Letzte Stunde:
Was wurde nicht gemacht, wo fehlen noch Beweise, wie geht es weiter?
Kapitel 8 von S.Axler:
KOMPLEXE Vektorräume:
Satz von Caley-Hamilton: (f. komplexe VR): Einsetzen der Matrix in das char. Polynom ergibt die Nullmatrix!
Def. Minimalpolynom: das (wie man zeigen kann) eindeutig bestimmt nicht-triv. Polynom p(x) sodass p(A) = 0 gilt.
Fakten: Aus dem Satz von Caley-Hamilton folgt, dass der Grad des Minimalpol. höchstens gleich n ist (und nicht die "triviale" Abschätzung n^1 zum Zug kommt). Die Nullstellen des Minimalpolynoms sind genau die Eigenwerte der Matrix (aber typischerweise nur einfach genommen, insbes. ist das char. Pol. gleich dem Min.Pol. falls alle Eigenwerte voneinander verschieden sind). Schliesslich kann man auch noch zeigen (mit Hilfe von Division mit Rest im Bereich der Polynome) dass jedes Polynom q(x), mit q(A) = 0 vom Minimalpolynom geteilt wird (waere das nicht der Fall könnte man ein Polynom von noch kleinerem Grad finden, s. S.Axler, p.180).
Schliesslich gibt es noch die Möglichkeit der Jordanschen Normalform: d.h. "Fast Diagonalisierung" mittels unitärer Matrizen, wobei die Eigenwerte in der Hauptdiagonale stehen, und "kästchenweise" mit Einsen direkt "oberhalb" der Diagonale (also in der ersten, oberen Nebendiagonale verstreut Nullen oder Einsen...). Dies hängt auch damit zusammen, dass zwar nicht genügend viele Eigenvektoren "im eigentlichen Sinne" vorhanden sein mögen, aber jedenfalls "verallgemeinerte" Eigenvektoren. Klar ist jedenfalls dass dieses Faktum aus der Existenz der Jordanschen Normalform folgt (man betrachte nur die Teilkästchen). Die Umkehrung ist der interessantere (und schwierigere) Teil der Theorie. Die Jordansche Normalform wird auch in einem (anderen) Buch von G.Strang bewiesen (Angew. Math.), wo auch gezeigt wird, dass auch diese für gewisse Anwendungen eine Rolle spielt (aber aus meiner Sicht weit weniger "alltäglich brauchbar" als etwa die PINV oder SVD).
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Nicht bewiesen wurde (das gegebenen Argument war nicht schlüssig): NORMALE Matrizen sind diagonalisierbar mit Hilfe eines Orthonormalsystems (d.h. unitär diagonalisierbar). Die Umkehrung davon ist ja einfach. Diese wird mit Hilfe eines (ebenfalls nicht gezeigten, im Buch von S.Axler aber ausgeführten) Satzes über die Zerlegung einer Matrix in ein Produkt einer unitären Matrix mit einer oberen Dreiecksmatrix abgeleitet. Man kann spez. Eigenschaften des "Dreiecksanteils" zeigen (eben dass das notwendigerweise eine Diagonalmatrix sein muß) wenn die Matrix normal ist.
Der Beweis der "Optimalität" der Löwdin-Orthonomalisierung kann deutlich kürzer gemacht werden (Ausarbeitung erwünscht, wer immer das machen kann/will bitte an mich schicken, dann kann ich es ins Netz stellen). Hier MATLAB Code zur Konstruktion:
% Author: N. Kaiblinger, 28.Nov.1998
%
function Q = orthbest(A),
[U,S,V] = svd(A,0);
[m,n] = size(A);
if m > 1, s = diag(S);
elseif m == 1, s = S(1); else s = 0;
end
tol = max(m,n) * max(s) * eps;
r = sum(s > tol);
Q = U(:,1:r)*V(1:r,1:r)';
% original matlab: Q = U(:,1:r);
Determinante und Determinantenregel:
Standardrezept: Summe über alle Vorzeichenbehafteten Produkte, wobei aus jeder Zeile und jeder Spalte eine Matrixeintragung genommen wird. Es gibt genausoviele solche Produkte wie es Permutationen gibt. Die Permutationen sind jeweils durch Transpositionen zusammensetzbar, wobei die Zahl der Transpositionen (Tausch von zwei benachbarten Indices aus 1 : n) gerade oder ungerade sein kann. Daraus ergibt sich noch das Vorzeichen für den Produktausruck (man vergleich das mit der Regel von Sarrus..).
S.Axler definiert (zurecht) die Determinante als (bis auf einen von der Dim. des Raumes Vorzeichenab.) konstanten Term im char. Polynom (das hängt damit zusammen, ob man det(A - lambda I) oder det(lamda I - A) nimmt, und da ist eben die erste Konvention die "übliche".
Die Herleitung (wurde auch in der Vorlesung nicht bewiesen), dass die Produkt-Formel gilt, also det(A*B) = det(A) det(B), und insbes. dass det( inv(A)) = 1/det(A) , bzw. die Invarianz der Determinante unter Basiswechsel, folgen daraus.
An alle, die den Großteil des Semesters durchgehalten haben, meinen Dank. Ich hoffe, es war auch für Sie ein "Erlebnis" und hat dazu beigetragen, Ihre Selbständigkeit und Ihr Interesse zu wecken. Es ist aus meiner Sicht durchaus vorstellbar, auch Diplomarbeitsthemen aus diesem Bereich (auch f. LehramtsstudentInnen) zu vergeben, um so ein "besseres Skriptum" für zukünftige Generationen zu erhalten.
ZURUECK zur Uebersichtsseite: http://www.univie.ac.at/NuHAG/FEICOURS/WS0304/ws0304.htm