LV020 Diskussion:LV-Uebersicht/WS08 09/Tutorium

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Diese Seite befindet sich im Namensraum der LV: Analysis für PhysikerInnen I

Diskussionsforum

Hier könnt Ihr Fragen zu den Mathematikvorlesungen, Übungen, etc. stellen, die dann im Tutorium behandelt werden können. Nur keine falsche Scheu!

Frage: Wie stelle ich eine Frage? --Natalie.happenhofer@univie.ac.at 18:56, 1. Okt. 2008 (CEST)
Antwort: Du musst eingeloggt sein, um eine Frage stellen zu können. Gehe dann auf Bearbeiten, dann poste die Frage im entsprechenden Bereich. Vergiss den Zeitstempel (Signatursymbol in der Bearbeitungsleiste) nicht! Dann klicke auf Speichern. --Natalie.happenhofer@univie.ac.at 18:56, 1. Okt. 2008 (CEST)

Fragen zur Analysis für PhysikerInnen

hehe Leute, Ich habe hier wieder ne frage zu Analysis: Die Formel der NewtonINterpolation ist doch Pn(x)=Pn-1(x)+An(xn-x0)(xn-x1)(xn-x2)*... Warum drücken wir An*xn durch An(xn-x0)(xn-x1)(xn-x2)*... aus? mfg

Hallo! Es gibt verschiedene Basen des Pn (das ist der Raum aller Polynome vom Grad kleiner oder gleich n), eine davon ist diejenige, die du schon angesprochen hast: {1,x,x2,..., xn}. Wenn man ein Polynom in dieser Basis darstellt, sieht es folgendermaßen aus: p(x)= a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn. Allerdings bilden auch die Newton´schen Basispolynome {1,(x-x0),(x-x0)(x-x1),...,(x-x0)....(x-xn)} für x0,.. xn reelle Zahlen eine Basis von Pn, und genau in dieser Basis möchte wir unser Newton´sches Interpolationspolynom berechnen. Es hat dann die Darstellung p(x) = b0 + b1(x-x0) + ... + bn(x-x0)...(x-xn)

Mit Hilfe eines Basiswechsels kann man das Polynom in verschiedenen Basen darstellen, es werden sich einfach die Koeffizienten ändern. Warum wir hier die Newton´schen Basispolynome verwenden? In der Vorlesung wurden die Koeffizienten des Interpolationspolynoms rekursiv berechnet. Es gibt noch andere, effizientere Möglichkeiten, diese Koeffizienten auszurechnen, und diese sind auch nur dann effizient, wenn man das Polynom eben mit den Newton´schen Basispolynomen darstellt. Ich hoffe, das beantwortet deine Frage, wenn nicht, dann schreib einfach noch einmal oder wir reden im Tutorium darüber. lg, Natalie-- Natalie.happenhofer@univie.ac.at 08:45, 29. Okt. 2008 (UTC)

Zu den Fragen aus dem Tutorium am Montag, den 12. Jänner:

Frage: Was ist ein Konvergenzradius?

Antwort: Sei \sum_{n=0}^\infty a_n x^n eine Potenzreihe (um 0). Der Konvergenzradius ρ > 0 ist eine reelle positive Zahl, so dass für alle x mit | x | < ρ gilt, dass \sum_{n=0}^\infty a_n x^n absolut konvergiert, und für alle x mit | x | > ρ, dass die Reihe divergiert.

ρ kann mittels der Formel von Cauchy-Hadamard berechnet werden:

\rho=\frac{1}{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|a_n|}}, falls der Limes existiert.

Existiert der Limes nicht, verwendet man die Formel \rho=\frac{1}{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}\displaystyle{\sup_{k>n}}\sqrt[k]{|a_k|}}. (Natalie und ich hielten den Limes vom Supremum für einen \limsup, da die Formel in dieser Form gebräuchlicher ist - leider habt ihr den Limes superior nicht in der Vorlesung behandelt! Beide Formeln sind jedoch gleichbedeutend.)

(In die Formel nur das an einsetzen, nicht das xn!)

Über x mit | x | = ρ kann man dabei jedoch keine Aussage treffen (s. nächste Frage). -- Hannes.grimm-strele@univie.ac.at 14:32, 13. Jan. 2009 (UTC)

Frage: Wo konvergiert die Reihe \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n}?

Antwort: Man könnte für diese Aufgabe natürlich die obige Formel für den Konvergenzradius benutzen. In der Vorlesung ist jedoch ein anderer Weg vorgestellt worden, den ich kurz erläutern möchte:

Wir setzen für x den Wert 1 ein. Dann: \sum_{n=0}^\infty \frac{1^n}{n}=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n} divergiert (harmonische Reihe): Setzt man für x den Wert -1 ein, folgt: \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n} konvergiert nach dem Leibnizkriterium, da die Folge a_n=\frac{(-1)^n}{n} alternierend ist und \lim_{n\to\infty}|a_n|=\lim_{n\to\infty}\frac{|(-1)|^n}{|n|}=\frac{1}{\lim_{n\to\infty}n}=0.

Daraus folgt, dass der Konvergenzradius gleich 1 sein muss und der Bereich, auf dem die Reihe konvergiert, das Intervall [-1,1) ist. Denn angenommen der Konvergenzradius wäre kleiner 1, dann müsste für alle x mit | x | > ρ gelten, dass die Reihe divergiert - aber sie konvergiert für x=-1. Ebenso kann der Konvergenzradius nicht größer 1 sein, denn die Reihe divergiert für x=1.

(Mit der Formel von Cauchy-Hadamard würde sich ergeben:

\rho=\frac{1}{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|\frac{1}{n}|}}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|n|}=1,

wobei man \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1 aus der Vorlesung weiß.) -- Hannes.grimm-strele@univie.ac.at 14:32, 13. Jan. 2009 (UTC)

Zum Tutorium am Montag, den 19. Jänner:

Frage: Gibt es wirklich Fälle, wo der Grenzwert in der Formel von Cauchy-Hadamard nicht existiert, obwohl die Folge (an)n gegen 0 konvergiert?

Antwort: Ja das gibt es - auch wenn das folgende Beispiel jetzt arg konstruiert ist. Gegeben sei die Potenzreihe \sum_{n=0}^\infty a_n x^n mit an = (3 + ( − 1)n)n, dann gilt:

\lim_{n\to\infty}{a_n}=0, \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{3+(-1)^n} existiert nicht.

Somit kommt die zweite Formel von Cauchy-Hadamard zur Anwendung:

\lim_{n\to\infty}\sup_{k>n}\sqrt[k]{|a_k|}=\lim_{n\to\infty}\sup_{k>n}\frac{1}{3+(-1)^k}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.

Somit ist der Konvergenzradius ρ = 2. -- Hannes.grimm-strele@univie.ac.at 18:01, 19. Jan. 2009 (UTC)

Klärung zur Transformationsformel (bzw. Substitutionsregel) (Frage vom 28.1.2009)

SATZ: sei f:I\rightarrow R stetig, \varphi :\left[a,b \right]\rightarrow R stetig differenzierbar mit \varphi \left(\left[a,b \right] \right)\subseteq I. Dann gilt:

\int_{a}^{b} f(\varphi (t))\cdot \varphi'(t)dt = \int_{\varphi (a)}^{\varphi (b)} f(x)dx


D.h. hier muss \varphi nicht notwendigerweise bijektiv sein, nur stetig differenzierbar!
Ausblick: Für die Verallgemeinerung im Rn muss \varphi ein C1-Diffeomorphismus sein (d.h. \varphi bijektiv, \varphi und \varphi-1 stetig differenzierbar)
lg Simon, -- A0505903@unet.univie.ac.at 20:38, 5. Feb. 2009 (UTC)

Fragen zur Linearen Algebra für PhysikerInnen



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