LV010:LV-Uebersicht/SS11/Aufgabe 6 - Rang einer Matrix

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Inhaltsverzeichnis

Rang einer Matrix

Der Rang einer Matrix wird in der Vorlesung nur kurz erwähnt. Erläutern und illustrieren Sie dieses Konzept anhand von 2\times 2- und 3\times 3-Matrizen!

Beirtag von

BAYER David (a0926303), GRÜNER Georg (a0949044), WÖCKL Patrick (a0907874), OPPERMANN Silas (a???????)

Definition:

Für eine Matrix A definiert man den Zeilenraum ZR(A) als die lineare Hülle der Zeilenvektoren aus A. Die Dimension des Zeilenraums bezeichnet man als Zeilenrang. Analog definiert man den Spaltenraum SR(A) und den Spaltenrang durch die Spaltenvektoren. Man kann zeigen, dass der Zeilen- und Spaltenrang jeder Matrix gleich ist und spricht deshalb vom (wohldefinierten) Rang der Matrix. Schreibweise: rang(A)

Eigenschaften:

  • Der Rang einer Matrix A ist gleich dem Rang der transponierten Matrix AT. Mit anderen Worten: Die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen einer MAtrix ist gleich der Anzahl der linear unabhängigen Spalten ("Zeilenrang=Spaltenrang")
  • Elementare Zeilenumformungen (und analog elementare Spaltenumformungen) lassen den Rang einer Matrix unverändert.
  • Die einzige Matrix mit Rang 0 ist die Nullmatrix 0m,n . Die n\!\times\!n-EinheitsmatrixEn hat den vollen Rang n.
  • Für den Rang einer m\!\times\!n-Matrix A gilt:
    \mathrm{rang}(A) \leq \min \{m,n\}
  • Die Transponierte Matrix AT einer Matrix A hat den gleichen Rang wie A:
    \operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A^T)\;
  • Erweiterung: Der Rang einer Matrix A und der zugehörigen Gram-Matrix sind gleich:
    \mathrm{rang}(A) = \mathrm{rang}(A^TA) = \mathrm{rang}(AA^T) = \mathrm{rang}(A^T)\;
  • Für zwei Matrizen mit jeweils passenden Größen gilt:
    \mathrm{rang}(A+B) \leq \mathrm{rang}(A) + \mathrm{rang}(B)
    \mathrm{rang}(A \cdot B) \leq \mathrm{min}\left\{\mathrm{rang}(A),\mathrm{rang}(B) \right\}
  • Rangungleichung von James Joseph Sylvester: Für n×n-Matrizen A und B gilt:
    \mathrm{rang}(A) + \mathrm{rang}(B) -n \leq \mathrm{rang}(AB)
  • Ein lineares Gleichungssystem A \cdot x = b ist lösbar genau dann, wenn b \in SR(A) gilt.
  • Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv]], wenn die Abbildungsmatrix A \in K^{m \times n} vollen Spaltenrang hat: rang(A) = n
  • Eine lineare Abbildung ist genau dann surjektiv, wenn die Abbildungsmatrix A \in K^{m \times n} vollen Zeilenrang hat: rang(A) = m
  • Eine lineare Abbildung ist genau dann bijektiv, wenn die Abbildungsmatrix A \in K^{m \times n} quadratisch ist (m = n) und vollen Rang hat: rang(A) = m = n
  • Rangsat] (Zusammenhang zwischen dem Rang und dem Defekt einer linearen Abbildung):
    \dim V = \mathrm{rang}(f) + \mathrm{def}(f)\;

Rang einer Matrix - Beispiel

Um den Rang einer Matrix zu bestimmen, formt man diese mittels des Gaußsches Eliminationsverfahrenin eine äquivalente Matrix in Stufenformum. Die Anzahl der Zeilenvektoren, die ungleich 0 sind, entspricht dann dem Rang der Matrix.

Beispiele:

  • A =
   \begin{pmatrix}
    1 &  2 &  3 \\
    0 &  5 &  4 \\
    0 &  10 &  2
  \end{pmatrix}
  \sim
    \begin{pmatrix}
    1 &  2 &  3 \\
    0 &  5 &  4 \\
    0 &  0 &  -6
  \end{pmatrix}

 \Rightarrow \mathrm{rang}(A) = 3
  • B =
   \begin{pmatrix}
    1 &  2 &  3 \\
    0 &  6 &  4 \\
    0 &  3 &  2
  \end{pmatrix}
  \sim
    \begin{pmatrix}
    1 &  2 &  3 \\
    0 &  6 &  4 \\
    0 &  0 &  0
  \end{pmatrix}

 \Rightarrow \mathrm{rang}(B) = 2

Alternativ lässt sich die Matrix auch in Spaltenstufenform umformen. Der Rang der Matrix entspricht dann der Anzahl der Spaltenvektoren, die ungleich 0 sind.

Quelle: "Mathematik für Informatiker, Band 1" Gerald Teschl, Susanne Teschl
Wikipedia

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