LV013:LV-Uebersicht/WS07 08/Arbeitsbereiche/Thema1

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Inhaltsverzeichnis

Komplexe Zahlen und Funktionen

Komplexe Zahlen, Darstellungsformen

1777 hat Leonhard Euler die Lösung der quadratischen Gleichung

x^2= -1, \quad x\in\mathbb{R} definiert, indem er \sqrt{-1}=i gesetzt hat.

Damit wurde der Raum der Komplexen Zahlen "eröffnet".


Ebenso wie \mathbb{N} auf Grund der Subtraktion zu \mathbb{Z} erweitert wurde,

ebenso wie \mathbb{Z} auf Grund der Division zu \mathbb{Q} erweitert wurde,

ebenso wie \mathbb{Q} auf Grund des Wurzel Ziehens aus positiven Zahlen zu \mathbb{R} erweitert wurde,

ebenso wurde nun \mathbb{R} auf Grund des Wurzel Ziehens aus negativen Zahlen zu \mathbb{C} erweitert.


Die oben definierte Zahl i\, ist eine rein imaginäre Zahl.

Eine beliebige Lösung einer quadratischen Gleichung {x^2+px+q=0}\, schaut aber im Allgmeinen so aus: {a+ib}\quad a,b \in\mathbb{R}.


Unter einer beliebigen komplexen Zahl z\, versteht man also eine Zahl der Form {z=a+ib}, \quad a,b \in\mathbb{R},

wobei a\, Realteil und b\, Imaginärteil der Zahl z\, heißt.


Eine komplexe Zahl läßt sich in der sogenannten Gausschen Zahlenebene als Vektor veranschaulichen.

Die x\,-Achse ist die reele Achse, also die Achse der Realteile und die y\,-Achse ist die imaginäre Achse, also die Achse der Imaginärteile.


Somit ist auch klar, dass der Hauptunterschied zu allen anderen oben erwähnten Zahlenkörper der ist, dass in \mathbb{C} keine kanonische Ordnung herrscht.


Jede komplexe Zahl z\, läßt sich also entweder als z=a+ib, \quad a,b\in \mathbb{R} oder aber in Polardarstellung schreiben.


Unter der Polardarstellung versteht man die Angabe von der Länge des Vektors und dem Winkel zur x\,-Achse also

{z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)=re^{i\varphi}}\,,

wobei {r=|z|}\,, der Betrag = die Länge der komplexen Zahl ist und

\varphi\, , (0\leqq\varphi\lneq 2\pi) - der Winkel zur x\,-Achse - Argument der komplexen Zahl heißt.


Die Umrechnungsformeln zwischen der kartesischen Binomialform und der Polardarstellung sind:

{a=r\cos\varphi,}\, \quad , {b=r\sin\varphi}\, \qquad , r=\sqrt{a^2+b^2}\quad , \tan\varphi=\frac{b}{a}\quad (0\leqq\varphi\lneq 2\pi).


Zu jeder komplexen Zahl z\,, gibt es eine eindeutig definierte konjugiert komplexe Zahl z^*\,, z^*=a-ib, \quad a,b\in\mathbb{R}.

Eine komplexe Zahl z\, unterscheidet sich von ihrer konjugiert komplexen Zahl z^*\, durch das Vorzeichen ihres Imaginärteils.

Ein weiterer Zusammenhang zwischen z\, und z^*\, der von Bedeutung ist, ist: {|z|^2=zz^*}\,.

Fundamentalsatz der Algebra

Ist eine Zahl z\, eine komplexe Lösung von {p(x)=0}\,, dann ist auch die dazugehörige konjugiert komplexe Zahl z^*\, Lösung der Gleichung.


In \mathbb{C} gilt der Fundamentalsatz der Algebra. Wenn man jede Nullstelle in ihrer Vielfachheit zählt, so hat ein Polynom n-ten Grades genau n\, Nullstellen, d.h. wenn man jede Lösung in ihrer Vielfachheit zählt, hat die Gleichung {p(x)=0}\, genau so viele Lösungen wie ihr Grad angibt. Jedes Polynom n-ter Ordnung läßt sich als Produkt von n\, Linearfaktoren schreiben.


Rechenregeln für Komplexe Zahlen

Addition: Zwei beliebige komplexe Zahlen z_{1}=a+ib, \quad a,b\in \mathbb{R} und z_{2}=c+id, \quad c,d\in \mathbb{R} werden addiert, indem man die Realteile a,c\in \mathbb{R} und die Imaginärteile b,d\in \mathbb{R} addiert, also: z_{1}+z_{2}=a+ib+c+id=(a+c)+i(b+d), \quad a,b,c,d\in \mathbb{R}.

Die Addition zweier komplexer Zahlen kann man sich auch als Vektoraddition vorstellen.


Subtraktion: Zwei beliebige komplexe Zahlen z_{1}=a+ib, \quad a,b\in \mathbb{R} und z_{2}=c+id, \quad c,d\in \mathbb{R} werden subtrahiert, indem man die Realteile a,c\in \mathbb{R} und die Imaginärteile b,d\in \mathbb{R} subtrahiert, also: z_{1}-z_{2}=a+ib-(c+id)=(a-c)+i(b-d), \quad a,b,c,d\in \mathbb{R}.

Die Subtraktion zweier komplexer Zahlen kann man sich auch als Vektorsubtraktion vorstellen.


Multiplikation: Zwei beliebige komplexe Zahlen z_{1}=a_{1}+ib_{1}, \quad a_{1},b_{1}\in \mathbb{R} und z_{2}=a_{2}+ib_{2}, \quad a_{2},b_{2}\in \mathbb{R} werden wie folgt multipliziert: z_{1}z_{2}=(a_{1}+ib_{1})(a_{2}+ib_{2})= a_{1}a_{2}+ia_{2}b_{1}+ia_{1}b_{2}-b_{1}b_{2}=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+i(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}),\quad a_{1},b_{1},a_{2},b_{2}\in \mathbb{R}.

bzw.

Seien {z_{1}=r_{1}(cos\varphi+i\ sin\varphi)}\, und {z_{2}=r_{2}(cos\vartheta +i\ sin\vartheta )}\, zwei beliebige komplexe Zahlen, dann gilt:

{z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(cos(\varphi+\vartheta)+i\ sin(\varphi+\vartheta))}\,. Es werden also die Beträge multipliziert und die Winkel addiert.


Division: Zwei beliebige komplexe Zahlen z_{1}=a_{1}+ib_{1}, \quad a_{1},b_{1}\in \mathbb{R} und z_{2}=a_{2}+ib_{2}, \quad a_{2},b_{2}\in \mathbb{R}, z_{2}\neq 0+i0 werden wie folgt dividiert:

\frac{ z_{1}}{ z_{2}}= \frac{ a_{1}+ib_{1}}{ a_{2}+ib_{2}} = \frac{ (a_{1}+ib_{1})(a_{2}-ib_{2})}{ (a_{2}+ib_{2})(a_{2}-ib_{2})}=\frac{ (a_{1}+ib_{1})(a_{2}-ib_{2})}{ a_{2}^2+b_{2}^2} =\frac{ a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}{ a_{2}^2+b_{2}^2}+i\frac{ (a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2})}{ a_{2}^2+b_{2}^2}

 \quad a_{1},b_{1},a_{2},b_{2}\in \mathbb{R}.


bzw.

Seien {z_{1}=r_{1}(cos\varphi+i\ sin\varphi)}\, und {z_{2}=r_{2}(cos\vartheta +i\ sin\vartheta )}\, zwei beliebige komplexe Zahlen, dann gilt:

{\frac{ z_{1}}{ z_{2}}= \frac{r_{1}}{r_{2}}(cos(\varphi-\vartheta)+i\ sin(\varphi-\vartheta))}\,. Es werden also die Beträge dividiert und die Winkel subtrahiert.


Mit dem Nullelement {z=0+i0}\, und dem Einselemet {z=1+i0}\, wird \mathbb{C} zu einem Körper.

Der Hauptunterschied zu allen anderen oben erwähneten Zahlenkörper ist noch einmal der, dass in \mathbb{C} keine kanonische Ordnung herrscht.


Potenzen: Für Potenzen gilt die sogenannte Moivre´sche Regel, die sich leicht aus der Multiplikation von komplexen Zahlen in Polardarstellung ableiten läßt:

Sei n\in\mathbb{N} und {z=r(cos\varphi + i\ sin\varphi)}, dann ist {z^n=r^n(cos\ n\varphi + i\ sin\ n\varphi)=r^ne^{in\varphi}}\,.


Wurzeln aus komplexen Zahlen: Sei n\in\mathbb{N} und {z=r(cos\varphi + i\ sin\varphi)}, dann ist z^{1/n}=r^{1/n}(cos \frac{\varphi}{n} + i\ sin \frac {\varphi}{n}).

Da {z=r(cos(\varphi + 2k\pi) + i\ sin(\varphi + 2k\pi))}, für beliebiges k\in\mathbb{Z} gilt, ist auch

z^{1/n}=r^{1/n}(cos(\frac{\varphi + 2k\pi}{n})+i\ sin(\frac{\varphi +2k\pi}{n})) eine n-te Wurzel von {z}\,.

Es gibt {n}\, verschiedene n-te Wurzeln von {z}\,, mit den Argumenten: \frac{\varphi}{n},\frac{\varphi + 2\pi}{n}, ..., \frac{\varphi + 2(n-1)\pi}{n}.

konkretes Beispiel

So hat die \sqrt[3]{-27} im Komplexen drei Lösungen. Die eine reelle Lösung ist wie bereits aus der reellen Analysis bekannt {-3}\,. Die anderen beiden Lösungen sind jeweils um 120^\circ nach rechts bzw. links gedreht. Die komplexe Zahl {z=-27+0\ i}\, hat  {r=27 }\, und  {\varphi=180^\circ}\,. also gilt:


\sqrt[3]{-27}= \begin{cases} 
  \sqrt[3]{27}(cos \frac{180}{3} + i\ sin \frac{180}{3})=\sqrt[3]{27}(cos\ 60 + i\ sin\ 60), \\
  \sqrt[3]{27}(cos \frac{180 + 2\pi}{3} + i\ sin \frac{180 + 2\pi}{3})=\sqrt[3]{27}(cos\ 180 + i\ sin\ 180)= -3, \\
\sqrt[3]{27}(cos \frac{180 + 4\pi}{3} + i\ sin \frac{180 + 4\pi}{3})=\sqrt[3]{27}(cos\ 300 + i\ sin\ 300)  
\end{cases}


Rechenregeln hinsichtlich der Beträge komplexer Zahlen

weiters gilt: {|zw|=|z||w|}\,, {|z+w|\leq |z|+|w|}\,, {||z|-|w||\leq|z-w|}\, wobei z,w\in\mathbb{C}.


Komplexe Funktionen

Komplex differenzierbar

Sei  f: U\to \mathbb{C}, \quad U\subseteq \mathbb{C} eine stetige Funktion  {f}\,, dann heißt  {f}\, komplex differenzierbar in {z_{0}}\, , wenn eine in {z_{0}}\, stetige Funktion  \Delta : U\to \mathbb{C} existiert, sodass

 f(z)= f(z_{0}) + (z-z_{0})\Delta(z), \quad z\in U

gilt,

 {f}\, heisst holomorph auf  {U}\,, wenn  {f}\, in jedem  {z\in U}\, differenzierbar ist.

 {f}\, heisst holomorph in  {z_{0}\in U}\,, wenn eine Umgebung  {U_{0}}\, von  {z_{0}}\, existiert, sodass  {f}\, auf  {U_{0}}\, holomorph ist.


Cauchy Riemannsche Differentialgleichungen

Sei  {f}\, komplex differenzierbar in  {z_{0}}\, und  {f=u + i\ v}\, die Zerlegung in Real- und Imaginärteil, dann gelten die Cauchy Riemannschen Differentialgleichungen:

 {u_{z}(z_{0})=v_{y}(z_{0})}\,

 {v_{z}(z_{0})=-u_{y}(z_{0})}\,.

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