LV012:LV-Uebersicht/SS08/Vortraege/Gruppe 5 - Schwarzes Loch und 3. Kepler Gesetz

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Vorlage:Von Marian Petre & Georg Hanisch

=Schwarzes Loch im Zentrum der Milchstraße und 3. Kepler Gesetz=

Inhalt:

1. Vermessung der Umlaufellipse 2. Korrektur der Umlaufellipse 3. Das 3. Keplersche Gesetz 4. Berechnung der Masse von Sagittarius A 5. Berechnung des Schwarzschildradius 6. Ist Sgr A* ein Schwarzes Loch? 7. Weitere Vermutungen

Inhaltsverzeichnis

1. Vermessung der Umlaufellipse

Im Zentrum der Milchstraße befindet sich ein „Dunkles Objekt“ mit sehr großer Masse, genannt Sagittarius A*.

Schwarze Löcher können sich durch:

  • ihre Gravitationswirkung auf benachbarte Sterne,
  • im Röntgenbereich liegende Strahlung von hineinfallender Materie

bemerkbar machen.

Im vorgeführten Video sieht man die Bewegungen einiger Sterne um dieses Objekt im Laufe von 15 Jahren.



Schnappschüsse 1992 1992.2 1992.4 2006.6 2006.8

Es ist somit möglich, über die elliptischen Bewegungen dieser Sterne um Sgr A* auf dessen Masse zu schließen.

An folgendem Ausschnitt (Abb.1)ist es möglich, die Parameter der Ellipsenbahn abzuschätzen:

Abb.1: Sgt A*

Nach der Auswahl eines Maßstabs von 1:1.087 ld/cm, findet man folgenden Parameter:



große Halbachse:

 a'= 4{,}19  \, \rm ld (Lichttage)

kleine Halbachse:

 b'= 2{,}55  \, \rm ld

Brennweite (Abstand Brennpunkt-Mittelpunkt):

 e'= 3{,}4  \, \rm ld

_________________________________________________________________________________________________

Aufgrund von Beobachtungen von Sternenbewegungen besteht Grund zu der Annahme, dass in der Mitte unserer Milchstrasse sich ein sehr Massereiches Objekt (oder eine Ansammlung vieler Massereicher Objekte) befindet. Es ist ein schwarzes Loch, welches als Sagittarius A* bezeichnet wird.

Auf dem vorgezeiten clip sind die Sterne und ihre Bewegungen der letzten 15 Jahre zu sehen. Nähers betrachten wir den Stern S2 welcher sich für die Berechnung hervorragend eignet: Seine maximale Geschwindigkeit hatte Ver Stern im Jahre 2002 und bewegt sich so, dass wir von einer Keplerbahn sprechen können.

Umlaufsdauer des Sternes: T = 15,2 Jahre Seine maximale Geschwindigkeit: v = ca 5000km/s Große Halbachse: a = 5,5 Ld (Lichttage, \ 1Ld = 3,860695 x 10^{14} m

2. Korrektur der Umlaufellipse

Es fällt auf, dass Sgr A* (rote Markierung) nicht im Brennpunkt der Bahnellipse des Sterns liegt: sonst läge der Brennpunkt zu viel nach vorne, also  e' \approx a' und damit  b' = \sqrt{a'^2-e'^2}\approx 0 , also die Bahn wäre fast eine Gerade.

Die Ellipse muss also aus unserer Sicht schief liegen. Das heißt, wir schauen etwas schräg auf die Ellipse in Richtung der großen Halbachse und somit ist die deren Länge verzerrt.

a' ist eine Projektion von a und genauso e' eine Projektion von e durch eine Ebene vom Winkel / Phi zu der Ebene der korrekten Ellipse, also:

a' = a / Cos / Phi e' = e / Cos / Phi

und b´ = b, da die kleinen Halbachsen parallel in den zwei Ebenen sind. Damit sind die Exzentrizitäten gleich:

e´/ a´ = e / a, also e = ae´ / a´

und, da in einer Ellipse

e² = a² - b², folgt daraus:

a² = e² + b² = (ae´ / a´)² + b´², also a² - a² (e´² / a´²) = b´², also a² (a´² - e´² / a´²) = b´² und damit a² = a´²b´² / a´² - e´², also:

          __________

a = a´b´/ √ a´² - e´² ≈ 4,36 ld.

Das heißt, die Halbachse der unverzerrten Ellipse ist

a = 4,36 • c • 24 • 60 • 60 m, wobei c = 299 792 458 m/s die Lichtgeschwindigkeit ist, also:

a ≈ 1,3 • 10 ⁿ, mit n = 14.


3. Das 3. Keplersche Gesetz

Das 3. Keplersche Gesetz verknüpft die Umlaufzeit T mit der großen Halbachse a der Bahnellipse:

Das Quadrat der Umlaufzeit wächst proportional zur dritten Potenz der großen Halbachse und umgekehrt proportional zur Massensumme:

T² = 4 π² a³ / G (m + M), wobei G die Gravitationskonstante ist.

Da m viel kleiner als M ist, kann man m in der Formel vernachlässigt werden, also: T² = 4 π² a³ / G M. _______________________________________________________________________________________________

Das 3. Keplersche Gesetz verwenden wir nacher zur Berechnung der Masse des Objektes.

a³ / T² = G * (M - m) / 4π² M = Masse des schwarzes Loches m = Masse des Sterns

4. Berechnung der Masse von Sagittarius A*

Mit dieser Formel ist es möglich, die Masse des Sgr A* zu berechnen.

Die Umlaufzeit ist von 14,8 Jahren, also in Sekunden:

T = 14,8 • 365 • 24 • 60 • 60 s

T = 4,7 • 10 ⁿs, mit n = 8.

und damit ergibt sich für die Masse von Sgr A*:

M = 4 π² a³ / G T²

M = 5,86 • 10 ⁿkg, mit n = 36.


(also etwa 2,9 Mio Sonnenmassen)

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Mit der obigen Formel ist es uns nun möglich die Masse vom schwarzen Loch zu berechnen:

Da M >> m ist können wir m in der Gleichung vernachlässigen T übernehmen wir aus den Beobachtungen (Punkt 1)

=> M ~ a³ / T² * 4π² / G

welches uns zu folgendem Ergebnis führt:

Masse von Sagittarius A* = 8,1473 * 10ⁿkg wobei n = 36

Dies entspricht ca der Masse von 2,5 millionen mal unserer Sonne

5. Berechnung des Schwarzschildradius

Damit SgrA* ein schwarzes Loch sein kann, darf sein Radius maximal dem Schwarzschildradius entsprechen, der berechnet wird durch:

R = 2GM / c² = 8,7 Mio m

(mit c Lichtgeschw.)

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Ein Beweis dafür, dass SgrA* ein schwarzes Loch ist, liefert uns die Bestimmung vom Schwarzschildradius.

Mit einem Radiospektrum ist die charakteristische Größe der Radioquelle bestimmbar.

unser Objekt hat ein Maximum bei 10ⁿ Hz (n liegt zwischen 12 und 13) welches gerade dem doppelten des erforderlichen Radius entspricht und somit ein weiteres Indiz ist, dass SgrA* ein schwarzes Loch ist

6. Ist Sgr A* ein Schwarzes Loch?

Um auf die Frage positiv zu antworten fehlt nur noch eine

Abschätzung des Radius von SgrA*:

Sgr A* strahlt in gewissen Frequenzbereichen. 2003 wurde ein erhöhter Ausstoß von Röntgenstrahlung entdeckt (Abb 3). Dabei hatten sich die Helligkeitsänderungen der hochenergetischen Röntgenstrahlung innerhalb von fünf bis zehn Minuten ereignet.(Abb 4) In diesem Zeitraum war Sagittarius A* im Röntgenbereich über 45 Mal heller geworden, bevor die Strahlungsintensität binnen weniger Minuten wieder drastisch abfiel .

(Abb 3)
(Abb 4)

Diese Veränderung wurde vermutlich durch einen Flare verursacht. Man vermutet, dass solch ein Aufleuchten durch eine Ansammlung von heißem Gas kurz vor dem Verschwinden hinter dem Ereignishorizont erzeugt wird. Die Periodizität wäre damit durch das schnelle „Wirbeln“ des Objektes um das Schwarze Loch zu erklären. Das wiederum bedeutet, der maximale Radius kann maximal 2,5-5 Lichtminuten betragen . Jeder langsamere Prozess (unter Lichtgeschwindigkeit) würde den Radius nur verkleinern.


Ein Vergleich der Radien zeigt zwar, dass der Radius von SrgA* um zwei Größenordnungen [exakte Daten -> vermutlich 20 mal größer] über dem berechneten Schwarzschildradius liegt, es ist aber durchaus möglich, dass die vereinfachten Annahmen einen so großen Fehler erzeugen (allein schon die dritte Potenz von a zur Berechnung der Masse und deren Ablesen von der Aufnahme ergeben eine große Fehlerfortpflanzung.)

In Abb 6 sieht man eine Animation der momentan vermuteten Größe von SrgA* im Vergleich mit unserem Sonnensystem.

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Neben der Möglichkeit dass SgrA* ein schwarzes Loch ist gibt es noch andere Erklärungen bzw. Objekte, die die Berechnungen und Beobachtungen erklären könnte, aber alle auszuschließen sind möglich andere Objekte: 1) Einen Fermionenhaufen

  Aber auszuschließen, da die Fluchtgeschwindigkeit zu niedrig wäre und somit S2 eine längere Umlaufperiode haben müsste

2) Bosonenhaufen

  nicht gänzlich ausgeschlossen, jedoch extrem unwahrscheinlich und unglaubwürdig

3) Neutronenstern

  Wäre möglich, jedoch würde er durch seine enorme Masse zu einem schwarzen Loch kollabieren

7. Weitere Vermutungen

Es gibt viele kleine schwarze Löcher in dieser Gegend : Januar 2005 wurden mit dem Röntgen-Teleskop Chandra Helligkeitsausbrüche in der Nähe von Sgr A* beobachtet, die darauf schließen lassen, dass sich im Umkreis von ca. 70 Lichtjahren um Sgr A* 10.000 bis 20.000 Schwarze Löcher befinden, die das supermassive zentrale Schwarze Loch in Sgr A* umkreisen. Dadurch wird eine seit 2003 kursierende Theorie gestützt, nach der das zentrale Schwarze Loch über kleinere Löcher „gefüttert“ wird. Dabei sammeln die kleinen Schwarzen Löcher in den weiter äußeren Bereichen der Milchstraße Haufen von Sternen um sich an, die sie dann gefangen halten, bis sie sich auf einer Spiralbahn bis in die unmittelbare Nähe von Sgr A* bewegt haben. Dort angekommen werden die Sternhaufen irgendwann durch die extrem großen Gezeitenkräfte aufgelöst und verlieren den einen oder anderen Stern an das supermassive Schwarze Loch. Die bisherige Theorie zum Fütterungsprozess ging davon aus, dass eine riesige ringförmige Gaswolke um das Schwarze Loch kreist und dabei immer schwerer wird. Sobald eine kritische Masse überschritten wird, kollabiert diese Wolke und stürzt in das Zentrum der Milchstraße. Vermutlich spielen beide Prozesse eine wichtige Rolle bei der Fütterung von Sgr A*

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