PSLA203.HTM  (PSLA201 =   http://www.univie.ac.at/NuHAG/FEICOURS/ws0304/protla201.htm ). 

FORTSETZUNG:   9.Okt., abend

17) Man zeige, dass jede Partition der Index-Menge  {1,...,n} in Teil-Indexmengen, sagen wir  I1,...,Ir  und  beliebiger Basis  {b1,...,bn} in einem n-dim. Vektorraum eine direkte Zerlegung entsteht, indem man die als  Vj  gerade das lineare Erzeugnis aller Basisvektoren  mit Indices aus der Teilmenge Ij nimmt, wobei  j  von  1 bis r laeuft. (Die Aufgabe besteht vor allem in einer Klaerung der Begriffe!).

18) Man gebe (nur durch Angabe der "Rechenschritt" an), wie man einen allgemeinen Vektor im R4  auf das orthogonale Komplement der Vektoren des von den Vektoren [1,1,1,1]  und [1,2,3,4] aufgespannten Teilraumes im R4 projezieren kann. 

19)  Man leite (unter Benutzung der Formel f.d .Projektion auf eine allg. Gerade der Form  ax + by + c = 0 ) die Abstandsformel zwischen einem Punkt in der Ebene und der Geraden her  ( D = abs( ax_o + by_o + c)/ sqrt(a^2 + b^2) )  [vgl. Howard Anton, Bsp.7, p.152].

21)  Man zeige, wie sich eine direkte Zerlegung des R^3 in einen ebenen Anteil (aufgespannt von den ersten beiden Spalten einer Matrix) und einen 1-dim. Anteil (entlang der dritten Spalte) aendert, wenn der Komplementaerraum der "Ebene" veraendert wird, konkret, wenn man das Biorthogonalsystem beschreibt, das sich ergibt, wenn man die dritte Spalte einer Matrix durch eine andere (unter Beibehaltung der Invertierbarkeit) ersetzt.  KURZ:  Man zeige, wie sich die inverse Matrix (anhand eines Beispieles) aendert, wenn man die dritte Spalte veraendert.  

Uebungsaufgaben zu  2x2-Determinanten  und  Kreuzprodukte:

22)  Man bestimme die Determinante der Matrix   A - cI,  fuer allgemeines  c in R  (A ist 2x2 Matrix). 

23) Eigenschaften des Kreuzprodukte (Howard Anton, p.157, d) und e):

u x (v x w)  = <u,w> v  - <u,v> w   bzw.   (u x v) x w =  <u,w> v  - <v,w> u

24)  Bilineartät des Kreuzproduktes, d.h. es ist sowohl in der ersten wie auch in der zweiten Komponente linear.

25) Eigenschaften von Quotientenraeumen

ZURUECK zur Uebersichtsseite:    http://www.univie.ac.at/NuHAG/FEICOURS/WS0304/ws0304.htm