LV010:LV-Uebersicht/SS11/Aufgabe 1 - Ebenengleichung

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Ebenengleichung

Im \mathbb{R}^3 ist \vec{n}\cdot\vec{x}=c (für einen gegebenen Vektor \vec{n} und eine gegebene Konstante c\,\! die Gleichung einer Ebene, die auf den Vektor \vec{n} normal steht. Beweisen Sie diese Aussage!


Beitrag von Nina Sturmlechner und Reingard Auer


1.Möglichkeit des Beweis

Man kann die Ebenengleichung durch die Parameterdarstellung herleiten.


Eine Ebene kann durch 2 ungleiche Vektoren aufgespannt werden. Wenn man zusätzlich noch einen Punkt auf der Ebene angibt, ist sie eindeutig bestimmt.

\vec{X}=P+s\,\vec{{r}_{1}}+t\,\vec{{r}_{2}},


wobei \vec{{r}_{1}} und \vec{{r}_{2}} die Richtungsvektoren der Ebene sind.

t und s sind Parameter.


Nun kann man die Gleichung mit dem auf \vec{{r}_{1}} und \vec{{r}_{2}} normalen Vektor \vec{n} multiplizieren.


\vec{n}=\vec{{r}_{1}}\times \vec{{r}_{2}}


\vec{X}\,\vec{n}=P\,\vec{n}+s\,\,\vec{{r}_{1}}\,\vec{n}+t\,\,\vec{{r}_{2}}\,\vec{n}


s\,\,\vec{{r}_{1}}\,\vec{n}=0 und t\,\,\vec{{r}_{2}}\,\vec{n}=0


(da \vec{{r}_{1}}\perp\vec{n} und \vec{{r}_{2}}\perp\vec{n}; deshalb ist das Skalarprodukt=0.)


dadurch erhält man:

\vec{X}\,\vec{n}=P\,\vec{n}


P\,\vec{n} ist eine skalare Größe, die wir mit c bezeichnen können.


Daraus ergibt sich:

\vec{X}\,\vec{n}=c

die oben angegebene Normalvektorform.

2.Möglichkeit des Beweises

Annahme: X ist ein Element der Ebene E \left(X\in E \right) und P ist ein Element der Ebene E \left(P\in E \right)

Dann gilt, dass ein Vektor n, der normal auf die Ebene E steht auch normal auf den Vektor \vec{PX} steht:


\vec{n}\perp E beziehungsweise \vec{n}\perp \vec{PX}


\Rightarrow Daraus folgt: \vec{n}*\vec{PX}=0


Dies lässt sich umformen zu:


\vec{n}*\left(X-P \right)=0


\vec{n}*X-\vec{n}*P=0


\vec{n}*X=\vec{n}*P

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