PSLA202.HTM (PSLA201 = http://www.univie.ac.at/NuHAG/FEICOURS/ws0304/psla201.htm ).
FORTSETZUNG (aus Versehen nicht zugaenglich gemacht): PSLA203 NEU! NEU! (wird aber noch ergaenzt)
Aufgaben die noch von der 1.PS-Stunde uebrig sind: Beispiele 5-10 (wegen Korrektur wird (7) hier nochmals wiederholt:
7) Lineare Transformationen U (sogar affine Transformationen von der Form x wird auf U*x + b abgebildet) bewahren die Winkel,. VORAUSGESETZT U ist (wie schon der Buchstabe andeuten sollte) eine unitaere Matrix (bzw. eine orthogonale Matrix, d.h. die Spalten bilden eine Orthonormal!-Basis des Rn). [Korrektur vom 8.Okt.2003] GENAU diese Eigenschaft (Bewahrung der Orthogonalitaet ist eine wichtige Eigenschaft der sog. orthogonalen Matrizen... begruendet auch die "eigenartige" Terminologie). WEITERE KORREKTUR (13.Okt.): Gemeint sind die WINKEL in der affinen EBENE!!! (also grosser Diskussionsbedarf!)
11) Vorwaerts-Transformation: Es sei T die affine Transformation der Ebene (des R^2), welche auf folgende Art entsteht: Zuerst Strecken der x-Achse um den Faktor 2, Stauchen der y-Achse um den Faktor 2 (multipliziere mit 1/2), dann Verschieben um dem Vektor (4,5), dann Drehen um 45 Grad im Uhrzeigersinn. Wie die Gesamt-Transformation (geschreiben als Tx = A*x + b) aus ? (welche 2x2 Matrix A, welches b).
12) Ist die Transformation T von Beispiel (11) invertierbar?? (wenn ja wie sieht die Inverse aus). Weiters: Wie lautet die Gleichung des Bildes des Einheitskreises unter dieser affinen Abbildung (welche quadratische Gleichung beschreibt die so resultierende Ellipse in allgemeiner Lage)?
13) (Auffrischungsaufgabe): Gegeben zwei Vektoren im R3 (sagen wir v1= [1,1,1] und v2 = [1,2,3]). Wie (mindestens zwei, moeglichst 3 Wege beschreiben und einen ausfuehren) kann man die Projektion des (allgemeinen) Punktes x = (x1,x2,x3) (z.B. x = [2,3,1], oder x = [3,4,5]) auf den von v1 und v2 aufgespannten 2-dimensionalen Teilraum bestimmen). (korrekte Antwort: PV(x) = [2.5, 2.0, 1.5], bzw. [3,4,5]).
14) VORWAERTSAUFGABE (gegeben Zerlegung der Matrix, setze Matrix wieder zusammen): Es sei A eine diagonalisierbare 4x4 Matrix, mit den Eigenwerten s1 = 1 (doppelter Eigenwert), s2= 2, s3 = 3; und den Eigenvektoren v1a = [1,1,0,0], [1,-1,0,0] zu s1, [1,0,2,3] fuer s2, und [0,1,0,1] fuer s3. Was ist A (d.h. die Darstellung der linearen Abbildung bzgl. Standardbasis).
15) A = [ 3,-1,0; -1,3,0; 0,0,4] (zeilenweise Beschreibung) ist eine symmetrische (relle) Matrix. Es wird vorweg mitgeteilt, dass diese Matrix die Eigenwert 2 und 4 hat (? wie koennte man das selbst herausfinden?, im Moment nicht so leicht!) Man bestimme die geometrische Vielfachheit der beiden Eigenraeume indem man jeweils eine Basis fuer die beiden Eigenraeume findet. Ist es moeglich, eine Orthonormalbasis von Eigenvektoren von A daraus zu gewinnen? (oder ergibt es sich automatisch, oder...).
16) A = 5 2 2 ist
die inverse einer invertierbaren Matrix B = (b1,b2,b2) (System von
Spaltenvektoren).
1 4 0 Es sei V1 die von b1 und b2
aufgespannte Ebene (2-dim.Teilraum), und
3 4 4 V2 der von b3 aufgespannte
Teilraum.
Frage: Kann man den R^3 als direkte Summe von V1 mit V2 ansehen? (Definitionen wiederholen?). Wenn ja, ist diese Summe eine orthogonale direkte Summe (d.h steht V2 orthogonal auf V1)? Wenn nein, wie kann man V2 durch einen anderen Teilraum ersetzen, um eine orthogonale direkte Summe von der Form R^3 = V1 + V0 herstellen (Beschreibung von VO gefragt!).
FORTSETZUNG: 9.Okt., abend
17) Man zeige, dass jede Partition der Index-Menge {1,...,n} in Teil-Indexmengen, sagen wir I1,...,Ir und beliebiger Basis {b1,...,bn} in einem n-dim. Vektorraum eine direkte Zerlegung entsteht, indem man die als Vj gerade das lineare Erzeugnis aller Basisvektoren mit Indices aus der Teilmenge Ij nimmt, wobei j von 1 bis r laeuft. (Die Aufgabe besteht vor allem in einer Klaerung der Begriffe!).
18) Man gebe (nur durch Angabe der "Rechenschritt" an), wie man einen allgemeinen Vektor im R4 auf das orthogonale Komplement der Vektoren des von den Vektoren [1,1,1,1] und [1,2,3,4] aufgespannten Teilraumes im R4 projezieren kann.
ZURUECK zur Uebersichtsseite: http://www.univie.ac.at/NuHAG/FEICOURS/WS0304/ws0304.htm
FORTSETZUNG (aus Versehen nicht zugaenglich gemacht): PSLA203 NEU! NEU! (wird aber noch ergaenzt)