LV013:LV-Uebersicht/WS09 10/Arbeitsbereiche/QED (Quantenelektrodynamik)

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Inhaltsverzeichnis

QED - Die seltsame Theorie des Lichts und der Materie

Ein Überblick über das gleichnamige Buch von Richard P. Feynman

•Richard P. Feynman (1985). QED – Die seltsame Theorie des Lichts und der Materie. München: Piper Verlag.

Es ist nicht möglich zu verstehen, warum die Natur so verfährt wie sie es tut. Eine Theorie können wir nur soweit verstehen, wie es die Theorie erlaubt. Dabei kommt es nicht darauf an, ob uns die Theorie passt oder nicht, ob eine Theorie hochphilosophisch oder leicht zu verstehen ist, oder ob sie dem gesunden Menschenverstand einleuchtet. Die Theorie der Quantenelektrodynamik ist soweit fortgeschritten, dass sie es ermöglicht, sämtliche Phänomene der physikalischen Welt mit Ausnahme der Gravitation zu beschreiben. Wichtig ist nur, dass wir uns im Klaren sein müssen, dass wir nur die Theorie verstehen können, nicht aber die Natur selbst.

Photonen – Teilchen des Lichts

Licht besteht aus Photonen (Lichtpartikeln). Um die Photonen detektieren zu können bedienen wir uns eines Photomultipliers.

Ein Photon trifft auf die Metallplatte in A. Dabei schlägt es 2-3 Elektronen heraus. Weil die Metallplatte negativ geladen ist werden die Elektronen von der Platte wegbeschleunigt und treffen auf Platte B auf. Dort schlagen die Elektronen ihrerseits wieder jeweils 2-3 Elektronen heraus. Dieser Prozess wird sooft wiederholt, bis auf der letzten Platte Millionen von Elektronen auftreffen und so einen messbaren Stromfluss verursachen. Dieser Stromfluss wird mit einem Verstärker und einem Lautsprecher hörbar gemacht. Jedesmal wenn nun ein Photon den Photomultiplier erreicht ertönt rasch danach ein Klick-Geräusch. Mit so einem Gerät kann man die Teilcheneigenschaften des Lichtes demonstrieren. Man positioniert eine Photonenquelle in der Mitte und viele Photomultiplier darum herum. Nun justiert man die Photonenquelle so, dass nur vereinzelt Photonen ausgesandt werden. Man bemerkt, dass immer nur ein Photomultiplier ein Klick-Geräusch von sich gibt, aber niemals 2 oder mehrere. Es klickt zwar immer ein anderer, aber pro Photon gibt es nur ein Klick-Geräusch. Wäre Licht nun eine Welle, müssten eher alle Photomultiplier zusammen, aber jeder dafür sehr schwach klicken. Dem ist aber nicht so. Das Licht zeigt hier eindeutig Teilcheneigenschaften. Die Photonen sind die Teilchen des Lichts.

Partielle Reflexion an einer Grenzschicht

Stellen wir uns folgenden Versuchsaufbau vor:

Eine Photonenquelle emittiert exakt 100 Photonen (gleicher Wellenlänge). Die Photonen treffen auf einen Glasblock. Sie können nun entweder in das Glas eindringen („Klick“ in B) oder reflektiert werden („Klick“ in A). Von 100 Photonen werden in unserem Beispiel 4 reflektiert, der Rest gelangt nach B. Wie funktioniert dieser Vorgang? Besteht das Glas möglicherweise aus reflektierenden Objekten die sich in viel leerem Raum aufhalten (Löchervorstellung). Gelingt es den meisten Photonen ein „Loch“ zu finden und nach B zu gelangen? Oder muss man die Photonen nur „richtig“ zielen, damit sie in B ankommen (eine Art inneren Mechanismus)?

Beide Vorstellungen sind falsch. Die Widerlegung der ersten Annahme geschieht etwas weiter unten. Die zweite Annahme lässt sich an einem Gedankenexperiment prüfen. Wenn die Photonen, die den Glasblock durchdringen nun auf einen weiteren Glasblock treffen, sollten sie diesen ungehindert passieren, da sie ja schon den vorigen Glasblock durchdrungen haben. Es gibt viele Experimente, die zeigen, das dem nicht so ist. An jeder weiteren Glasplatte werden wieder einige Photonen reflektiert. Ein innerer Mechanismus, oder eine bestimmte Art zu Zielen ist also keine Erklärung. Wichtig ist, dass man nicht vorhersagen kann welches Photon nun reflektiert oder durchgelassen wird. Lediglich von 100 Photonen sind es im Schnitt 4, die reflektiert werden (4%).



Partielle Reflexion an zwei Grenzschichten

Nun muss ein Photon die Glasscheibe komplett überwinden (Reflexion ist an 2 Grenzschichten möglich) um in B anzugelangen. Die beiden Grenzschichten sind parallel zueinander (Glasplatte). Nun sollten erwartungsgemäß an jeder Grenzfläche 4% aller eintreffenden Photonen reflektiert werden. So müssten insgesamt 8% reflektiert werden und in A detektiert werden.

Versuche mit verschiedenen Glasplatten zeigen, dass dem ganz und gar nicht so ist. An manchen werden 8% reflektiert, an anderen wird auch gar keines reflektiert und bei einigen Platten werden sogar bis zu 16% reflektiert.

Es zeigt sich, dass es von der Dicke der Glasscheibe abhängt, wie viele Photonen durchgelassen und wie viele reflektiert werden. Mit zunehmender Dicke der glasscheibe wiederholt sich ein periodisches Anwachsen und Abfallen des Reflexionsgrades zwischen 0% und 16%.


Wie kann das erklärt werden? Ein Löchermodell kann da nicht mehr standhalten!


Mit dieser Erkenntnis wollen wir nun den Zeigerformalismus nach Feynman einführen, mit dem sich solche Probleme gut nachvollziehen lassen.


Feynman’s Zeigerformalismus

Als Erstes postulieren wir: Licht nimmt keinen bevorzugten Weg. Das Licht nimmt grundsätzlich alle Wege. Das ist die Schwierigkeit, die sich uns als Hürde in den Weg stellt. Das gilt es zu akzeptieren.

Man muss also alle Wege berücksichtigen, die ein Photon wählen kann. Jeder einzelne Weg unterliegt einer bestimmten Wahrscheinlichkeit, mit der dieser Weg auch tatsächlich genommen wird. Die Wahrscheinlichkeit für jeden dieser Wege wollen wir als einen Pfeil darstellen.

So ein Pfeil stellt die Wahrscheinlichkeitsamplitude für dieses Ereignis dar. Daher muss dieser Pfeil erst quadriert werden, um die Wahrscheinlichkeit die er repräsentiert als Zahl zu erhalten.

Bei der partiellen Reflexion an einer Grenzschicht (1. Gedankenexperiment weiter oben) war die Wahrscheinlichkeit 4%, dass ein Photon reflektiert wird und in A ankommt. Daher hat der Pfeil für diesen Weg eine Länge von 0,2 (denn 0,22=0,04 => 4%). Hätte das Photon noch alternative Wege gehabt um in A anzugelangen, hätten wir für jeden dieser Wege einen solchen Pfeil bestimmen müssen. Diese Pfeile hätten wir dann am Schluss addiert (Pfeile vektoriell addieren) und einen resultierenden Pfeil erhalten. Das Quadrat dieses resultierenden Pfeiles hätte uns dann wieder die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen eines Photons in A gegeben.


Wir halten fest: Immer wenn ein Ereignis auf mehrere Wege stattfinden kann, summieren die Wahrscheinlichkeitsamplituden jedes dieser Einzelereignisse auf und erhalten eine resultierende Wahrscheinlichkeitsamplitude für das Gesamt-Ereignis.

Orientierung der Pfeile - die Stoppuhr

Stellen wir uns vor, bei Verlassen der Photonenquelle startet eine Stoppuhr. Ihr Zeiger dreht sich ständig und kontinuierlich im Kreis, bis das Photon entweder in A oder in B ankommt. Die Position in der der Zeiger bei der Ankunft steht gibt uns die Orientierung der Wahrscheinlichkeitsamplitude. Sollte das Photon reflektiert worden sein müssen wir noch den Pfeil für dieses Ereignis um 180° drehen (Phasensprung bei Reflexion an einem optisch dichteren Medium).

Sehen wir uns das am Beispiel der partiellen Reflexion an einer Glasplatte (2. Gedankenexperiment weiter oben) an: Der Weg nach A über die erste Grenzschicht hat eine Wahrscheinlichkeitsamplitude mit der Länge 0,2. Ihre Orientierung ist erst im Vergleich mit dem alternativen Weg nach A relevant, jedoch muss er um 180° gedreht werden. Auch der Weg über die zweite Grenzschicht nach A hat einen Zeiger dieser Länge. Da aber der Weg über die zweite Grenzschicht ein Stückchen länger ist hat der Zeiger erst ein wenig später gestoppt. Die Weglänge entscheidet also in welche Richtung der Pfeil orientiert ist. Daher zeigen die beiden Pfeile bei partieller Reflexion an zwei Grenzschichten im Allgemeinen in verschiedene Richtungen.


Die Abbildung links zeigt die Addition von verschieden orientierten Wahrscheinlichkeitsamplituden um zu zeigen wie Werte zwischen 0% und 16% für die partielle Reflexion entstehen können.

Mit diesen Zusammenhängen kann man nachvollziehen wieso der Reflexionsgrad (das Quadrat der Resultierenden) einen periodischen Zyklus in Abhängigkeit von der Glasdicke durchläuft.


Dieser Zyklus wiederholt sich bei blauem Licht schneller als bei rotem. Da die Zeiger der Stoppuhr beim Stoppen eines blauen Photons schneller laufen als beim Stoppen eines roten, treten die Reflexionszyklen phasenverschoben auf.


Damit wird das bunte Farbenspiel erklärt das z.B. bei einem dünnen Ölfilm auf einem Teich auftritt. Je nach Position der Lichtquelle und des Betrachters und je nach Dicke des Ölfilms werden an verschiedenen Stellen der Lacke unterschiedliche Farben sichtbar. Das geschieht durch destruktive Interferenz = Auslöschung einer oder mehrerer Farben aus dem Spektrum der Lichtquelle. Es handelt es sich hier um subtraktive Farbmischung da immer bestimmte Farbanteile des Lichtes reduziert werden. Daher treten auch die Farben Cyan, Magenta und Gelb verstärkt auf. Bestrahlt man so eine Lacke mit monochromatischem Licht gibt es Bereiche die gut reflektieren und Bereiche in denen gar nicht reflektiert wird. Bei Dunkelheit erscheinen diese Bereiche schwarz. Man kennt ja das Farbschillern von dünnen Plastikfolien für Geschenke, von Seifenblasen und auch von schillernden Käfern oder Vögeln (z.B. Pfau) in der Natur. Sie alle haben diesen Effekt als Ursache für dieses Schillern. Aber noch eine weitere Eigenschaft von Objekten kann diese Farbspiele verursachen. Dazu müssen wir uns zuerst die Reflexion an Spiegeln überlegen…


Reflexion am Spiegel


Der Versuchsaufbau zeigt die uns bekannte Reflexion an einem Spiegel: Einfallswinkel = Ausfallswinkel. Damit ein Photon nicht aus Zufall über den direkten Weg nach P gelangen kann wird ein Schirm zwischen S und P positioniert. Nun haben wir doch weiter oben gelernt, dass das Licht grundsätzlich alle Wege nimmt. Es klingt zwar absurd aber berücksichtigen wir daher auch die anderen, scheinbar nicht reflektierenden Bereiche des Spiegels.






Der Einfachheit halber unterteilen wir ihn in schmale Bereiche (A bis M) und überlegen welchen Weg das Licht nehmen müsste um trotzdem nach P zu gelangen. Jeder dieser Wege ist nun in der Abbildung zu sehen. Jeder dieser Wege erhält nun eine Wahrscheinlichkeitsamplitude der gleichen Länge (die genauen Werte interessieren und hier nicht). Jedoch hat jeder Pfeil durch die Länge des Weges, den er repräsentiert, eine andere Orientierung. In der Mitte des Spiegels, wo sich die Weglängen nur gering voneinander unterscheiden, zeigen die Pfeile in mehr oder weniger gleiche Richtung. An den Rändern des Spiegels jedoch unterscheiden sich die Weglängen sehr stark und dadurch auch die Orientierungen der Wahrscheinlichkeitsamplituden. Summiert man all diese Pfeile zu einer Resultierenden, so erhält man eine stattliche Resultierende die uns sagt, dass Reflexion sehr sicher stattfinden wird. Man bemerkt aber auch, dass vor allem der mittlere Bereich des Spiegels zur Länge der Resultierenden beigetragen hat, die Randbereiche hingegen kaum.



Ohne weitere Vorannahmen zeigt sich hier, dass die Reflexion in dem Bereich des Spiegels am ehesten stattfinden wird in dem Einfallswinkel und Ausfallswinkel nahezu gleich sind und (äquivalent dazu) dass Reflexion am ehesten im Bereich auftreten wird in dem der Weg von der Quelle zum Betrachter in der kürzesten Zeit zurück gelegt wird.

Wir können nun dieses Modell weiter überprüfen und sagen: „Gut, wenn das Licht auch den Weg über den Rand des Spiegels nimmt dann müsste es vielleicht eine Versuchsanordnung geben, mit der man dieses Reflexion beobachtbar machen kann.“ In der Tat, die gibt es!



Wir betrachten dazu nur den linken Randbereich des Spiegels, ein Bereich in dem nach klassischer Vorstellung keine Reflexion stattfinden wird. Wir treffen kleiner Unterteilungen und teilen jedem dieser Punkte einen Pfeil zu. Seine Orientierung ergibt sich wieder über die Laufzeit des Photons, das diesen Weg nehmen würde.





Nun machen wir folgende Überlegung: Alle Pfeile zeigen in unterschiedliche Richtungen. Daher erhalte ich eine Resultierende mit Länge Null. Könnte man nicht die Stellen im Spiegel auskratzen (grau eingefärbt), deren Pfeil auch nur leicht nach links zeigt? Somit würden nur Pfeile mit Rechtsanteil übrig bleiben und eine beachtliche Resultierende würde entstehen.


So einen Spiegel gibt es wirklich, er ist in der linken Abbildung zusammen mit seiner Resultierenden dargestetllt und er hat bestechende Eigenschaften. Jedoch ist er immer nur für Licht einer bestimmten Farbe (Zeigerdrehgeschwindigkeit) geeignet. Für andersfarbige Photonen müssten die reflektierenden Bereiche breiter oder enger sein und weiter entfernt oder näher beieinander liegen.

Zum Glück reicht aber auch eine kleine Veränderung des Betrachtungswinkels für die neue Farbe. Solche Spiegel kennen wir alle und haben sie meist auch selbst zu Hause: eine CD. Ihre Bits bilden kleine reflektierende Stellen die in einer Reihe angeordnet sind. Zwischen diesen Reihen ist ein genau definierter Zwischenraum. Damit erklärt sich, warum die Unterseite einer CD in so bunten Farben erstrahlt.


Beugung

Vorangegangene Überlegungen lassen ernsthafte Zweifel über die geradlinige Ausbreitung des Lichtes zu. Feynman zeigt in seinem Buch, das genau das in der Tat zuzutreffen scheint. Demnach müsste eigentlich jeder Weg, auch gekrümmte Wege, auch Wege mit Schleifen, berücksichtigt werden. Damit stehen quasi unendlich viele verschiedene Wege zur Verfügung und auch so viele Pfeile. Solchen Problemen muss man dann mit zusammenfassenden Formeln und Computern zu Leibe rücken. So viele Pfeile kann Keiner zeichnen…

Oft jedoch lassen sich die Probleme auf ihre wesentlichen Prinzipien herunterbrechen. Sehen wir uns dazu diese Abbildung an:



Sie Zeigt die Wege die ein Photon nehmen kann, wenn es zwischen zwei Schirmen hindurch zu einem Photomulitiplier gelangen soll. Ein Photomulitiplier steht in P und einer in Q. P steht für Photonen die sich nahezu geradlinig bewegt haben. In Q treffen nur Photonen ein, die sich eindeutig nicht geradlinig bewegt haben. Überlegen wir sowohl für P als auch für Q welche Pfeile (Wahrscheinlichkeitsamplituden) summiert werden und welche Resultierende dabei entstehen (vor allem ihre Längen).


Für P erhalten wir eine lange Resultierende, für Q zeigen die Teilpfeile in zu sehr unterschiedliche Richtungen, daher nur eine kleine Resultierende. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Photon gerade durch geht und in P ankommt ist also viel höher. Die Unterschiede in der Orientierung kommen wieder durch die größeren Laufzeitunterschiede für die verschiedenen Wege nach Q. Was passiert aber wenn man den Spalt schmäler macht?








Diese Abbildung zeigt einen schmäleren Spalt. Die Laufzeitunterschiede für die verschiedenen Wege werden kleiner. Daher wächst die Resultierende für Q an. Es wird also mit zunehmender Enge des Spaltes immer wahrscheinlicher, dass sich ein Photon nicht geradlinig ausbreitet, sondern plötzlich seine Richtung ändert und in Q ankommt. Dieser Effekt ist als Beugung an einem Spalt bekannt und wird „klassisch“ auch mit dem Huygens’schen Prinzip erklärt.



Ausblick

Man sieht also wie sich bekannte optische Phänomene aus dem Formalismus mit diesen Pfeilen ergeben. Das ist aber nur der erste Teil des Buches von Richard P. Feynman. In den weiteren Teilen geht Feynman der Wechselwirkung von Licht und Materie auf den Grund und zeigt wie sich viele gewohnte Vorgänge neu interpretieren und berechnen lassen. Dabei zeigt sich auch, dass schlussendlich auch andere Vorgänge unter der Prämisse „Alle Wege müssen berücksichtigt werden“ betrachtet werden müssen. Das hat natürlich teilweise erstaunliche Konsequenzen (zum Beispiel, dass sich ein einzelnes Photon auch mit Überlichtgeschwindigkeit bewegen kann). Zum selbst nachlesen äußerst zu empfehlen! Wer nicht gerne selber liest findet im Internet Originalaufnahmen von diesen Vorlesungen – einfach googeln…

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