LV014 Diskussion:LV-Uebersicht/WS08 09/M2

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Inhaltsverzeichnis

M2

Vertauschung Limes und Integral

  • Im Beispiel 16. Zeigen wir das lim_{n\to\infty} n f(n x) = \delta mittels Testfunktion. Im Beweis verwenden wir das wir das Integralzeichen mit dem Limes vertauschen können. Ich hab mir damals nicht aufgeschrieben warum nicht und habs mitlerweile nicht mehr im Kopf. Kann mir hier jemand helfen? -- A0702527@unet.univie.ac.at 12:59, 24. Jan. 2009 (UTC)


Ich denke das darf man hier weil es sich bei der Konvergenz der Folge im Integral um dominierte Konvergenz handelt, man darf den Limes des Integrals (dx->0) nicht immer mit dem der Folge(n->0) vertauschen handelt es sich aber um eine gleichmäßig konvergente Folge oder eben um eine dominierter Konvergenz, so kann man das, so hätte ich das gehört machen. -- A0503150@unet.univie.ac.at 20:13, 25. Jan. 2009 (UTC)

Laplace Transformation

Eine Frage: Was mache ich beim Lösen einer DGL mit der Methode der Laplacetransformation wenn ich nicht die anfangsbedingungen zum Zeitpunkt t=0 gegeben habe sondern an einem Anderen? -- A0601681@unet.univie.ac.at 12:19, 10. Dez. 2008 (UTC)


Fkt.theorie

  • Im Zusammenhang mit der Definition der Schwarz'schen Klasse hat M. Brut gemeint, je kleiner ich die Definitionsmenge wähle, desto größer wird die Menge der möglichen Fkten auf dieser Menge. Wenn ich das richtig verstanden habe. Erklärung wäre schön, aber nicht dringend (Test steht bevor). -- A0748026@unet.univie.ac.at 20:19, 2. Dez. 2008 (UTC)

Distributionen

  • ich würd mich über eine kurze erklärung bzgl distributionen freuen. bzw werden morgen wohl noch fragen zu den beispielen 16-18 auftauchen...-- A0702203@unet.univie.ac.at 20:56, 25. Nov. 2008 (UTC)

  • kurze erklärung zum variationsprinzip (dirac-delta-funktion) wär super!-- A0701139@unet.univie.ac.at 18:30, 24. Nov. 2008 (UTC)
  • Das \delta \,\! im Variationsprinzip und das Dirac-Delta sind zwei unterschiedliche Konzepte. Zum Dirac-Delta kommen wir am Mittwoch bestimmt, ob sich zur Variationsrechnung auch was ausgeht, werden wir sehen. lG -- Harald.hoeller@univie.ac.at 21:13, 24. Nov. 2008 (UTC)

Eulersche Gleichung


Frage zu Bsp9:

Was ist mit "bezüglich einer geeigneten (welcher?) Integration über [0,L] ein ONS" gemeint? -- A0601681@unet.univie.ac.at 21:53, 28. Okt. 2008 (UTC)
  • In der Angabe steht, dass die angegebenen Funktionen bezüglich einer geeigneten Integration ein ONS bilden sollen. Das bedeutet, dass die Norm einer Funktion in diesem Funktionenraum (VR) offenbar über die Integration definiert ist. Genauer gesagt ist sie über das in diesem Raum definierte Skalarprodukt definiert. Die Aufgabe ist es nun herauszufinden, wie dieses Skalarprodukt definiert sein muss, damit eine Multiplikation zweier orthogonaler Funktionen, e.g.  \frac{1}{\sqrt{L}}e^{-\frac{2\pi i x}{L}},  \frac{1}{\sqrt{L}}e^{\frac{2\pi i x}{L}} immer 0\,\! ergibt und das Skalarpodukt zweier solcher Funktionen  f, g \,\! mit sich selbst immer 1\,\! oder etwas mathematischer ausgedrückt
 f \cdot g = \langle f , g  \rangle_{\rho} \equiv \int\limits_L f(x) g(x) \rho(x) dx\,\!
 \int\limits_L f(x) g(x) \rho(x) dx =  \int\limits_L \frac{1}{\sqrt{L}}e^{-\frac{2\pi i k x}{L}} \frac{1}{\sqrt{L}}e^{-\frac{2\pi i j x}{L}} \rho(x) dx = \delta_{kj}, \quad \forall (k,j) \in \mathrm{Z}
wobei  \rho(x) \,\! eine geeignete Gewichtungs- oder Normierungsfunktion ist (die muss aber nicht notwendigerweise von x\,\! abhängen)! Gesucht sind also der Integrationsbereich  L \,\! und gegebenenfalls eine Gewichtungsfunktion  \rho \!\,. Vielleicht hilft euch ein Blick in ein Buch (oder Wikipedia) zum Thema Fouriertransformation weiter.
Zu diesem Thema gibt es auch ein ausführliches Mathematica Notebook mit vielen Erklärungen: Mathematica Notebooks zu Einheit 3 (.zip) WS07/08 | Bsp. aus (2.2.4) (.pdf) - Themen:
  • Satz von Cayley - Eigenwerte, Eigenvektoren, Charakteristisches Polynom
  • Beispiel aus (2.2.4) Vorlesungsbehelf M1 - Orthonormalsysteme, Darstellung und Approximation von Vektoren

-- Harald.hoeller@univie.ac.at 09:05, 29. Okt. 2008 (UTC)


Potenzreihenentwicklung

...Definition 1. Wenn f(x) und g(x) bei x0 analytisch ins Komplexe fortgesetzt werden können, heißt x0 reguläre Stelle ...
Ich verstehe nicht was genau "analyitsch ins Komplexe fortgesetzt werden können" bedeutet? Heisst das so viel wie: Ersetzt x durch z (also a + ib) dann soll die Funktion keine Singularität in x0 haben?
-- A0702527@unet.univie.ac.at 15:06, 26. Okt. 2008 (UTC)
  • Um die Frage zu beantworten braucht man ein bisschen was zu komplexer Analysis. Hast du M1 bei Neufeld gehört?
Eine kurze Antwort könnte so lauten; du erweiterst denen Definitionsbereich - wie offenbar vermutet - auf die komplexen Zahlen, was ja legitim ist, zumal  \mathrm{R} \subset \mathrm{C} \,\!. In diesem vergrößersten Definitionsbereich gelten nun andere Sätze was Differenzierbarkeit (Analytizität) und Integrabilität betrifft. Nachdem das Lösen einer Differentialgleichung im Grunde auf eine Integration hinausläuft, lohnt es sich anzusehen, wie mit "problematischen Stellen" im Komplexen umgegangen wird. Schau dir zu diesem Thema Kapitel 6.13 - Potenzreihen bis 6.18. Berechnung reeller Integrale in Neufelds Skriptum an Mathematische Methoden der Physik I (SS08).
Falls mehrere Leute Neufelds M1 nicht gehört haben, sollten wir das wahrscheinlich auch in einer Einheit besprechen? Was meint ihr? -- Harald.hoeller@univie.ac.at 15:59, 26. Okt. 2008 (UTC)
  • Ja bitte, wär schon gut wenn man das wichtigste aus M1 nochmal kurz wiederholen könnte! -- A0602061@unet.univie.ac.at 06:55, 28. Okt. 2008 (UTC)

Potenzreihen, Frobenius

Nachreichung zum Thema Frobenius bei z.B. folgender DG (wenn ich mich recht entsinne)

 y'' + \frac{1}{x} y' + \frac{1}{x(1-x)}\,\! = 0
... Einsetzen in den Ansatz ganz nach Schema, dann Bestimmung von  \rho \,\!. Ich glaube, ich hab an Euren Fragen ein bisschen vorbeigeredet; beim Blick in das Forum letztes Sommersemester ist mir wieder eingefallen, wo das Problem beim Frobenius oft liegt. Wie in der heutigen Stunde erwähnt, lässt sich keine Linearkombination von Termen mit einer Potenz von  x \,\! finden, die einen Term höherer Ordnung "erzeugt". Daher kann man einen Koeffizientenvergleich für einzelne  n \,\! und  \rho \,\!-Werte machen, da jede dieser "linear unabhängigen" Gleichungen (nämlich für jede Potenz) auch einzeln erfüllt sein muss. Will ich also  \rho \,\! bestimmen, betrachte ich nur eine Potenz der Gleichung, nämlich die einfachste (z.B. die niedrigste). In diesem Fall ist das  \rho - 1 \,\! und der Term dafür ist
 a_0\rho^2 = 0 \,\!
Da  a_0 \,\! laut Voraussetzung ungleich Null ist, folgt
 \rho = 0 \,\!
Anderer Fall: wenn  \rho \,\! in dieser Potenz von  x \,\! mehrmals vorkommt, kann es auch sein, dass ich eine kompliziertere Gleichung für  \rho \,\! bekomme, e.g.
 a_0\rho^2 + 3a_0\rho + a_0 = 0 \,\!
wieder wegen  a_0 \neq 0 \,\! darf ich durch  a_0 \,\! dividieren und löse einfach für  \rho \,\!. -- Harald.hoeller@univie.ac.at 22:44, 22. Okt. 2008 (CEST)

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