die zum Wert c gehörende Niveaulinie der Funktion ist die Menge aller Punkte der xy-Ebene. Der Funktionsgraph wird mit der horizontalen Ebene z = c geschnitten. Ist c = 0 so ergibt sich eine Schnittmenge des Graphen mit der xy-Ebene.

Funktionen in 2 Variablen ergeben Niveaulinien, während Funktionen in 3 Variablen Niveauflächen ergeben.


Beispiele

Beispiel 1

f(x,y) = x2 + y2 = c
Fallunterscheidung:
  • c>0...Niveaulinien sind Kreise (r = \sqrt{c}) um den Ursprung
  • c=0...der Ursprung(0,0)
  • c<0...leere Menge(Ausdruck der Tatsache, dass f(x,y) \ge 0 für alle (x,y))

Beispiel 2

g(x,y) = x2y2 = c
Fallunterscheidung:
  • c\neq0 ... Hyperbeln
  • c=0 ... Vereinigungsmenge der Geraden x=y und y=-x, also der beiden Mediane(45°-Geraden)
(Beweis: x^2-y^2=(x-y)(x+y)~\to ist 0 wenn y=x oder y=-x)

Beispiel 3

h(x,y) = 2x2 + 3y2 = c
Fallunterscheidung:
  • c>0 ... Ellipsen
  • c<0 ... leere Menge
  • c=0 ... Ursprung


Niveauflächen:

Niveauflächen stellen ein Analogon zu den Niveaulinien dar, gelten aber für Funktionen in 3 Variablen: f(x,y,z) = c; der Graph (x,y,z,f(x,y,z)) ist eine Teilmenge des \mathbb{R}^4.

Physikalische Bedeutung: Äquipotentialflächen in Feldern.

Skalar- und Vektorfelder

Feld

Ein Feld ist eine physikalische Größe, die in verschiedenen Raum- und zu verschiedenen Zeitpunkten unterschiedliche Werte annehmen kann.

Ein Ortsvektor

ist die Zusammenfassung der Koordinaten von Punkten der Ebene oder des Raumes, um sie besser beschreiben zu können. Bezeichnet als \overrightarrow{x}

Radialkoordinate

ist der (Absolut-)Betrag des Ortsvektors, also der Abstand zwischen einem durch den Ortsvektor \overrightarrow{x} beschriebenen Punkt und dem Ursprung.

r~\equiv~|\overrightarrow{x}|~=~\sqrt{x^2+y^2}~bzw.~r~\equiv~|\overrightarrow{x}|~=~\sqrt{x^2+y^2+z^2}

Skalarfelder

Das Skalarfeld (Skalares Feld) ist an jedem Punkt durch eine einzelne Zahl bestimmbar.

 f~\equiv~f(x,y)~oder~f~\equiv~f(x,y,z)

Skalare Felder mit Symmetrien

Homogenes oder konstantes skalares Feld

Der Wert ist nicht vom Ort \overrightarrow{x} abhängig, sondern ist überall konstant C. Es gilt: f(\overrightarrow{x})~=~C für alle \overrightarrow{x}

Radialsymmetrisches skalares Feld

Das radialsymmetrisches skalare Feld f(\overrightarrow{x}) ist nur eine Funktion der Radialkoordinate r und es lässt sich immer in der Form :

f(\overrightarrow{x})~=~f(r)

schreiben.


Vektorfelder

Vektorfeld

Symmetrie:

Ein Vektorfeld ist homogen/konstant, wenn für alle \vec x gilt: \vec v (\vec x)=\vec c \vec c....konstanter Vektor

Ein Vektorfeld ist radialsymmetrisch, wenn es von der Form \vec v(\vec x) = f(r) \vec x ist. Es ist in jedem Punkt parallel zu , seine Orientierung und Länge sind für alle Punkte, die von Ursprung gleich weit entfernt sind, gleich. z.B. \vec v(\vec x) = r^2 \vec x; ~ \vec F(\vec x)= \frac{- \vec x}{|\vec x|^3}

Ein Vektorfeld in 3 Dimensionen ist ringförmig, wenn es von der Form \vec v(\vec x)=f(\rho) \begin{pmatrix} -y \\  x \\ 0 \end{pmatrix} ist, wobei \rho=\sqrt{x^2+y^2}. Es erscheint radial um die z-Achse, wobei das Vektorfeld parallel zur xy-Ebene ist. z.B. \vec B (\vec x)= \frac{c}{x^2+y^2} \begin{pmatrix} -y \\  x \\ 0 \end{pmatrix}

Vektoranalysis

Gradient

Der Gradient, auf ein Skalarfeld f angewandt, ergibt ein Vektorfeld: \vec \nabla f= \begin{pmatrix} {\partial_x f} \\{\partial_y f} \\{\partial_z f} \\  \end{pmatrix}

Nabla-Operator: \vec \nabla= \begin{pmatrix} {\partial_x} \\{\partial_y} \\{\partial_z} \\  \end{pmatrix}

 \overrightarrow{\nabla}  f= \begin{pmatrix}
  \frac{\partial f}{\partial x} \\
  \frac{\partial f}{\partial y} \\
  \end{pmatrix} bzw.


 \overrightarrow{\nabla}  f= \begin{pmatrix}
  \frac{\partial f}{\partial x} \\
  \frac{\partial f}{\partial y} \\
  \frac{\partial f}{\partial z} \\
 \end{pmatrix}


Bedeutung:

Der Gradient von f zeigt in die Richtung des maximalen Zuwachses.

Der Gradient steht normal auf die Niveaulinien/-flächen von f

Für ein Skalarfeld in 2 Dimensionen ist der Gradient ein 2 dimensionaler Vektor.

Kritischer Punkt:

Eine Stelle x0, an der \vec\nabla f = 0 gilt, ist ein Kritischer Punkt. Dies tritt für lokale Maxima und Minima von f auf.

Gradientenfeld:

Ein Vektorfeld, das der Gradient eines Skalarfeldes ist, wird Gradientenfeld oder konservatives Vektorfeld genannt. Das Skalarfeld wird als Potential(funktion) bezeichnet.

Divergenz

Die Divergenz wird auf ein Vektorfeld angewandt und es ergibt sich ein Skalarfeld.

div ~ \vec v (\vec{x}) = \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z} = \partial_x v_x + \partial_y v_y + \partial_z v_z

Bedeutung: Die Divergenz stellt eine Quellstärke dar. Bildlich gesprochen: Die Divergenz eines Vektorfeldes gibt an, wo und wieviele Feldlinien entspringen oder verschluckt werden.

Rotation

rot(\overrightarrow{v}(\overrightarrow{x})) = \overrightarrow{\nabla} \times \overrightarrow{v}(\overrightarrow{x}) = \begin{pmatrix}
  \frac{\partial }{\partial x} \\
  \frac{\partial }{\partial y} \\
  \frac{\partial }{\partial z} \\
 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
  v_x \\
  v_y \\
  v_z \\
 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
  \partial_y v_z - \partial_z v_y \\
  \partial_z v_x - \partial_x v_z \\
  \partial_x v_y - \partial_y v_x \\
 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
  \partial_2 v_3 - \partial_3 v_2 \\
  \partial_3 v_1 - \partial_1 v_3 \\
  \partial_1 v_2 - \partial_2 v_1 \\
 \end{pmatrix}



  • Die Rotation eines Vektorfeldes \overrightarrow{v}{(\overrightarrow{x})} ist das Vektorprodukt aus dem Operator "Gradient" mit dem Vektorfeld. Sie beschreibt das Rotationsverhalten eines Vektorfeldes.

Laplace-Operator

 \overrightarrow{\Delta} f = \overrightarrow{\nabla} \overrightarrow{\nabla} f = div \overrightarrow{\nabla}f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} 
  • Der Laplace-Operator Δ kann als das Skalarprodukt von  \overrightarrow{\nabla} mit sich selbst verstanden werden.

Zusammenhänge

Zwischen den einzelnen Vektoroperatoren gibt es folgende Zusammenhänge (Beweis durch einfaches Ausrechnen):

  • Die Rotatition des Gradienten ergibt Null: rot (\overrightarrow{\nabla} f) = 0
Wenn die Rotation eines Vektorfelds \overrightarrow{v}(\overrightarrow{x}) Null ist, kann daher dieses Feld der Gradient einer Skalaren Funktion f sein. \overrightarrow{v}{(\overrightarrow{x})} ist ein "Gradientenfeld".
  • Die Divergenz der Rotation ergibt Null: div (rot \overrightarrow{v}{(\overrightarrow{x})}) = 0
Verschwindet die Divergenz eines Vektorfelds \overrightarrow{u}(\overrightarrow{x}), so ist dieses Feld die Rotation eines Vektorfelds \overrightarrow{w}(\overrightarrow{x}).

Koordinatensysteme

Ebene Polarkoordinaten

Die Transformation von Kartesische Koordinaten auf ebene Polarkoordinaten funktioniert wie folgt:
Bild:Polarkoordinaten.JPG
x = r~ \cos{\phi}
y = r~ \sin{\phi}
oder umgekehrt:
 r = \sqrt{x^2+y^2}
\tan{\varphi}= \frac{y}{x}

Kugelkoordinaten

Die Position eines Punktes im R³ wird durch 3 Zahlen beschrieben. Die Charakterisierung eines Punktes durch diese 3 Zahlen erfolgt mit Hilfe eines Koordinatensystems. Kugelkoordinaten beschreiben die Lage eines Punktes durch

  • den Abstand zum Ursprung:  r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}
  • die Winkelkoordinaten \theta~und~\varphi


Bild:Kugelkoordinaten.JPG


Bereiche in denen Kugelkoordinaten varieren können:

r \ge 0
0 \ge \theta\le \pi
0 \le \varphi < 2\pi  
\varphi = 0~wird~mit~\varphi=2\pi~identifiziert

Umrechnung: Kartesische Koordinaten <=> Kugelkoordinaten

x=r~\sin\theta~cos\varphi
y=r~\sin\theta~sin\varphi
z=r~\cos\theta

Spezielle Gebiete des Raumes:

  • r=0~ beschreibt den Ursprung
  • \theta=0~bzw.~\theta=\pi beschreibt Punkte auf der z-Achse
  • r=R~ beschreibt eine Sphäre um den Ursprung vom Radius R
  • r\le R beschreibt eine Vollkugel um den Ursprung vom Radius R
  • \theta\le\cfrac{\pi}{2} beschreibt den oberen Halbraum (einschließlich xy-Ebene)
  • r\le R,\theta\le\cfrac{\pi}{2} beschreibt eine Halbkugel

Zylinderkoordinaten

beschreiben Situationen, die eine Zylindersymmetrie aufweisen. Die Lage eines Punktes P wird durch

  • seinen (Normal-)Abstand zur z-Achse \rho=\sqrt{x^2+y^2} (die Zylinderkoordinate)
  • den Winkel φ
  • die z-Koordinate

Umrechnung in kartesische Koordinaten:

x= \rho \cdot \cos \varphi

y= \rho \cdot \sin \varphi

z=z\,\!


Bild:Zylinderkoordinaten.JPG


Bereiche, in denen Zylinderkoordinaten variieren können:

\rho \ge0
0\le\varphi<2\pi
\varphi=0 wird mit \varphi=2\pi identifiziert
z~...beliebig

Gebiete im Raum, die beschrieben werden können:

\rho=0~ beschreibt die z-Achse
\rho=R~ beschreibt (unendlich lange) Zylinderoberfläche mit der z-Achse als Symmetrieachse und Radius R
\rho\le R beschreibt (unendlich langen) Vollzylinder
\rho\le R,~a\le z\le b beschreibt einen (endlichen) Vollzylinder

Physikalische Bedeutung

Ebene Polarkoordinaten werden beim Rechnen mit Komplexen Zahlen bzw. Komplexen Exponentialfunktion in der Gauß'schen Zahlenebene verwendet.
Kugel- und Zylinderkoordinaten können das Berechnen von Integralen enorm vereinfachen.




Mehrfachintegrale

Hauptsatz der Differential- & Integralrechnung

 \int \limits _{a}^{b} dx f(x) = F(x) \vert _{a}^{b} \equiv F(b) - F(a) 
F(x) ... Stammfunktion von f(x)


Flächenintegrale

Flächenintegrale sind Integrale über Funktionen in 2 Variablen. Man stelle sich beispielweise eine Skalare Funktion vor, die jedem Punkt in einer (x,y)-Ebene einen Wert (z) zuweist. So werden mit dem Integral alle Werte (z) innerhalb des Integrationsbereichs (auf der (x,y)-Ebene = Gebiet G) aufsummiert. Dabei bedient man sich der üblichen Vereinfachung, die Fläche in infinitessimal kleine Flächenstücke Δf zu unterteilen, über die dann integriert wird:

Bild:Flächenintegral.JPG

Schreibweise

\int\limits_{G}^{}dxdy~f(x,y)~\equiv\int\limits_{G}^{}dx^2~f(x,y) \equiv\int\limits_{G}^{}dA~f(x,y)\equiv \int\limits_{G}^{}dxdy~f(\overrightarrow{x})


Das Gebiet G ist dabei zumeist durch Grenzen definiert (Allgemein:  a \le x \le b und  c \le y \le d , Ausnahmen bilden geschloßene Kurven). Des weiteren muss für f(x,y) der entsprechende Integrant eingesetzt werden. Um nun das Flächenintegral zu lösen wird einzeln und nacheinander nach allen allen Variablen integriert. Zum Beispiel wird bei dem Integral \int\limits_{G}^{}dxdy~(\cos{Rx} + \sin{xy}) zuerst der ganze Integrant nur nach y integriert, wobei x als Konstante betrachtet wird. Nicht vergessen auf das Einsetzen der Grenzen! Dannach wird das Ergebnis nach x integriert.


Beispiel

\int\limits_{x=0}^{x=1}dx \int\limits_{y=2}^{y=3}dy~(x^2+y)~=~\int\limits_{x=0}^{x=1}dx~\left(\left(x^2 y+ \cfrac{y^2}{2} \right)\vert _{y=2}^{y=3}\right)~=~\int\limits_{x=0}^{x=1}dx \left(x^2+\cfrac{5}{2}\right)~= =~\left(\cfrac{x^3}{3}~+~\cfrac{5}{2}x\right) |_{x=0}^{x=1}~=~\cfrac{17}{6}


Flächenintegrale in ebenen Polarkoordinaten

In manchen Fällen, besonders bei der Berechnung von Integralen über Kreise und Kreissegmente, ist es günstiger ebenen Polarkoordinaten zu verwenden. Dabei wird das Flächenelement wie folgt von Karthesischen in Polarkoordinaten umgerechnet:

d^2x~=~dr \cdot r \cdot d\varphi

Das volle Integral:

\int\limits_{r_{1}}^{r_{2}}dr \cdot r \int\limits_{\varphi_{1}}^{\varphi_{2}}d\varphi~f(r,\varphi)

Dabei darf nicht vergessen werden, die Grenzen des Integrals entsprechend zu setzten. Bei der Berechung wird gleich der Berechnung von Flächenintegralen in Karthesischen Koordinaten vorgegangen.

Integralsgrenzen für eingache geometrische Figuren

Kreis: 0 \le r \le R; 0 \le \varphi\le 2\pi;
Oberer Halbkreis: 0\le r\le R;  0\le\varphi\le \pi;
Kreissegment um Winkel α: 0\le r\le R; 0\le\varphi\le\alpha 
Kreislinie: r = R; 0\le\varphi\le 2\pi

Volumsintegrale

Volumsintegrale sind Aufsummierungen über die Werte einer Funktion in 3 Dimensionen. Man stelle sich etwa eine Skalare Funktion in 3 Dimensionen vor, die jedem Punkt im Raum einen Wert zuordnet. Das Volumsintegral über einen Raumbereich der Funktion entspricht einer Aufsummierung über alle Werte im Gebiet.


Schreibweise

\int\limits_{G}^{}d^3x~f(x,y,z)~=~\int\limits_{G}^{}d^3x~f(\overrightarrow{x})
d^3x~=~dx \cdot dy \cdot dz~=~dV 


Volumsintegrale in Kugel- und Zylinderkoordinaten

Zur Berechnung von Integralen über Kugeln, Kugelsegmente oder Zylinder(-segmente) eignen sich Kugel- bzw. Zylinderkoordinaten besser, Raumbereiche lassen sich einfacher darstellen.


Kugelkoordinaten

\int\limits_{r_{1}}^{r_{2}}dr \cdot r^2~\int\limits_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}d\theta \cdot \sin{\theta}~\int\limits_{\varphi_{1}}^{\varphi_{2}}~d\varphi~f(r,\theta,\varphi)


Zylinderkoordinaten

\int\limits_{\rho_{1}}^{\rho_{2}}d\rho \cdot \rho~\int\limits_{\varphi_{1}}^{\varphi_{2}}~d\varphi~\int\limits_{z_{1}}^{z_{2}}dz~f(\rho,\varphi,z)


Beispiele für einige geometrische Körper

Integralsgrenzen für einige spezielle Körper:

Kugel: 0\le r \le R;  0\le \Theta \le \pi;  0 \le \varphi \le 2\pi 
Obere Halbkugel: 0\le r \le R;  0\le \Theta \le \frac{\pi}{2} ;  0 \le \varphi \le 2\pi
Sphäre: r = R; 0\le \Theta \le \pi; 0\le \varphi \le 2\pi
Kugelsegment mit Winkel α: 0\le r \le R; 0\le\Theta\le \alpha; 0 \le \varphi \le 2\pi
Zylinder: 0 \le \rho \le R;   0 \le \varphi \le 2\pi;  0 \le z \le H


Das Volumen einer Kugel wird daher wie folgt berechnet:

\int\limits_{r=0}^{r=R}dr \cdot r^2~
\int\limits_{\theta =0}^{\theta =\pi}d\theta \cdot \sin{\theta}~\int\limits_{\varphi =0}^{\varphi =2\pi}~d\varphi~=~\cfrac{R^3}{3} \cdot 2 \cdot 2\pi~=~\cfrac{4\pi R^3}{3}


Physikalische Anwendung

Volumsintegrale können zum Beispiel zur Berechnung der Masse oder der Ladung bei vorhandener Massen- bzw. Ladungsdichte (Integrant) verwendet werden. Dabei ist eine Funktion in 3 Variablen gegeben, welche die Massen- oder Ladungsdichte in einem Raumbereich beschreibt. Integriert man über den Raumbereich von Interesse erhält man die dort vorhandene Masse bzw. Ladung.

Parameterdarstellung

Die Parameterdarstellung ist eine Möglichkeit, eine beliebige Kurve (zB. Gerade oder Kreis) darzustellen. Ein Parameter t~durchläuft einen spezifizierten Zahlenbereich (Parameterbereich), von einem Anfangs- zu einem Endwert. Dabei wird jedem Wert von t~ein Kurvenpunkt zugewiesen. Verdeutlicht kann man sich einen Punkt vorstellen, der eine Kurve entlang läuft.
Die Kurve \gamma~ist also eine Abbildung des Parameterbereichs in den Raum (oder in die Ebene).

Komponentenschreibweise

\overrightarrow{x}(t) = \begin{pmatrix}
  x(t) \\
  y(t) \\
 \end{pmatrix} a \le t \le b ,  für beliebige Werte für a,b

Parameterdarstellungen spezieller Funktionen:

Gerade:

\overrightarrow{x}_{(t)} =~\overrightarrow{p}+(\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p})t ~~~~ 0\le t \le 1


Wobei p der Anfangs- und q der Endpunkt ist. Diese Formel gilt sowohl in der Ebene als auch im Raum.


Kreislinie:

\overrightarrow{x}_{(t)} = R  \begin{pmatrix}
  \cos t \\
  \sin t \\
 \end{pmatrix},  ~~~0 \le t \le 2\pi


Kreislinie in der Ebene mit dem Mittelpunkt im Ursprung und dem Radius R. Die Kreislinie wird im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen.

Schraubenlinie:

\overrightarrow{x}_{(t)} = \begin{pmatrix}
  R  \cos t \\
  R  \sin t \\
  c  t \\
 \end{pmatrix},  ~~~0 \le t \le 4\pi


Für gegebenes R>0 und c ≠ 0 beschreibt die obige Formel eine Schraubenlinie um die Z-Achse, die 2 Windungen durchläuft.

Tangentenvektor

Die Ableitung einer Kurve in Parameterdarstellung ergibt den Tangentenvektor der Kurve im entsprechenden Punkt. Abgeleitet wird komponentenweise:

Parser-Fehler (die PNG-Konvertierung schlug fehl): \dot\overrightarrow{x}_{(t)} = \begin{pmatrix} \dot x(t) \\ \dot y(t) \\ \end{pmatrix}, a \le t \le b , für beliebige Werte für a,b



Linienintegrale (Kurvenintegrale)

Definition

Wichtig für die Ausführung der Linienintegrale ist die Kenntnis der sogenannten Parameterdarstellung.

Das Linienintegral beschreibt die Arbeit W welche längs des Weges \gamma~vom Punkt t_0~bis zum Punkt t_1~verrichtet wird.

Bild:Paramterkurve.JPG

Parser-Fehler (die PNG-Konvertierung schlug fehl):  W~=~\int\limits_{\gamma}^{}\overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{x}~=~\int\limits_{t_{0}}^{t_{1}}dt \dot\overrightarrow{x}(t) \cdot d\overrightarrow{F}(\overrightarrow{x}(t))


Berechnung eines Linienintegrales:

1) Die Anfangs- und Endpunkte der Kurve sind zu ermitteln


2) Der Tangentenvektor muss berechnet werden. Dieser Schritt erfolgt durch komponentenweises ableiten der gegebenen Funktion.


3) Die gegebene Kurve wird in das Vektorfeld eingesetzt.


4) Berechnung des Integrals


Beispiel:

Das Linienintegral \int\limits_{\gamma}^{}d\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{F} ist zu berechnen wobei:\overrightarrow{F}(\overrightarrow{x})= \begin{pmatrix}
\ 0  \\
\ 0  \\
\ x^2+y^2  \\
\end{pmatrix}

die durch γ \overrightarrow{x}(t)= \begin{pmatrix}
\ t  \\
\ 0  \\
\ r^2/2  \\
\end{pmatrix},~0 \le t \le 1
definierte Kurve ist.


Vorgangsweise:

1) Anfangs und Endpunkte der Kurve sind schon gegeben


2) Tangentenvektor berechnen:


Parser-Fehler (die PNG-Konvertierung schlug fehl): \dot \overrightarrow{x}(t)= \begin{pmatrix} \ 1 \\ \ 0 \\ \ t \\ \end{pmatrix}


3) Vektorfeld am Kurvenpunkt x(t) auswerten:


\overrightarrow{F}(\overrightarrow{x(t)})= \begin{pmatrix}
\ 0  \\
\ 0  \\
\ x(t)^2+y(t)^2  \\
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\ 0 \\
\ 0 \\
\ t^2 \\
\end{pmatrix}


4) Berechnen des Integrals:


\int\limits_{\gamma}^{}d\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{F}=\int\limits_{0}^{1}dt \begin{pmatrix}
\ 1 \\
\ 0 \\
\ t \\
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
\ 0 \\
\ 0 \\
\ t^2 \\
\end{pmatrix}
= \int\limits_{0}^{1}dt~t^3 =1/4

Wichtiger Spezialfall

Linienintegral eines Gradientenfeldes (konservatives Vektorfeld)

\int\limits_{\gamma}^{}d\overrightarrow{x} \cdot\overrightarrow{\nabla}f~=~f_{Endpunkt}~-f_{Anfangspunkt}

Vergleiche dazu den Hauptsatzes für Differntial- und Integralrechnung

\int\limits_{a}^{b}dx \cdot f'(x)~=~f(b)-f(a)

Dieses Linienintegral ist wegunabhängig!


Physikalische Bedeutung

"Die Arbeit ist unabhängig vom Weg!"

\overrightarrow{F}(\overrightarrow{x})~=~ C \cfrac{\overrightarrow{x}}{r^3}~=~ -\overrightarrow{\nabla} \cfrac{C}{r}


\int\limits_{\gamma}^{}d\overrightarrow{x} \cdot\overrightarrow{F}~=~ \cfrac{C}{r_{Anfang}}-\cfrac{C}{r_{Ende}}~=~Potentialdifferenz

Oberflächenintegrale

Definition

Das Oberflächenintegral beschreibt den Fluss durch eine beliebige Oberfläche. Dies kann auch die Randfläche eines Volumens sein, das entspricht dann dem Fluss aus dem Volumen heraus. Dabei werden die Flüsse durch alle infinitesimalen Flächenstücke aufsummiert. Benötigt werden die Fläche und das Vektorfeld, dessen Fluss berechnet werden soll. Dieses kann zum Beispiel die Geschwindigkeit \overrightarrow{v} einer Flüssigkeit sein oder auch ein elektrisches oder magnetisches Feld.

  • dA ist das infinitessimale, skalare Flächenstück
  • \overrightarrow{n}(\overrightarrow{x}) ist der Einheitsnormalvektor auf das Flächenstück im Punkt x
  • d\overrightarrow{A} ist im Raum orientierte vektorielle Flächenelement
  • \overrightarrow{v} ist das Vektorfeld, dessen Fluss berechnet wird

Das Oberflächenintegral zur Berechnung des Flusses durch eine Oberfläche:

\Phi = \iint\limits_{A}^{} {d\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{v}}=\iint\limits_{A}^{} {dA\cdot\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{v}} 

Bei einer Randfläche eines Volumens:

\Phi = \oint\limits_{\partial G}^{} {dA\cdot\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{v}}

Spezielle Flüsse

  • Der elektrische Fluss
\Phi = \int\limits_{A}^{} {d\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{E}}
  • Der magnetische Fluss
\Phi = \int\limits_{A}^{} {d\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{B}}

Berechnung

Fläche parallel zur Koordinatenebene

\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}
  0 \\
  0 \\
  1 \\
 \end{pmatrix};~dA = dxdy;  d\overrightarrow{A} = dxdy\begin{pmatrix}
  0 \\
  0 \\
  1 \\
 \end{pmatrix}

\Phi = \int\limits_{A}^{} {dxdy\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
 \end{pmatrix}\overrightarrow{v}(x,y,z)}

Sphäre

dA = R^2\cdot d\Theta \cdot\sin{\Theta}\cdot d\varphi für eine Sphäre mit Radius R

Anmerkung: Im Unterschied zum Volumsintegral fehlt hier das dr. Mit dr wird auch über den ganzen Radius integriert, so dass ein Volumen zustande kommt. Beim Oberflächenintegral fehlt das dr und es wird nur über die Oberfläche der Kugel integriert. Der Einheitsnormalvektor der Sphäre ist:

\overrightarrow{n}=\overrightarrow{n}(\overrightarrow{x})=\frac{\overrightarrow{x}}{R} =\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}
  \sin{\Theta}\cos{\varphi} \\
  \sin{\Theta}\sin{\varphi} \\
  \cos{\Theta} \\
 \end{pmatrix} 

Zylindrische Oberflächen

dA = R \cdot d\varphi\cdot dz für einen Zylinder mit Radius R
\overrightarrow{n}= \overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}
  \cos{\varphi} \\
  \sin{\varphi} \\
  0 \\
 \end{pmatrix}

Physikalische Bedeutung

Zum Beispiel bei der Berechnung von Flüssen von Feldern (magnetisch, elektrisch) oder in den Integralsätzen und damit in den Maxwellgleichungen.

Sätze der Integralrechnung

Gauß'scher Integralsatz

Es sei:
  • V ein Volumen
  • \partial V die Rand-/Oberfläche des Volumens
  • \overrightarrow{h} ein auf V definiertes Vektorfeld


so gilt:
\int\limits_{V}^{}d^3x~div~\overrightarrow{h}~=~\oint\limits_{\partial V}^{} d\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{h}
Das Volumsintegral der Divergenz eines Vektorfeldes \overrightarrow{h} über ein Volumen V ist also gleich dem Oberflächenintegral des Vektorfeldes \overrightarrow{h} über die Randfläche des Volumens.

Stoke'scher Integralsatz

Es sei:
  • A eine Fläche
  • \partial A die Randkurve
  • \overrightarrow{h} ein auf A definiertes Vektorfeld


so gilt:
\int\limits_{A}^{}d\overrightarrow{A}~rot\cdot \overrightarrow{h}~=~\oint\limits_{\partial A}^{} d\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{h}
Das Oberflächenintegral der Rotation eines Vektorfeldes \overrightarrow{h} über eine Fläche A ist also gleich dem Linienintegral des Vektorfeldes \overrightarrow{h} über die Randkurve der Fläche.

Maxwell-Gleichungen

Die Quelle eines Feldes

Es sei:
  •  \overrightarrow{E} das elektrische Feld
  • ρ die elektrische Ladungsdichte


So gilt:
div \overrightarrow{E} = \rho

Die Wirbel eines Feldes

Es sei:
  •  \overrightarrow{B} das (zeitunabhängige weil statisch betrachtete) Magnetfeld
  •  \overrightarrow{j} die elektrische Stromdichte


So gilt:
rot \overrightarrow{B}-\cfrac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t} = \overrightarrow{j}


Die Quellfreiheit des magnetischen Feldes

div \overrightarrow{B} = 0


Induktion

Die zeitliche Änderung eines Magnetfeldes bewirkt ein rotierendes elektrisches Feld (Elektrische Wirbel):

rot \overrightarrow{E}+\cfrac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t} = 0
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