LV014:LV-Uebersicht/WS09 10/Arbeitsbereiche/Das Gibbsche Phaenomen

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Inhaltsverzeichnis

Das Gibbs'sche Phänomen

Einleitung

Die Geschichte des Gibbsschen Phänomens

Das Gibbssche Phänomen war zum ersten Mal von unbekannten Henry Wilbraham, notiert und analysiert worden. Der Artikel, den er zu diesem Thema in 1848 veröffentlichte, blieb von der mathematischen Welt unbeachtet. Erst als Albert Michelson dieses Phänomen mit Hilfe einer mechanischen Aufzeichnungsmaschine beobachtete, stieg das Interesse. In 1898 entwickelt Michelson ein Gerät, das die Fourierreihe berechnen und wieder bauen konnte. Als die Fourier Koeffizieten für eine Kippschwingung in die Machine gestellt wurde, die Grafik wurde mit Unterbrechnung oszilliert. Dies würde passieren auch wenn die Anzahl von Fourier Koeffizienten gestiegen würde.

Nachdem bei einem technischen Gerät die Herrstellungsfehler nicht ausgeschlossen sind, Michelson war überzeugt, dass der Überschwinger nur aufgrund von Fehler der Maschine passiert sind. In 1898 veröffentlicht J.Willard Gibbs einen Artikel über die Fourierreihe, in dem er das was wir heute Kippschwingung nennen, diskutiert und beschreibt den erhaltenen Graph , als ein Limit der Graphen, die von partielle Summen der Fourierserie. Interessanter Weise, in diesem Artikel konnte er das Phänomen, das seinen Namen trägt nicht erkennen und das Limit, den er beschrieb war nicht richtig. In 1899 publizierte er eine Ausbesserung seiner wissenschaftlichen Arbeit, in dieser er dieses Phänomen beschreibt und den wichtigen Unterschied zwischen Limit des Graph und dem Graph der Funktion, das das gleiche ist wie Limit von partielle Summen der Fourierreihe betont. Machime Bôcher gab im 1906 eine detaillierte mathematische Analyse dieses Phänomens und nannte es, das Gibbssche Phänomen.


Wo tritt das Gibbssches Phänomen auf?

Gibbssches Phänomen kann beobachtet werden, indem eine Fourierreihe aus einer unstetigen Funktion entwickelt wird. Sodass ergeben sich an den Unstetigkeiten typische Über- und Unterschwingungen, die sich auch nicht durch die Summation von weiteren Sinus und Kosinusfunktionen verringern.


Im Folge wird genauer über das Phänomen in Theorie besprechen. Aber bevor dem möchte ich eine Bemerkung über die Formel der Fourierreihe machen.

Theorie

Das gibbsche Phänomen tritt auf wenn Funktionen mit Unstetigkeitsstellen in Fourierreihen entwickelt werden.
Im folgenden wird die Theorie der Fourierreihenentwicklung kurz dargestellt, konkrete Beispiele können in Form von Mathematika Notebooks herunter geladen werden.

Fourierreihe

g(t),h(t) seien zu approximierende Funktionen. Diese können durch endliche oder unendliche Summen approximiert werden.

endliche Fourier-Reihe
Die Funktion wird hier durch eine Linearkombination durch N Thermen von periodischen Funktionen (sin, cos) mit jeweils unterschiedlichen Frequenzen approximiert.

\displaystyle
f_N (x)= \sum_{k=1}^{N} A_{k,n} cos(2 \pi k x) + B_{k,n} sin(2 \pi k x)

Die Koeffizienten werden wie folgt berechnet:

\displaystyle
A_k=\frac{2}{T}\int_{c}^{c+T} g(t) \cdot \cos(k\omega t)\, \mathrm{d}t
und \displaystyle
B_k=\frac{2}{T}\int_{c}^{c+T} g(t) \cdot \sin(k\omega t)\, \mathrm{d}t

unendliche Fourier-Reihe

Durch den \displaystyle
\lim_{N\rightarrow \infty} f_N (x) gehen wir von der endlichen zur unendlichen Fourier-Reihe über.

\displaystyle
f(x) := \lim_{N\rightarrow \infty} f_N (x) = \sum_{k=1}^{\infty} [A_{k} cos(2 \pi k x) + B_{k} sin(2 \pi k x)] ...Grenzfunktion (1)


Konvergenz

Satz: Falls die unendlichen Reihen \sum_{k=1}^{\infty} A_k und \sum_{k=1}^{\infty} B_k absolut konvergent sind, dann gilt:

  • Die Fourier-Reihe ist für alle x \in \mathbb{R} konvergent;
  • die Grenzfunktion f(x) ist für alle x \in \mathbb{R} stetig; (1)


Beispiel: Dreiecksschwingung Die Berechnung der Fourier-Reihe von: g(x) = \left|x \right| ergibt folgende Fourier-Reihe:

\displaystyle
f(x) = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{cos(2n-1)}x}{(2n-1)^2}
Abb.1

Datei:Betragsf.nb


Wie man sieht lässt sich die Funktion g(x) auch schon für kleine N gut approximieren.

Sobald eine zu approximierende Funktion sprungstellen aufweist kommt es zu sogenannten Gibbschen Phänomen.

Gibb´sches Phänomen

Die Fourierreihen zeigen in der Umgebung eines endlichen Sprunges der Funktion h(t) ein typisches Überschwingen. Dieses Phänomen kommt deutlich in den N-ten Partialsummen zum Ausdruck und weist auf keine gleichmäßige Konvergenz der Fourierreihe gegen h(t) in der Umgebung eines Sprunges hin.

Satz: Für hinreichend große N überschwingen die Partialsummen sN(t) der Fourier-Reihe von h(t) dieselbige Funktion in der Umgebung einer jeden Sprungstelle bei t0.

Bei zunehmenden N rücken diese Überschwinger immer näher an die Sprungstelle heran, wobei die Höhe des absoluten Maximums von etwa 9% des Funktionssprungs [h(0 + ) − h(0 − )] unverändert bleibt.


Hier ist ein Mathematika Notebook, das die Annäherung einiger spezieller Funktionen durch ihre (endlichen) Fourierreihen darstellt.
Datei:FourierSeriesOfSimpleFunctions tmrep.nb

Fejérsches Mittel

Als Fejérsches Mittel (benannt nach Leopold Fejér 1180,1959) bezeichnet man ein Verfahren zur Vermeidung des Gibbschen Phänomens. Das bedeutet die zur approximation entwickelten trigonometrischen Reihen zeigen kein, oder nur ein verringertes Überschwingen an Unstetigkeitstellen der Funktion g(t) auf.

Für {n} \in \mathbb{N} ist das Fejérsche Mittel gleich dem arithmetischen Mittel der ersten Partialsummen der Fourier-Reihe s(t):

\displaystyle
\sigma_n (t)=  \frac{s_0(t) + s_1(t)+...+s_{n-1}(t)}{n}.

Satz: Das Fejérsche Mittel σn(t) einer lokal integrierbaren Funktion f(t) konvergiert für n \rightarrow \infty in jedem Stetigkeitspunkt t0 von f(t) gegen f(t0) und in jedem Unstetigkeitspunkt f(t1) gegen \frac{\ h(t_1 -0) + h(t_1 + 0)}{2}


Fejérsches Mittel

Datei:FRfejerm.nb

Anwendungsbeispiele

Das Gibbssche Phänomen tritt also überall da auf wo Fourierreihen und Sprungstellen aufeinander treffen. Das so genannte 'Gibbs ringing' macht sich dann zum Beispiel in der Datenverarbeitung als Artefakt an scharfen Kannten bemerkbar.

Bildkompression, zB JPEG Verfahren

Ein sehr geläufiges Auftreten der Überschwinger an Kannten unterschiedlicher Bildwerte kennt man von verlustbehafteten Kompressionsverfahren:
Kompressionsartefakt, JPEG Verfahren

Gibbs 'Ringing' Artefakt bei bildgebenden Verfahren in der Medizin

Eines der Verfahren bei dem das Gibbssche Phänomen immer auftritt, ist MRI (Magnet Resonance Imaging). Dabei werden die Spins der Protonen im Wasserstoff des Körpers durch die Überlagerung eines statischen (0,1 bis 3T) und eines oszillierenden Magnetfeldes zu erst in deren Resonanzfrequenzen zur Schwingung angeregt. Nach Abschalten der Felder bleiben die Spins nur kurze Zeit in ihren Zuständen, sie 'relaxieren'. Diese Relaxationszeiten hängen nun davon ab, wie das Wasserstoffatom mit seiner Umgebung wechselwirkt. Dadurch kann unterschiedliches Weichgewebe mit einer räumlichen Auflösung von ca 1 mm3 erreicht werden.

In The encyclopedia of medical imaging findet man folgende Beschreibung:

Consider a signal intensity profile across the skull where at the edge of the brain the signal changes from virtually zero to a finite value. In magnet resonance imaging the meassurement prozess is a breakdown of such intensity profiles into their fourier harmonics. Representation of the profile measures with a limited number of chanells, therefor the gibbs phenomenon causes overshoot artefacts. Fine lines visible in an image may be due to undersampling of the high spatial frequencies, respectively incomplete digitization of the echo. With more encoding steps the Gibbs artefacts is less intense and narrower.

Hier kann man deutlich das Gibbssche Phänomen beobachten:
http://www.ajronline.org/content/vol190/issue5/images/large/05_07_2874_10c.jpeg

Hier ist ein MRI eines Schädels. An den Rändern des Gehirns kann das 'Gibbssche Klingeln' beobachtet werden.
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Structural_MRI_animation.ogv

Verwendete Literatur

  • Michael Fröhner, Günther Windisch; EAGLE-GUIDE Elementare Fourier-Reihen; Edition am Gutenbergplatz, Leipzig; 2004
  • Bruno Klingen, Fouriertransformation für Ingenieur- und Naturwissenschaften; Springer-Verlag Berlin Heidelberg; 2001
  • http://www.cis.rit.edu/htbooks/mri/inside.htm
  • The encyclopedia of medical imaging, Vol 1; Holger Pettersson, Gustav Konrad; 1998
  • William R. Hendee, E. Russel Ritenour; Medical Imaging Physics, Fourth Edition; Wiley-Liss. Inc., New York; 2002
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